КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Элементы линейной и векторной алгебры
Задание 1. Вычислить определитель:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 2. Даны матрицы А и В. Вычислить А2+2АВ-ВА
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 10.
Задание 3. Решите систему линейных уравнений:
a) методом Гаусса,
b) матричным методом,
c) по правилу Крамера.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 4. Даны векторы 
, 
и 
. Найдите :
а) скалярное произведение векторов 
;
б) векторное произведение векторов 
;
в) смешанное произведение векторов 
;
г) проекцию вектора на вектор ;
д) площадь треугольника, построенного на векторах , ;
е) объем пирамиды, построенной на векторах , , .
1. 
, А(1; 2; 21), В(21; 0; 1), 
, 
.
2. 
, 
, В(0; 1; 2), С(2; 21; 0), 
.
3. 
, 
, 
, С(0; 2; 21), D(21; 22; 21).
4. 
, L(1; 2; 3), N(21; 2; 0), 
, 
.
5. 
, 
, 
, A(0; 22; 1), B(1; 2; 21).
6. 
, 
, , C(0; 2; 3), D(2; 21; 21).
7. 
, A(2; 22; 2), B(1; 0; 21), 
, 
.
8. 
, 
, M(3; 1; 22), N(0; 21; 22), 
.
9. 
, 
, A(22; 1; 3), B(1; 0; 23), 
.
10. 
, M(22; 3; 4),N(0; 22; 3), 
, 
.
Аналитическая геометрия
Задание 1 Даны три последовательные вершины параллелограмма
А(x1;y1) В(x2;y2) С(x3;y3)
Найти:
1. уравнение стороны АD
2. уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АD, длину этой высоты
3. уравнение диагонали BD
4. угол между диагоналями параллелограмма
1. А(0;8) В(-4;-5) С(-8;-2)
2. А(6;5) В(-6;0) С(-10;3)
3. А(10;-1) В(-2;-6) С(-6;-3)
4. А(7;1) В(-5;-4) С(-9;-1)
5. А(1;3) В(9;-1) С(2;-3)
6. А(-5;5) В(1;3) С(3;7)
7. А(2;-2) В(3;-5) С(5;1)
8. А(-2;0) В(8;8) С(6;-2)
9. А(0;2) В(0;4) С(2;4)
10. А(-3;3) В(5;-1) С(5;5)
Задание 2. Задачи на уравнения прямой.
1. Точка С(21; 3) – вершина прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого задана уравнением 
. Найдите уравнения катетов этого треугольника.
2. Заданы уравнение стороны прямоугольника 
и две его вершины А(1; 23) и С(1; 2). Найдите уравнения остальных сторон прямоугольника.
3. Заданы А(1; 3) 2 вершина треугольника АВС и уравнения двух медиан 
и 
. Найдите уравнения сторон треугольника.
4. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку М(2; 23) и образующих угол 45° с прямой 
.
5. Точки А(23; 22), В(4; 21), С(1; 3) – вершины трапеции ABCD (AD||BC). Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найдите координаты вершины D этой трапеции.
6. Точки А(3; 4), В(21; 2), С(2; 21) – вершины треугольника. Найдите уравнение медианы, проведенной из вершины А, и уравнение средней линии, параллельной стороне ВС.
7. Заданы уравнения двух сторон параллелограмма 
, 
и точка пересечения диагоналей А(3; 21). Найдите уравнения двух других сторон.
8. Найдите координаты центра и радиус окружности, проходящей через точки А(1; 5), B(24; 0), C(4; 24).
9. В треугольнике АВС заданы уравнения стороны АВ 
и биссектрис AD 
и ВЕ 
. Найдите координаты вершин.
10. Найдите координаты точки А, симметричной точке В(23; 1) относительно прямой 
.
Задание 3. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую.
1. а) 
,
2. а) 
,
3. а) 
,
4. а) 
,
5. а) 
,
6. а) 
,
7. а)
,
8. а) 
.
9. а) 
.
10. а) 
.
б) 
.
б) 
.
б) 
.
б) 
,
б) 
,
б) 
,
б) 
.
б) 
.
б) 
.
б)
Задание 4. Постройте линию по уравнению в полярных координатах, задавая угол φ от 0 до 2π с шагом 
. Запишите уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат и определите вид кривой.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Введение в математический анализ.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Задание 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. a) 
, 
,
в) 
, 
.
2. a) 
, 
,
, 
.
3. 
, 
,
, 
.
4. 
, 
,
, 
.
5. 
, 
,
, 
.
6. 
, 
,
, 
.
7. 
, 
,
, 
.
8. a)
, 
в) 
, 
.
9. 
, 
,
, 
.
10. 
, 
,
, 
.
Задание 2. Найдите пределы функций при x→ + ∞ и при x→ − ∞ , односторонние пределы в точках разрыва и постройте схематичный чертеж.
1. 
. 2. 
. 3.
.
4.
. 5. 
6. 
.
7. 
8. 
. 9. 
. 10.
.
Задание 3. Постройте график функции y=f(x). Укажите точки разрыва функции, если они существуют.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.
9. 
10. 
Задание 4. Найдите производные данных функций.
 |
 |
1. 2.
4.
3.
5. 6.
 |
 |
7. 8.
9. 10.
Задание 5. Докажите, что заданная функция y=f(x) является решением уравнения.
 |
1.
2.
 |
3.
 |
4.
 |
 |
5.
6.
 |
 |
7.
8.
 |
9.
 |
10.
Задание 6. Провести полное исследование функции и построить её график.
 |
 |
1. 2.
2.
3. 4.
 |  |
5. 6.
 |
 |
7. 8.
 |  |
9. 10.
Задание 7.
1. Найти наибольшую площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной а.
2. Найти наибольшую площадь равнобедренного треугольника, вписанного в круг радиуса r.
3. Найти наименьшую площадь равнобедренного треугольника, описанного вокруг окружности радиуса r.
4. Найти наибольший объём конуса с образующей равной l.
5. Найти наибольший объём цилиндра, если площадь его полной поверхности равна S.
6. Цилиндр вписан в конус с высотой H и радиусом основания R. Найти наибольший объём вписанного цилиндра.
7. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса R.
8. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Найти длины сторон этого прямоугольника.
9. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объёма, описанного около шара радиуса R.
10. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.
