Высшая математика. Программа, методические указания и задания для контрольной работы № 2 для студентов первого курса экономических специальностей дистанционного образования (стр. 1 )

Министерство сельского хозяйства РФ.

Федеральное агентство по сельскому хозяйству.

ФГОУ ВПО Тюменская государственная сельскохозяйственная академия.

Высшая математика.

Программа, методические указания и задания для контрольной работы № 2 для студентов первого курса экономических специальностей дистанционного

образования.

Тюмень-2007

Утверждено

Редакционно-издательским Советом ТГСХА в качестве

методических указаний

Программа, методические указания и задания для выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика»

Составители: старший преподаватель кафедры математики

Научный редактор

, старший преподаватель, заведующий кафедрой математики

Обсуждено

на заседании кафедры математики

Протокол № 2 от «15» ноября 2006 г.

Одобрено

научно-методическим советом

института экономики и финансов.

Протокол № 3 от «15» ноября 2006 г.

Содержание.

Стр.

1. Программа по высшей математике. Первый курс, II семестр. 4

2. Методические указания к выполнению контрольной работы №2

3. Тренировочные задания.

4. Правила и таблица выбора варианта.

5. Задачи для контрольных заданий.

Программа по высшей математике.

Первый курс.

II семестр.

I Дифференциальные уравнения.

1. Понятие дифференциального уравнения. Понятие общего и частного решения. Начальные условия. Интегральные кривые.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными; с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения.

3. Теорема о существовании и единственности решения диф-ференциального уравнения первого порядка.

4. Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейно независимые решения. Структура общего решения. Характеристическое уравнение.

5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго поряд-ка с постоянными коэффициентами. Частные решения уравнений с правой частью вида: ; .

Лекции 4

Практические занятия 4

Самостоятельная работа 15

II Числовые и степенные ряды.

6. Числовые ряды: общий член ряда, частичная сумма, сумма ряда. Схо-димость и расходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.

7. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.

8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

9. Функциональный ряд: радиус, интервал, область сходимости. Степен-ной ряд. Теорема Абеля.

10. Ряд Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

11. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Лекции. 4

Практические занятия. 4

Самостоятельная работа. 15

III Элементы линейной и векторной алгебры.

12. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки и столбца. Понятие об определителях n-го порядка.

13. Понятие системы линейных уравнений. Понятие решения системы. Формулы Крамера, метод Гаусса.

14. Понятие n-мерного вектора. Линейно зависимые, линейно незави-симые системы векторов. Теоремы о линейной зависимости и независимости векторов. Ранг и базис системы векторов. Разложение векторов по единичному и произвольному базису.

15. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Ранг матрицы и его вычисление. Понятие обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Лекции 4

Практические занятия 4

Самостоятельная работа 62

Контрольная работа 60

Методические указания к выполнению

контрольной работы № 2

Задачи № 91-110

Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме необходимо изучить следующие вопросы:

1.  Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок дифференциального уравнения?

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные, называется дифферен-циальным.

или

Порядок дифференциального уравнения определяется наличием наивысшей производной:

- дифференциальное уравнение первого порядка

- дифференциальное уравнение второго порядка

2.  Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая вместе с ее производными удовлетворяет этому уравнению (превращает его в тождество).

Общее решение имеет вид: .

Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным.

Общее решение дифференциальных уравнений первого и второго порядка имеют соответственно вид:

3.  Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:

4.  Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: . Нахождение их общего и частного решений.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными сводится к уравнению с разделенными переменными , которое решается интегрированием обеих частей:

5.  Линейное дифференциальное уравнение первого порядка: Отыскание его общего и частного решений.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

при является уравнением с разделяющимися переменными. Если , то уравнение решается с помощью подстановки ,гдеинеизвестные функции, зависимые от . После ряда преобразований линейное уравнение сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

6.  Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.

Задача. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую функцию «» и ее производную «» в первых степенях. Один из способов решения таких уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых подбирается специальным образом, а другая находится из условия их удовлетворения исходному уравнению. С помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными соответственно для функций u(x) и v(x).

Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению дифференциалов:

Пример 1. ; при .

Ищем решение уравнения в виде . Найдем производную этого произведения: . Подставим функцию y и ее производную в исходное уравнение:

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель «», и вынесем его за скобку:

Подберем вспомогательную функцию «» так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:

(1)

Тогда уравнение примет вид:

(2)

Оба последних уравнения решаются разделением переменных.

Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию , а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию .

