Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 4 )

ТЕОРЕМА 5.1. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром . Тогда справедливы равенства , .

Доказательство. Имеем

.

Итак, равенство доказано. Равенство примем без доказательства.

Тема 6. Закон больших чисел

Содержательные теоремы теории вероятностей могут быть получены, если рассматривать не одно событие или случайную величину, а много. Для этого необходим аппарат, позволяющий с тем или иным приближением получать выводы о вероятностях разных событий, связанных с большим числом случайных величин. Одним из звеньев этого аппарата является неравенство Чебышева.

ТЕОРЕМА (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины и любого выполняется неравенство , называемое неравенством Чебышева.

Доказательство. Справедлива цепочка равенств и неравенств

.

откуда вытекает требуемое неравенство.

Определение. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если выполняется условие . Обозначается .

ЛЕММА. Пусть – последовательность случайных величин. Для того чтобы последовательность сходилась по вероятности к 0 при , достаточно выполнения условия .

Доказательство. Применяя неравенство Чебышева, получаем

, ,

то есть , что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА (закон больших чисел). Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин, удовлетворяющих условию (равномерная ограниченность дисперсий). Тогда справедливо соотношение

называемое законом больших чисел.

Доказательство. Введем случайные величины

.

Тогда верны равенства .

Покажем, что выполняется условие . В самом деле, имеем

.

Следовательно, , то есть

,

что и доказывает утверждение теоремы.

Следствие. Пусть – последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин, причем при всех . Тогда выполняется условие , .

Доказательство. В данном случае имеем

.

Тогда по закону больших чисел получаем

то есть , , что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы

1.  Как определяется независимость случайных величин?

2.  Как формулируется критерий независимости случайных величин?

3.  Какими свойствами обладают независимые случайные величины?

4.  Как определяется коэффициент корреляции?

5.  В каких пределах может находиться коэффициент корреляции?

6.  Как формулируется формула Бернулли?

7.  Как вычисляется математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Бернулли с параметрами , ?

8.  Как формулируется теорема Пуассона?

9.  Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром ?

10.  Как определяется ?

11.  Чему равно , , ?

12.  Какие значения могут принимать параметры и в формуле Бер-
нулли?

13.  Какие условия накладываются на вероятности в теореме Пуас-
сона?

14.  Как формулируется неравенство Чебышева?

15.  Как определяется сходимость последовательности случайных вели-
чин к случайной величине по вероятности?

16.  Какое условие является достаточным для справедливости соотно-
шения ?

17.  Как формулируется закон больших чисел?

18.  Как формулируется следствие из закона больших чисел?

Тестовые задания

1.  Независимость случайных величин необходима для выполнения
равенства:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.  Если случайные величины и независимы, то независимыми
являются и:

а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

3.  Если случайные величины и независимы, то выполняются
равенства:

а) ; б) ; в) ; г) .

4.  Какое из следующих равенств не верно?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5.  Какое из данных чисел не может быть значением коэффициента
корреляции?

а) ; б) ; в) 2; г) 0.

6.  Если , , , то равен:

а) 0,9; б) 0,09; в) 0,3; г) 0,03.

7.  Правой частью формулы Бернулли является выражение ( – чис-
ло опытов, – число «успехов»):

а) ; б) ;

в) ; г) .

8.  Если имеет распределение Бернулли с параметрами ,
, то верны оба равенства:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

9.  Если имеет распределение Пуассона с параметром , то
верны оба равенства:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

10.  Если имеет распределение Пуассона с параметром , то
равно:

а) 100; б) 110; в) 90; г) 10.

11.  равно:

а) 5; б) не определено; в) 0; г) 1.

12.  Выполнение какой пары условий требуется в теореме Пуассона?

а) ; б);

в); г) .

13.  Фрагментом доказательства какого утверждения является соот-
ношение ?

а) формула Бернулли; б) теорема Пуассона;

в) неравенство Чебышева; г) закон больших чисел.

14.  Неравенство Чебышева имеет следующий вид:

а) ; б) ;

в) ; г) .

15.  Условие является достаточным для выполнения со-
отношения:

а) при ; б) при ;

в) ; г) .

