§8. Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве 
(
) декартов прямоугольный базис 
,
,
(,). Рассмотрим следующие задачи.
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора 
, если известны декартовы координаты начала и конца вектора.
Пусть точки 
и 
лежат в плоскости 
и имеют координаты 
, 
. Рассмотрим векторы , 
и 
. Имеем:
.
Но 
,
.
Следовательно, 
.
Аналогично получаем, что если 
и 
, 
, то
.
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе.
Пусть 
и 
. Имеем:
, 
.
Рассмотрим треугольник 
. Имеем:
, 
, 
.
Следовательно, по теореме Пифагора,
,
Þ 
.
Аналогично получаем, что если 
и
,
то 
.
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора 
называется вектор 
, сонаправленный с вектором и имеющий единичную длину.
Пусть . Так как векторы и сонаправленны, то существует 
такое, что 
. Следовательно
.
Найдем 
. Имеем:
,
Þ 
.
Таким образом, получаем:
.
Координаты орта вектора имеют очень простой геометрический смысл. Обозначим через 
, 
и 
углы, которые вектор образует с координатными осями 
, 
и 
соответственно. 
, 
, 
называются направляющими косинусами вектора . Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем:
 |
Аналогично находим:
, 
.
Следовательно,
, 
, 
.
Таким образом, получили, что координаты орта вектора являются его направляющими косинусами.
Замечание. Так как 
и 
, то
.
Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка 
делит отрезок 
в отношении 
если 
.
Если , то точка лежит между точками 
и 
. В этом случае говорят, что точка делит отрезок во внутреннем отношении.
Если 
, то точка лежит на продолжении отрезка и говорят, что точка делит отрезок во внешнем отношении.
Пусть 
, 
и 
. Обозначим через 
, 
, 
– радиус-векторы точек , и соответственно. Тогда
, 
.
Так как , то
,
,
,
(1)
или в координатной форме:
, 
, 
. (2)
В частности, если – середина отрезка , то
,
т. е. 
и формулы (1) и (2) примут вид:
и 
, 
, 
.
Замечание. Если точка лежит между точками и , то обычно говорят, что делит отрезок в отношении 
. В этом случае 
, а формулы (1) и (2) можно переписать в виде:
и 
, 
, 
.
§9. нелинейные операции на множестве
векторов
1. Скалярное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и 
называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т. е. число
.
Если 
или , то скалярное произведение векторов и полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначают 
или 
.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т. е.
.
Это свойство очевидно из определения.
2) Скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на проекцию вектора на вектор (длины вектора на проекцию на ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора на вектор называется проекция вектора на ось, определяемую вектором .
Имеем: 
.
Но 
, 
.
Следовательно, 
,
и 
.
3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак скалярного произведения. Т. е.
.
Действительно, пусть . Тогда
,
.
Пусть . Тогда
, 
,
.
4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно:
,
.
Действительно,
.
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т. е.
.
Это свойство очевидно из определения.
6) Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (критерий перпендикулярности векторов).
Действительно, пусть векторы и перпендикулярны. Тогда
и 
.
Обратно, пусть 
и 
, . Тогда
и 
, 
,
и 
.
7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы 
и 
имеют координаты: 
, 
,
то 
. (1)
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов. Она легко выводится из свойств 4, 5, и 6.
8) Если под действием постоянной силы 
точка перемещается по прямой из точки в , то работа силы будет равна
(физический смысл скалярного произведения).
