Раздел 3. Элементы общей алгебры

Раздел 3. Элементы общей алгебры

Пусть M - произвольное множество.

Определение 3.1: Функцию типа j: M n ® M называется n - арной операцией, определенной на множестве М.

Определение 3.2: Совокупность множества M вместе с определенным на нем множеством операций W=<j1, j 2,... ..j k > называется алгеброй и обозначается A=<M; j1, j 2,.... j k>. При этом W называется сигнатурой алгебры.

Пусть M ¢Í M и операции j1, j 2,... j k замкнуты на множестве M¢, тогда A¢ = <M ¢ ; j1, j2,... j k> есть подалгебра алгебры A.

Определение 3.3: Типом алгебры называется вектор арностей входящих в нее операций.

Определение 3.4: Операция, отображающая любой элемент в самого себя, называется тождественной.

Рассмотрим бинарную операцию Ä типа умножения, определенную на множетве A.

Определение 3.5: Операция называется коммутативной, если "a, bÎA aÄb=bÄa.

Определение 3.6: Операция называется ассоциативной, если "a, b,cÎA aÄ(bÄc)=(aÄb)Äc.

Определение 3.7: Пусть $ элемент eÎA, такой что "aÎA eÄa=a. Тогда e называется левой единицей (или левым единичным элементом) по отношению к операции Ä. Если $ элемент eÎA, такой что "aÎA aÄe=a, то e называется правой единицей (или правым единичным элементом) по отношению к операции Ä. Если $ элемент eÎA, такой что "aÎA eÄa=eÄa=a, то e называется двусторонней единицей или просто единицей (единичным элементом) по отношению к операции Ä.

Определение 3.8: Пусть Ä - бинарная операция типа умножения с единицей, определенная на множестве A и xÄy=e, где x, yÎA. Тогда x называют левым обратным элементом к y и обозначают y-1, а y называют правым обратным элементом к x и обозначают x-1. Если xÄy=yÄx=e, то x называют обратным к y, а y называют обратным к x.

Определение 3.9: Если для "a, b,cÎA aÄ(bÅc)=(aÄb)Å(aÄc), то говорят, что операция Ä дистрибутивна по отношению к Å слева. Если для "a, b,cÎA (bÅc)Äa=(bÄa)Å(cÄa), то говорят, что операция Ä дистрибутивна по отношению к Å справа.

Определение 3.10: Алгебра вида <A, j2>, где j2 - бинарная операция, определенная на множестве A, называется группоидом.

Определение 3.11: Группоид < А ; o > называется полугруппой, если относительно определенной на нем бинарной операции o имеет место ассоциативный закон, т. е.

" а, b,с Î А а o ( b o с ) = (а o b) o с.

Определение 3.12: Если полугруппа обладает единицей, то ее называют моноидом.

Определение 3.13: Если в полугруппе имеет место коммутативный закон, то ее называют абелевой.

Определение 3.14: Подстановкой n - ой степени называется взаимно однозначное отображение множества А из n элементов в себя.

Определение 3.15: Произведением двух подстановок называется подстановка, получаемая в результате последовательного выполнения сначала 1 - ой, а затем 2 - ой из перемножаемых подстановок.

Пусть дан группоид < A, o >, рассмотрим уравнения а o х = b и х o а = b где а, b Î А. Эти уравнения могут быть разрешимы или не разрешимы.

Определение 3.16: Если " с Î А, а o с = b и с o а = b, то говорят, что уравнения разрешимы.

Определение 3.17: Группоид < А, o> называется квазигруппой, если уравнение а o х = b и х o а = b имеют единственное решение для " а, b Î А.

Определение 3.18: Группой называется полугруппа < A ; o >, если

1) для " а Î А $еÎА, такой что а o е = е o а = а

1) для " а Î А $ а-1ÎА, такой что а o а-1= а-1 o а = е, т. е. существуют единичный и обратный элементы.

Определение 3.19 (2-е определение группы): Полугруппа называется группой, если она является квазигруппой.

Определение 3.20: Алгебра < M ; Å ;Ä> называется кольцом, если :

1) <M ; Å > - абелева группа,

2) <M; Ä > - полугруппа.

3) для " а, b,с ÎM а Ä (b Å с) = (а Ä b) Å (а Ä с)

(а Å b) Ä с = (а Ä с) Å (b Ä с)

Определение 3.21: Кольцо называется коммутативным, если относительно умножения Ä для " а, b ÎM а Ä b = b Ä а.

Определение 3.22: Если относительно умножения (Ä) кольцо обладает единицей, т. е. $ е Î M а Ä е = е Ä а = а, то кольцо называется кольцом с единицей.

Определение 3.23: Если в кольце а ¹ 0 и b ¹ 0, но а Ä b = 0, то кольцо называется кольцом с делителями нуля, а а, b - делители нуля.

Определение 3.24: Коммутативное кольцо < M ; Å, Ä >, в котором существует хотя бы один элемент а ¹ 0, что уравнение а Ä х = b имеет единственное решение, где а, bÎ M, называется полем,т. е. выполняются следующие аксиомы

1) а Å b = b Å а

2) а Å ( b Å с) = (а Å b) Å с

3) а Å 0 = 0 Å а = а

4) а Å ( - а ) = 0

5) аÄb = bÄа

6) а Ä (bÄс ) = ( аÄb ) Äс

7) аÄ(b Å с) = аÄb Å аÄс

8) уравнение аÄх = b, а ¹ 0 - разрешимо.

Определение 3.25: Для элементов а, b Î М их верхней гранью называется " с Î М такой, что а £ с, b £ с, а их нижней гранью называется " d Î М такой, что d £ a, d £ b.

Определение 3.26: Решеткой называется частично упорядоченное множество, в котором для " а, b $ их пересечение а Ç b = d - нижняя грань а и b такая, что любая другая нижняя грань а, b меньше d, и а È b = c - верхняя грань а и b такая, что любая другая верхняя грань а и b больше c.

Определение 3.27: Частично упорядоченное множество, в котором любое его подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грань, называется полной решеткой.

Определение 3.28: Решетка называется дистрибутивной, если

А È (B Ç С) = (А È B) Ç (А È С)

А Ç (B È С) = (А Ç B) È (А Ç С)

Определение 3.29: Решетка называется решетка с дополнением, если "хÎM $ Î M и х È = 1 х Ç = 0, в этом случае - дополнение х.

Практические задания

3.1. Определите, какие из операций - сложение, вычитание, умножение, деление - являются алгебраическими на следующих подмножествах R; какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?

1)  N;

2)  2N={2n|nÎN};

3)  {2n+1| nÎN };

4)  Z;

5)  2Z={2n|nÎZ};

6)  Q;

7)  R;

8)  R\{0};

9)  {xÎR|x>0};

10)  R\Q;

11)  {0};

12)  {1};

13)  {0,1}.

3.2. Определите, какие из следующих операций являются алгебраическими на подмножестве {xÎR|x>0} множества R; какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6)  ;

7)  ;

8)  .

3.3. Докажите, что множество N со следующими операция­ми является полугруппой:

1)  ;

2) 

3) 

4) 

5) 

3.4. Укажите, какие из следующих подмножеств множества C с операцией — умножением - являются полугруппами:

1)  {2n|nÎZ};

2)  {2n|n=-2,-1,0,1,2};

3)  {-1,1};

4)  {-1,0,1};

5) 

6) 

7)  {z| |z|>2};

8)  {z| |z|=2};

9)  {z| |z|<2};

10)  {z| |z|³2};

11)  {z| |z|£2};

12)  {z| |z|>1};

13)  {z| |z|=1};

14)  {z| |z|<1};

15)  {z| |z|³1};

16)  {z| |z|£1};

17)  {z| |z|=};

18)  {z| |z|<};

19)  {z| |z|£}.

3.5. Пусть Х—множество, содержащее более, двух элемен­тов, В(X) — множество всех бинарных отношений на X. Дока­жите, что следующие подмножества множества В(Х), с опера­цией - умножением (композицией) бинарных отношений - являются полугруппами;

1) В(Х);

2) множество всех рефлексивных отношений на X;

3) множество всех преобразований X;

4)множество всех взаимно-однозначных преобразований X;

5) максимальное множество всех попарно-коммутирующих отношений;

6) максимальное множество всех попарно-коммутирующих симметричных отношений;

7) максимальное множество всех попарно-коммутирующих отношений эквивалентности.

3.6. Укажите, какие из следующих подмножеств множества действительных функций, определенных на R, с операцией - композицией преобразований - являются полугруппами:

1)  множество всех непрерывных функций;

2)  множество всех четных функций;

3)  множество всех нечетных функций;

4)  множество всех ограниченных функций;

5)  множество всех таких функций f, что f(0) = 1;

6)  множество всех таких функций f что f(0) = 0;

7)  множество всех дифференцируемых функций;

8)  множество всех интегрируемых функций;

9)  множество всех многочленов.

3.7. Пусть Р - семейство всех подмножеств данного непу­стого множества U. Образует ли множество Р полугруппу, если операция на нем:

1) пересечение; 2) объединение; 3) разность?

3.8. Какие из полугрупп задач 3.4 являются группами?

3.9. Докажите, что следующие подмножества из C являют мультипликативными группами:

1)  Q* = Q\{0};

2)  {xÎQ|x>0};

3)  R* = R\{0};

4)  {xÎR|x > 0);

5)  С* = C\{0};

6)  {zÎС | |z| = 1};

7)  {а + b| а, bÎQ, а2 + b2 > 0};

8)  {а + bi| а, bÎQ, а2 + b2 > 0};

9)  множество Rn всех корней n-ой стпени из единицы.

3.10. Докажите, что следующие множества чисел являются аддитивными группами:

1)  Z;

2)  2Z;

3)  Q;

4)  R;

5)  С;

6) 

7)  {а + bi| а, bÎZ};

8)  {а + bi| а, bÎZ}.

