Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 6 )

.

ТЕОРЕМА 10.1. Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) (то есть функция распределения является непрерывной слева);

7) если – абсолютно непрерывно, и – плотность распределения, то ;

8) если – абсолютно непрерывно, – функция распределения, – плотность распределения, то во всех точках непрерывности справедливо равенство .

Предварительно сформулируем (без доказательства) следующую лемму.

ЛЕММА. Если события образуют возрастающую последовательность, то есть и , то . Если события образуют убывающую последовательность, то есть и , то .

Вернемся к доказательству теоремы:

1)  если , то , следовательно, , то есть ;

2)  ,

;

3)  пусть , тогда , ;

4)  , ;

5)  ,

;

6)  ;

7)  пусть – абсолютно непрерывно, – плотность распределения, тогда ;

8)  вытекает из 7).

Теорема доказана.

Пример 10.1. Пусть ξ имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей: , где . Найти .

Рассмотрим значения функции распределения в каждом интервале, на которые разбивается числовая ось значениями случайной величины.

,

;

,

;

,

;

…

,

;

…

,

;

,

.

Таким образом, получаем функцию распределения в виде

График функции распределения дискретной случайной величины представлен на рис. 1.

Пусть случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда

.

Пример 10.2. Пусть случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке , то есть

Подсчитаем .

Пусть , тогда .

Пусть , тогда

.

Пусть , тогда

.

Получаем функцию распределения в виде

На рис. 2 изображен график функции распределения равномерно распределенной абсолютно непрерывной случайной величины.

Пример 10.3. Пусть случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром , то есть выполняется равенство

Подсчитаем при . Очевидно, что при .

.

Таким образом, получили

Тема 11. Случайные векторы

Определение 11.1. Борелевской -алгеброй в пространстве называется -алгебра, порожденная классом всех открытых параллелепипедов, то есть множеств вида . Данная -алгебра обозначается и множества из борелевской -алгебры называются борелевскими множествами. Таким образом будем рассматривать измеримое пространство .

Определение 11.2. Пусть – вероятностное пространство. Случайным вектором называется отображение , обладающее свойством .

Замечание. Каждый случайный вектор ξ представляет собой упорядоченный набор случайных величин: .

Определение 11.3. Пусть ξ – некоторый случайный вектор. Распределением данного случайного вектора называется отображение , удовлетворяющее равенствам

.

ТЕОРЕМА 11.1. Распределение удовлетворяет аксиомам Колмогорова и, следовательно, является вероятностью.

Теорему примем без доказательства.

Определение 11.4. Распределение случайного вектора ξ называется дискретным, если существует такое не более чем счетное множество , для которого .

Двумерный случайный вектор обычно обозначается . Дискретное распределение двумерного случайного вектора задается следующей таблицей

Здесь – значения, которые может принимать случайная величина ξ, – значения, которые может принимать случайная величина , и .

Определение 11.5. Распределение случайного вектора ξ называется абсолютно непрерывным, если существует такая измеримая функция , называемая плотностью распределения, для которой выполняется условие

.

ТЕОРЕМА 11.2. Плотность распределения случайного вектора обладает свойствами:

1) ; 2) почти всюду.

ТЕОРЕМА 11.3. Пусть случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда каждая компонента данного случайного вектора также имеет абсолютно непрерывное распределение, причем справедливы равенства:

, .

Доказательство. Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , то выполняется условие

.

Подсчитаем

. (***)

Равенство (***) означает, что ξ имеет абсолютно непрерывное распределение и . Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 11.4. Пусть случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью . Тогда для того чтобы случайные величины и были независимы, необходимо и достаточно выполнение условия .

Доказательство

и независимы

.

Предположим, что . Подсчитаем

.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 11.5. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , а случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью и случайные величины и независимы, то + также имеет абсолютно непрерывное распределение, плотность которого выражается равенством

.

Данная формула называется формулой свертки, или композицией распределений (приводится без доказательства).

Тема 12. Характеристические функции.

Центральная предельная теорема

и теорема Муавра – Лапласа,

их применение

Определение 12.1. Пусть случайная величина ξ обозначается и определяется равенством , .

ТЕОРЕМА 12.1. Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) если , то ;

4) если – независимы, то выполняется равенство

;

5) пусть у характеристической функции существуют производные до порядка включительно, тогда выполняется равенство .

Доказательство

1) ;

2) ;

3) ,

;

4) – независимы тоже независимы,

;

5) докажем для случая, когда случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью :

; ;

;

;

;

…

;

.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 12.2. Если у двух случайных величин совпадают характеристические функции, то распределения данных случайных величин также совпадают.

Замечание. Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей , то характеристическую функцию данной случайной величины можно вычислять по формуле

.

Пример 11.1. Вычислим характеристическую функцию для распределения Пуассона с параметром .

.

.

Таким образом, для распределения Пуассона .

Пусть имеем распределение Пуассона с параметром . Вычислим и .

;

;

;

;

.

ТЕОРЕМА 12.3. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , тогда случайная величина + имеет распределение Пуассона с параметром .

Доказательство 1. Рассмотрим

.

Доказательство 2

; ;

.

Получили характеристическую функцию распределения Пуассона с параметром . Таким образом, + имеет распределение Пуассона с параметром .

Теорема доказана.

Замечание. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью , то выполняется равенство

.

Пример 11.2. Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем .

,

тогда

=

(рассмотрим показатель

= (обозначим , ) =

(так как – интеграл Пуассона) =

.

Таким образом, .