1); 2) ; ; ; ;

Замечание. Решая первое уравнение ( для вспомогательной функ-ции), берем лишь его частное решение, соответствующее . При решении второго уравнения для функции находим общее решение уравнения.

Так как , то - общее решение уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: при . Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:

,

так как , то

Подставим найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения, получим его частное решение:

.

Ответ: - общее решение дифференциального уравнения;

- частное решение дифференциального уравнения.

Пример 2. ;

Ищем решение в виде

Найдем производную: .

Подставим в исходное уравнение и :

;

Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:

Подберем вспомогательную функцию из условия:

(1)

Тогда уравнение примет вид:

(2)

Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение , соответствующее .

Таким образом, - общее решение данного дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения воспользуемся начальными условиями: , подставив их в найденное общее решение:

Подставим , в общее решение уравнения:

Пример 3.

Ищем решение в виде , тогда .

Подставим и в данное уравнение:

Потребуем, чтобы (1) , тогда (2)

Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное решение при .

Так как , то

- это общее решение исходного дифферен -

циального уравнения.

Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям ; и подставим их в найденное общее решение:

Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение :

Ответ: - общее решение;

- частное решение.

Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получится верное равенство (тождество).

Пример 4. Найти частное решение уравнения:

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

Для нахождения составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

(4)

где - комплексные корни характеристического уравнения. Подставим в (4) , имеем:

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числане являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

Подставив в данное уравнение , получим:

,

Откуда , .

Следовательно, и

Найдем :

Используя начальные условия, получим систему

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задачи № 000-130; 131-150

Данные задачи относятся к теме «Числовые и степенные ряды». Рассмотрим предварительно следующие вопросы:

1.  Понятие числового ряда.

Члены числовой последовательности, соединенные знаком (+) или (-), образуют числовой ряд вида:

- общий член, где n – порядковый номер члена.

Другая форма записи числового ряда

2. Понятие частичной суммы числового ряда и суммы ряда.

Частичной суммой называется сумма первых членов. . Конечный предел частичных сумм числового ряда при называется суммой ряда . .

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

Если числовой ряд имеет сумму , то ряд является сходящимся. Если же не существует или равен , то числовой ряд – расходящийся и суммы не имеет.

4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.

Теорема. Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена при равен 0, т. е. .

Необходимый признак сходимости не является достаточным. Поэтому для исследования числовых рядов на сходимость существуют достаточные признаки.

Признак сравнения. Даны два числовых ряда с положительными членами . Если, начиная хотя бы с некоторого номера , выполняется , то:

1)  из сходимости ряда следует сходимость ряда ,

2)  из расходимости ряда следует расходимость ряда

Признак Даламбера. Дан ряд с положительными членами . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему при , равный , т. е. , то:

1)  при ряд сходится

2)  при ряд расходится

3)  при вопрос остается открытым

5. Признак Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.

Числовой ряд вида называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если: 1) члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине, т. е. и 2) , то такой ряд сходится и его сумма .

6. Понятие степенного ряда и области его сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд:

;

где - коэффициенты ряда, - общий член ряда – степенная функция.

- радиус сходимости; (-R;R) – интервал сходимости.

Интервал (-R;R) c включением одного или двух его концов называется областью сходимости степенного ряда.

7. Разложение в ряд Маклорена функций:

Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале (-R;R) разлагается в ряд Маклорена:

.

Интервал (-R;R) – интервал сходимости ряда Маклорена.

8.Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.

На практике приходится прибегать к приближенным вычислениям функций; определенных интегралов; при решении дифференциальных уравнений. В этих случаях функцию разлагают в степенной ряд Маклорена, а ряд заменяют суммой конечного числа членов с требуемой точностью. Точность оценивается с помощью первого отброшенного члена.

С помощью рядов составлены таблицы тригонометрических функций; таблицы логарифмов; таблицы, применяемые в теории вероятностей и математической статистике.

Рассмотрим задачи:

Задача 1. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его члена стремится к нулю при и члены убывают по абсолютной величине. Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

При данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится.

Таким образом, - область сходимости данного ряда.

Задача 2. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

Заменив x в разложении функции на имеем:

.

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

Задачи № 000-160; 161-170; 171-180; 181-190.

Данные задачи относятся к теме «Элементы линейной и векторной алгебры». Ознакомьтесь со следующими вопросами по этой теме:

1. Определители n-го порядка, их свойства и вычисление. Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель n-го порядка имеет вид:

(1)