3.11. Докажите, что следующие множества преобразований с операцией - композицией преобразований - являются группа­ми, и определите, какие из этих групп абелевы:

1)  множество всех взаимно-однозначных отображений непустого множества Х на себя;

2)  полугруппа взаимно-однозначных отображений множества Х на себя, которая вместе с каждым отображением содержит обратное ему;

3)  множество всех вращений (поворотов) плоскости вокруг фиксированной точки О;

4)  множество всех вращений плоскости вокруг фиксированной точки О и всех отражений плоскости относительно всех прямых, проходящих через точку О;

5)  множество, состоящее из п вращений плоскости вокруг фиксированной точки О на углы 2kp/n, k=0,1,2, …, n-1 (эта группа называется группой вращений правильного п-угольника).

3.12. Составьте таблицы для закона композиции на следую­щих группах вращений (поворотов) плоскости, совмещающих с собой: -

1)  правильный треугольник;

2)  квадрат;

3)  правильный пятиугольник;

4)  правильный шестиугольник.

3.13. Составьте таблицы для закона композиции на следующих множествах движений и отражений плоскости, совмещаю­щих c собой:

1)  ромб (но не квадрат) ABCD;

2)  правильный треугольник АВС;

3)  квадрат АВСD.

Докажите, что каждое из этих множеств преобразований есть группа.

3.14. Докажите, что каждое из следующих множеств с за­коном композиций, заданным таблицей, является группой:

1)  {е, а}, 2) {е, а, b}.

	e	a			e	a	b
e	e	a		e	e	a	b
b	a	e		a	a	b	e
				b	b	e	a

3.15. Докажите, что следующие множества квадратных матриц 2-го порядка являются мультипликативными группами:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

3.16. Пусть , . Вычислите: f2, g2, fg, gf, f100, g100.

3.17. Решите уравнение fx=g, где:

1)  ,

2)  ,

3.18. При тех же f и g, что и в задаче 15, решите уравнение xf=g.

3.19. Решите уравнение fxg=h, где:

1)  , ,;

2)  , ,.

3.20. Составьте таблицу для закона композиции в группе подстановок третьей степени.

3.21. Докажите, что для множества подстановок с операцией композиции преобразований является группой.

, , , .

3.22. Докажите, что каждое из следующих числовых множеств с обычным сложением и умножением является кольцом:

1)  Z;

2)  2Z (множество четных чисел);

3)  mZ (множество целых чисел, кратных т);

4)  Q;

5)  {а + b| а, bÎZ};

6)  {а + b| а, bÎ2Z};

7)  {а + b| а, bÎQ};

8)  {а + bi| а, bÎZ};

9)  {а + bi| а, bÎ2Z};

10)  {а + bi| а, bÎQ}.

11)  {а + bi| а, bÎQ};

12)  {а + bi| а, bÎZ}.

Какие из этих колец содержат единицу? В таких кольцах ука­жите обратимые элементы. Укажите пары колец, из которых одно является подкольцом другого.

3.23. Докажите, что каждое из следующих множеств матриц с обычным сложением и умножением является кольцом:

1)  Mn(Z) (множество квадратных матриц n-го порядка, эле­менты которых - целые числа);

2)  Mn(Q);

3)  Mn(R);

4)  Mn(C);

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10) 

11) 

12) 

13) 

14) 

15) 

16) 

Какие из этих колец коммутативны? Какие содержат единицу? В таких кольцах укажите обратимые элементы. В кольцах с делителями нуля найдите все делители нуля. Укажите пары колец, из которых одно является подкольцом другого.

3.24. Докажите, что каждое из следующих множеств действительных функций на отрезке [-1, 1] с поточечным сложением и умножением является коммутативным кольцом с единицей:

1)  множество всех непрерывных функций;

2)  множество всех четных функций;

3)  множество всех многочленов;

4)  множество всех многочленов, степень которых меньше или равна n;

5)  множество всех дифференцируемых функций;

6)  множество всех ограниченных функций.

Укажите в этих кольцах обратимые элементы. В каких из этих колец есть делители нуля? Укажите пары колец, из которых одно является подкольцом другого.

3.25. Докажите, что множество ZxZ со следующими операциями является коммутативным кольцом с единицей:

1)  (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+ a2,b1+ b2),

(a1,b1)×(a2,b2)=(a1a2,b1b2);

2)  (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2), (a1,b1)×(a2,b2)=(a1a2+b1b2,a1b2+a2b1);

3)  (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2), (a1,b1)×(a2,b2)=(a1a2+3b1b2,a1b2+ a2b1);

4)  (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2),

(a1,b1)×(a2,b2)=(a1a2-b1b2,a1b2+a2b1).

Укажите в каждом из этих колец обратимые элементы. В коль­цах с делителями нуля найдите все делители нуля.

3.26. Пусть А - аддитивная абелева группа. Определим на А операцию умножения: ab=0 для любых a, bÎA. Докажите, что множество A с этими двумя операциями есть кольцо.

3.27. Какие из колец задач 3 являются полями?