Пусть ξ имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем и .

;

.

;

.

.

ТЕОРЕМА 12.4. Если случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами и , то случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами .

Доказательство. Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то и тогда .

Если , то .

Теорема доказана.

Замечание. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами . Тогда плотности распределения случайных величин и равны , .

По формуле свертки получаем

.

ТЕОРЕМА 12.5. Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами , а имеет нормальное распределение с параметрами и случайные величины и независимы, тогда  +  имеет нормальное распределение с параметрами .

Доказательство. Выпишем характеристические функции данных случайных величин

, .

,

то есть получили характеристическую функцию для суммы  +  с параметрами .

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА (центральная предельная теорема). Пусть – последовательность независимых случайных величин, у каждой из которых существует , . Обозначим , , . Тогда при выполнении условия при справедливо соотношение при и равномерно по .

Замечание. Поскольку , , то , а и тогда . Таким образом, слева в утверждении теоремы находится функция распределения нормированных сумм независимых случайных величин.

Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то .

Если ξ имеет нормальное распределение с параметрами , то , а .

Итак, справа в утверждении теоремы находится функция распределения случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами . Таким образом, в центральной предельной теореме (ЦПТ) утверждается, что распределение последовательности нормированных сумм независимых случайных величин сходится к стандартному нормальному распределению.

Приведем пример использования ЦПТ.

Пусть дана последовательность случайных величин , удовлетворяющая условиям теоремы, и пусть требуется вычислить вероятность того, что . Имеем

,

где , – функция Лапласа. (Функция Лапласа обладает свойствами , , .)

Следствие (ТЕОРЕМА Муавра – Лапласа). Пусть дана последовательность испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов» в последовательности
n испытаний Бернулли. Тогда справедливо:

при n→∞ равномерно по x.

Доказательство. Определяем случайную величину равенством

Тогда имеет распределение , и ,

.

Теперь воспользуемся ЦПТ при

.

Проверим выполнение условия:

.

Заметим, что

;

.

Тогда при .

Таким образом, условие ЦПТ выполняется и, следовательно, справедливо утверждение ЦПТ. Тогда при равномерно по .

Теорема доказана.

Рассмотрим применение теоремы Муавра – Лапласа.

Пусть проводятся испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов». Имеем

.

Контрольные вопросы

1.  Что такое функция распределения?

2.  Какими свойствами обладает функция распределения?

3.  Может ли функция распределения принимать значения ; ; ; 0; ; 1; 2?

4.  Как связаны функция и плотность абсолютно непрерывного распределения?

5.  Какой вид имеет функция равномерного распределения на отрезке ?

6.  Какой вид имеет функция показательного распределения с параметром ?

7.  Что такое случайный вектор?

8.  Как определяется распределение случайного вектора?

9.  Какими свойствами обладает плотность распределения случайного вектора?

10.  Как, зная плотность распределения двумерного случайного вектора,
вычислить плотности распределения его компонент?

11.  Как формулируется критерий независимости случайных величин,
имеющих абсолютно непрерывное распределение?

12.  Как определяется характеристическая функция случайной величи-
ны ξ?

13.  Какими свойствами обладает характеристическая функция случай-
ной величины ξ?

14.  Чему равна характеристическая функция суммы независимых слу-
чайных величин?

15.  Как вычисляется характеристическая функция для дискретных рас-
пределений?

16.  Как вычисляется характеристическая функция для абсолютно непрерывных распределений?

17.  Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин,
имеющих распределение Пуассона с параметрами и соответ-
ственно?

18.  Какое распределение имеет сумма независимых случайных величин,
имеющих нормальное распределение с параметрами и соответственно?

19.  Как определяется функция Лапласа?

20.  Какими свойствами обладает функция Лапласа?

21.  Как формулируется центральная предельная теорема?

22.  Как формулируется теорема Муавра – Лапласа?

Тестовые задания

1. Функция распределения случайной величины определяется ра-
венством:

а) ; б)

в) ; г) другое.

2. Если – функция распределения случайной величины ξ и
, то выполняется соотношение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Если – функция распределения, а – плотность распреде-
ления абсолютно непрерывной случайной величины и ,
то выполняется равенство:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Функция равномерного распределения на отрезке имеет вид:

а) ; б)

в) г)

5. Если – плотность распределения случайного вектора
, то справедливо равенство:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6. Характеристическая функция случайной величины ξ определяется
равенством:

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Если случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное рас-
пределение с плотностью , то выполняется равенство:

а) ; б) ;

в) ; г) .

8. Независимость случайных величин ξ и η необходима для выпол-
нения равенств:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Функция Лапласа определяется равенством:

а) ; б) ;

в) ; г) .

10. Пусть и независимы, имеет распределение Пуассона с
параметром , имеет распределение Пуассона с параметром
. Тогда сумма  +  имеет распределение Пуассона, пара-
метр которого равен: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Б	а	а	б	г	г	а	в	в	б

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1988.

Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2000.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.

Учебное издание

,

,

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие для студентов заочного отделения

механико-математического факультета

В двух частях

Часть 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Ответственный за выпуск О.Л. Багаева

Технический редактор Л.В. Агальцова

Корректор Е.Б. Крылова

Оригинал-макет подготовлен ,

Подписано в печать 13.05.2009.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 3,49(3,75). Уч.-изд. л. 3,3. Тираж 100 экз. Заказ 50.

Издательство Саратовского университета.

Саратов, Астраханская, 83.

Типография Издательства Саратовского университета.
Саратов, Астраханская, 83.