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
б	б	а	б	в	а	в	а	г	б	г	в	в	а	в

Модуль 3. Случайные величины и их распределения

в вероятностном пространстве общего вида

Тема 7. Вероятностные пространства общего вида

Откажемся теперь от конечности и счетности пространства элементарных исходов и перейдем к общему случаю. Итак, пусть имеется пространство элементарных исходов произвольной мощности. В общей аксиоматике сохраняется понятие события как подмножества множества . Однако теперь не требуется, чтобы любое подмножество было событием. Требуется лишь, чтобы теоретико-множественные операции, производимые над счетным числом событий, приводили опять к событиям.

Определение 7.1. Система подмножеств множества называется -алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) , ;

2) если , то ;

3) если – некоторое счетное семейство подмножеств и при всех , то подмножества и также принадлежат .

Следующее определение дает нам способ задания интересующих нас -алгебр.

Определение 7.2. Пусть – некоторый класс подмножеств .
-алгеброй, порожденной данным классом, называется наименьшая
-алгебра , содержащая данный класс.

Таким образом, если , то – -алгебра, , и если
– другая -алгебра, обладающая этим свойством, то .

Можно показать, что для любого класса подмножеств
-алгебра, порожденная данным классом, существует и единственна.

Воспользуемся описанной выше конструкцией для определения борелевской -алгебры на числовой прямой (аналогичным образом можно определить борелевскую -алгебру на любом отрезке числовой прямой).

Определение 7.3. Пусть – класс всех открытых интервалов числовой прямой. -алгебра, порожденная данным классом, называется борелевской -алгеброй.

ТЕОРЕМА 7.1. Борелевская -алгебра на числовой прямой содержит следующие подмножества:

1)  отдельные точки;

2)  полуоткрытые и замкнутые интервалы;

3)  множество рациональных точек;

4)  множество иррациональных точек;

5)  открытые множества;

6)  замкнутые множества;

7)  множества вида , где – непрерывная функция, –
константа.

Доказательство

1)  каждую точку можно представить в виде
. Все интервалы – борелевские множества, и
их счетное пересечение – также борелевское;

2)  утверждение следует из 1) и равенств ,
, ;

3)  множество рациональных точек является борелевским как счет-
ное объединение отдельных точек;

4)  множество иррациональных точек является борелевским как до-
полнение к множеству рациональных точек;

5)  каждое открытое множество является борелевским как объеди-
нение счетного числа интервалов;

6)  каждое замкнутое множество является борелевским как дополне-
ние к открытому множеству.

7)  каждое множество вида является борелевским как
замкнутое множество.

Пример множества, не являющегося борелевским, привести трудно. Все множества, имеющие практический интерес, являются борелевскими.

Определение 7.4. Пусть – пространство элементарных исходов,
– -алгебра событий. Вероятностью называется функция , обладающая свойствами:

1) , ,

2) если – класс событий, не более чем счетно, при всех , то верно равенство .

Последнее равенство называется свойством счетной аддитивности вероятности.

Замечание. Условия 1) и 2) называются аксиомами Колмогорова.

Определение 7.5. Тройка , где – множество (называемое множеством элементарных исходов), – -алгебра (называемая
-алгеброй событий), – функция, обладающая свойствами 1) – 2) предыдущего определения (называемая вероятностью), называется вероятностным пространством.

ТЕОРЕМА 7.2. Вероятность обладает следующими свойствами:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Доказательство

1) – 3) доказывается точно так же, как в конечном случае; 4) примем без доказательства.

Определение 7.6. Говорят, что имеется задача на геометрическую вероятность, если – некоторая область в , , имеющая конечную лебеговскую меру, – класс борелевских подмножеств , а вероятность определяется формулой , где – лебеговская мера множества .

Замечание. При , то есть на прямой, – это длина или сумма длин; при , то есть на плоскости, – это площадь или сумма площадей; при , то есть в пространстве, – это объем или сумма объемов.

Тема 8. Случайные величины. Математическое ожидание

Для вероятностного пространства общего вида сохраняется определение случайной величины как функции , однако добавляется требование, заключающееся в том, что прообраз каждого борелевского множества должен являться событием.

Определение 8.1. Пусть – вероятностное пространство, – множество действительных чисел, – -алгебра борелевских множеств. Случайной величиной называется отображение , обладающее свойством , где – прообраз множества при отображении .

Определение 8.2. Случайная величина называется простой, если ее можно представить в виде , где – действительные числа, ( называется индикатором события ), система множеств является разбиением , то есть обладает свойствами: