Многокомпонентные модели и алгоритмы анализа аномальных геофизических сигналов (стр. 2 )

.

Получаем, что в компоненте сигнала мы имеем приближение аппроксимируемой функции с разрешением . Изолированные особенности структуры случайного сигнала отображаются в пространства и . Автокорреляционная функция от определяется как

,

где – автокорреляционная функция компоненты.

Следовательно, коэффициенты , соответствующие компоненте , содержат устойчивые характеристики структуры сигнала.

Вейвлет-преобразование предоставляет широкий спектр базисных функций, но качество обработки, определяется их свойствами. Решение проблемы выбора базисной функции является нелегким. В зависимости от задачи возможны различные способы формирования критериев.

С целью обеспечения численно устойчивых разложений сигнала, в диссертации, в качестве первого критерия, определено условие: является –функцией.

Решая задачу аппроксимации сигнала в базисе ортогональных функций в качестве следующих критериев логично определить:

1.  минимизацию числа аппроксимирующих слагаемых;

2.  минимизацию погрешности аппроксимации.

Минимизация числа аппроксимирующих слагаемых и минимизация погрешности аппроксимации достигается на основе выбора вейвлет-базиса, обеспечивающего как можно большее число вейвлет-коэффициентов , которые являются пренебрежимо малыми. Нелинейная аппроксимирующая схема, удовлетворяющая этим требованиям, определена в работе как наилучшая аппроксимирующая схема (НАС).

Показано, в этом случае определяющими, при выборе семейства базисов, будут характеристиками: гладкость, размер носителя, число нулевых моментов.

Предложена методика построения НАС сигнала, включающая операции:

1. удаление шума;

2. выбор базиса;

3. идентификация структурных компонентов сигнала.

В основе данной методики лежит следующий численный алгоритм:

1.  построение полного дерева разложения: , есть базис пространства ;

2.  определение ветвей дерева, соответствующих структурным компонентам сигнала путем выбора «наилучшего» базиса: «наилучший» базис пространства есть базис

,

где множества индексов определяются следующим образом:

индекс , порог .

Доказано, выделенные, на основе этих операций, детализирующие вейвлет-коэффициенты соответствуют изолированным особенностям структуры сигнала и определяют компоненты ММВР, а вейвлет-коэффициенты аппроксимирующей компоненты сигнала соответствуют устойчивым характеристикам его структуры и определяют компоненту ММВР.

  Оценка модели в диссертационной работе выполняется на основе минимаксного подхода. Сигнал оценивается преобразованием зашумленных данных с помощью оператора решения . Результирующая оценка есть

.

Погрешность оценки составляет

.

Минимаксный риск – это нижняя граница, вычисленная по всем линейным и нелинейным операторам :

.

Оптимизация оценки выполняется в работе путем улучшения порога на основе алгоритма НОРШ-порога.

Также в работе предложен метод оптимизации модели путем определения наилучшего базиса. Определение наилучшего базиса основывается на результатах работы S. Mallat. Оценка получается пороговой обработкой разложения сигнала длины в базисе , :

,

где – пороговая функция.

Идеальный базис – это такой, который минимизирует погрешность оценки

.

Тогда, оценив погрешность в каждом базисе , логично определить в качестве наилучшего базиса тот, который ее минимизирует.

В основе метода диагностики модели лежит естественное предположение, что полезные составляющие сигнала более скоррелированы, чем случайные возмущения. Когда возрастает, есть вероятность, стремящаяся к 1, что

.

Корреляция сигнала с базисом определяется как

.

.

Тогда диагностика модели может быть построена на проверке условия:

,

где – множество векторов из , для которых не выполнено условие , - их количество.

В третьей главе описаны методы оценки параметров ММВР на основе совместного применения вейвлет-преобразования и модели АРПСС. Расширяя область традиционных методов анализа временных рядов, автором предложена новая математическая модель, представляющая собой линейную комбинацию составляющих двух видов: детализирующую и аппроксимирующую. Детализирующая составляющая модели аппроксимирует изолированные особенности в структуре сигнале. Методы оценки параметров данной составляющей основаны на вейвлет-теории. Аппроксимирующая составляющая содержит устойчивые характеристики структуры сигнала, оценка которых основана на методах АРПСС. Разработаны численные методы и алгоритмы идентификации новой модели, описаны ее свойства. Предложены методы автоматического обнаружения и классификации аномальных особенностей в структуре сложного сигнала, основанные на введенной математической конструкции.

Модель (6) может быть представлена в виде линейной комбинации составляющих двух видов:

,

где , , ,, – множество индексов, определяемое свойствами функции .

Компоненты , соответствующие составляющей модели, являются детализирующими и включают в себя приращения порядка . Данная составляющая нацелена на выделение изолированных особенностей в структуре сигнала. Методы выделения и классификации этих особенностей основаны в работе на анализе наибольших абсолютных значений коэффициентов , которые определены в качестве параметров составляющей модели.

Для оценки параметром сглаженной компоненты модели в работе предложены методы АРПСС.

Общий вид модели сигнала, получаемый на основе совместного применения конструкции вейвлет-преобразования и методов АРПСС, имеет вид:

,

где , – множество индексов, определяемое свойствами функции ; – коэффициенты авторегрессии, ,

Эта модель названа в работе вейвлет-преобразование авторегрессия (ВПАР).

Показано, совместное применение методов вейвлет-преобразования и модели АРПСС обеспечивает выполнение следующих важных свойств:

позволяет выделить изолированные особенности в структуре сигнала и идентифицировать их на основе вейвлет-преобразования; позволяет выделить стационарные характеристики временного ряда и идентифицировать их на основе модели АРПСС; обеспечивает понижение порядка модели АРПСС.

Таким образом, предложенная конструкция – ВПАР не только расширяет область использования класса моделей АРПСС, но и улучшает свойства результирующей АР-модели. Этапы идентификации модели ВПАР могут быть представлены в виде схемы, показанной на рис. 1.

 

Рис. 1. Этапы идентификации модели вейвлет-преобразование авторегрессия.

Формальная постановка задачи обнаружения и классификации аномальных особенностей в сигнале следующая:

Пусть дана случайная последовательность значений функции , обладающая набором свойств. Предположим, что в момент времени последовательность меняет одно (или несколько) из своих свойств. Наблюдая , необходимо:

·  обнаруживать момент изменения свойств ;

·  классифицировать вид особенности и ее временную протяженность;

·  формулировать заключение о поведении объекта исследования.

Методы обнаружения и классификации высокочастотных аномальных особенностей в сигнале построены на обработке детализирующие составляющей модели:

1. Обнаружение аномалии:

1.1. на каждом уровне детализации сохранение коэффициентов , абсолютные значения которых превышают пороговое значение : , если ;

1.2. в случае выполнения условия:

,

где – порог, определяющий наличие аномалии в сигнале, – пределы временного окна,

в момент времени имеем аномалию;

2. Классификация особенности:

2.1. по виду: на каждом уровне детальности для аномальной точки определяется гладкость Липшица по максимальному наклону как функции ;

2.2. по энергии: на каждом уровне детальности производится расчет энергии в пределах скользящего временного окна:

,

где – пределы временного окна;

2.3. по масштабу: для всех уровней детальности производится расчет общей энергии в пределах скользящего временного окна:

,

где – пределы временного окна;

Методы обнаружения и классификации аномальных особенностей в сигнале, соответствующих длительным периодам времени, построены на обработке сглаженной составляющей модели:

Пусть дана последовательность значений функции . Рассмотрим следующие гипотезы:

·  порождаются – образуют конечное число изолированных точек наблюдаемой последовательности;

·  порождаются порождаются моделью ;

·  порождаются моделью порождаются моделью порождаются моделью , где – семейство моделей, параметризованных вектором .

В случае выполнения гипотезы дополнительной задачей становится задача определения моментов времени . В случае выполнения гипотезы помимо оценки времени изменения возникает задача определения . Поскольку обработка данных предполагается по мере их поступления, мы можем ограничиться рассмотрением гипотез .

Для получения оценки времени изменения в случае обработки блоков данных разумнее всего применять метод максимального правдоподобия. В соответствии с идеей проверяются гипотезы , состоящие в том, что , где – момент изменения свойств процесса. Вероятность ошибочной классификации будет минимальной, если гипотеза принимается при выполнении условия

,

где – функция правдоподобия, соответствующая гипотезе , – плотность распределения наблюдений . Все значения предполагаются равновероятными. Оценка получается заменой неизвестной величины оценкой максимального правдоподобия. Применительно к модели АРСС имеем:

В случае гауссовской модели, следуя Боксу и Дженкинсу, имеем:

где – ковариационная матрица последовательности авторегрессии, – матрица квадратичной формы нормального закона.

Общая схема решения задачи обнаружения и классификации аномальных особенностей в сигнале на основе модели вейвлет-преобразование авторегрессия представлена на рис.2.

 

Рис. 2. Схема решения задачи обнаружения и классификации аномальных эффектов в сигнале на основе конструкции ВПАР.

Четвертая глава посвящена описанию методов оценки параметров ММВР на основе совместного применения вейвлет-преобразования и методов нейронных сетей (НС). Предложена новая математическая модель – вейвлет-преобразование нейронная сеть (ВПНС), позволяющая идентифицировать многокомпонентную модель сигнала, в случае, когда компоненты вейвлет-преобразования имеют нелинейную структуру. Синтезируются методы и алгоритмы формирования обучающего и тестового множеств для обучения НС, обеспечивающие адекватность модели для сигналов со сложной структурой.

В случае, когда для временного ряда сложной структуры идентифицировать модель общего вида не представляется возможным, стоит задача аппроксимации частного вида функций, принимающих дискретное множество значений. Существенная особенность НС состоит в том, что вид аналитической зависимости между переменными находится в процессе обучения сети. Показатели качества отображения во многом определяются характеристиками обучающего множества. В работах большинства авторов основное внимание уделено выбору архитектуры и способу обучения сети, а этап предобработки рассматривается, к сожалению, только в контексте решаемой задачи. Авторы этих работ не учитывают, что задача предобработки данных определяет не только конечный результат, но и влияет на все остальные этапы разработки НС. Удаляются избыточные и шумовые данных, понижается размерность пространства признаков, следовательно, сокращается размерность обучающего множества, упрощается архитектура сети и сокращается время ее обучения.

В диссертационной работе предложены следующие методы формирования обучающего и контрольного множеств:

1.  понижение размерности пространства признаков на основе удаления шумовой компоненты;

2.  выделение характерных особенностей структуры сигнала;

3.  устранение несущественных и редковстречающихся признаков.

Первая процедура базируется на построении НАС сигнала и применению операции вейвлет-фильтрации. Для реализации второй процедуры общий массив данных делится на блоков длины :

.

Далее выполняется отображение каждого блока данных в пространство вейвлет-образов:

,

где – номер блока, .

Каждая выделенная компонента сигнала определяет подпространство пространства признаков сигнала: , . Компоненты, из которых далее будет сформирована обучающая выборка, определяются следующим образом: сравниваются структуры , соответствующие различным блокам данных : компонента является характерной для сигнала, если она выделена в каждом блоке , т. е. . Последовательный анализ узлов дерева вейвлет-пакета снизу вверх на основе этой методики позволяет определить характерные для аппроксимируемого сигнала компоненты.

Устранение несущественных и редковстречающихся признаков выполняется на основе анализа выделенных компонент сигнала : для каждой компоненты выполняется анализа гистограмм вейвлет-коэффициентов, построенных по данным всех блоков. Признак считается редковстречающимся и несущественным, если плотность вероятности в соответствующей точке пространства меньше, чем некоторое наперед заданное число . Для устранения такого признака вейвлет-коэффициенты, которые попадают в окрестность этих точек, заменяются нулями.

Предложенные методы выделяют информативные составляющие сложной функции с учетом ее внутренней структуры и не нарушает вероятностную структуру исходных данных.

Полученные на основе описанных процедур реконструированные сигналы :

,

где , – множество существенных признаков,

аппроксимируются нейронной сетью. Изолированные особенности сигнала отображаются в детализирующую компоненту модели. Общий вид модели временного ряда, получаемый на основе совместного применения конструкции вейвлет-преобразования и методов НС, имеет вид:

,

где– функция активации НС, – весовые коэффициенты НС, – коэффициенты вейвлет-преобразования, – вейвлет-базис, , – множество существенных признаков, - детализирующие коэффициенты вейвлет-преобразования, , – множество изолированных особенностей сигнала, превышающих пороговое значение , – вейвлет-базис.

Полученная модель названа в работе моделью вейвлет-преобразование нейронная сеть (ВПНС). Этапы ее идентификации представлены на рис. 3.

 

Рис. 3. Этапы идентификации модели сигнала на основе совместного применения конструкции вейвлет-преобразования и методов НС.

В качестве приложения вейвлетов к обработке экспериментальных данных в пятой главе рассматривается метод оценки плотности распределения случайной величины на основе вейвлет-преобразования.

Оцениваемая функция представлена в виде:

,

где – шум, - гистограмма, построенная на основе выборки.

Функция оценивается преобразованием с помощью оператора решения . Результирующая оценка есть

.

Наша цель – это минимизация погрешности оценки. Оптимизация оператора зависит от априорной информации, имеющейся в нашем распоряжении. Освободившись от предположения о нормальности можно использовать минимаксную процедуру.

В работе, в качестве аппроксимирующей функции, рассматривается нелинейная аппроксимирующая схема. В этом случае, используя метод вейвлет-преобразования, на основе обширного словаря ортонормированных вейвлет-базисов мы имеем возможность подобрать функции, обеспечивающие наилучшую оценку функции .

Процедура выделения структурных составляющих функции выполняется на основе пороговой функции.

Оценка погрешности вычисляется по зашумленным данным и оптимизируется минимизацией .

Если

,

где , – вейвлет-базис,

то пороговая обработка делает этот коэффициент равным нулю, что приводит к погрешности равной.

Так как

,

то можно оценить с помощью .

Если , то погрешность равна энергии шума. Она оценивается величиной .

Результирующая оценка есть

, где .

Предложенный подход является весьма полезным в случае наличия малого числа наблюдений. Получение оценок в среднем на основе вейвлет-аппроксимации дает здесь более ценную информацию о законе распределения случайной величины, чем конкретные значения частот имеющейся выборки.

В случае наличия нескольких выборок, в работе предложены методы улучшения полученной оценки путем выделения характерных для функции признаков.

В качестве одного из примеров использования предложенного подхода в работе рассмотрена задача обработки данных сейсмического каталога п-ова Камчатка.

Рассматривая сейсмические события слабого энергетического класса в локальной области региона, произошедшие в пределах некоторого интервала времени и предполагая, что условия возникновения землетрясений не изменяются за анализируемый период, мы можем определить статистическое распределение этих событий по глубине. Можно сделать предположение, что пространственные характеристики землетрясений за анализируемый период отражают в среднем его сейсмический режим. Определив статистическое распределение событий по глубине для различных сейсмически активных областей, мы получаем возможность сравнить сейсмические режимы отдельных участков за различные периоды времени, и проанализировать реальные изменения в этих режимах, проявившиеся в локальной области за некоторый период времени.