Методические указания к решению задач по квантовой теории для студентов физического факультета (стр. 2 )

В результате преобразований получаем:

.

При обращается в единицу, а при стремится к

нулю по формуле

.

В предельном переходе к классической механике коэффициент отражения , как и следовало, обращается в нуль.

1.6.  Для определения коэффициента прохождения найдем решение уравнения Шредингера для стационарных состояний

,

асимптотиками которых являются волновые функции свободного

движения при и при .

Подстановками

, ,

уравнение Шредингера превращается в

.

Подстановкой

уравнение сводится к гипергеометрическому виду:

.

Решение этого уравнения, конечное при , есть

.

Волновая функция

имеет требуемые асимптотики. При

,

где

,

.

Коэффициенты определяют значение коэффициента прохождения:

Здесь . Коэффициент прохождения есть монотонно возрастающая функция . При коэффициент отражения убывает экспоненциально:

.

1.7.  Волновая функция, описывающая прохождение частиц через потенциальный барьер, имеет при вид

Коэффициент прохождения равен

.

При имеем , , тогда

.

1.8.  Во всей области волновая функция имеет вид:

, при .

При этом в области волновая функция принимает вид:

.

Постоянные A и С определяются из условия непрерывности и граничного условия для при :

, ,

откуда

.

При этом коэффициент прохождения равен:

.

1.9.  Воспользоваться общими свойствами уравнения Шредингера, а также

уравнением непрерывности.

1.10.  Пусть падающие частицы движутся слева направо. Тогда, волновая

функция, являющаяся решением уравнения Шредингера при искомых значениях энергии, имеет вид

В области отраженная волна отсутствует в соответствии с условием задачи.

Выполняя сшивание волновой функции в точках и , находим

, , ,

.

Система алгебраических уравнений для определения коэффициентов переопределена. Она имеет решение лишь при выполнении условия

,

определяющего значения энергии , при которых частицы не отражаются от рассматриваемого потенциального барьера.

1.11.  ,где уровень

химического потенциала.

1.12.  .

1.13. 

1.14. 

1.15.  , ,

где и масса электрона и ядра соответственно.

1.16.  Вводим координату центра тяжести и относительную координату

. Разделяем переменные и получаем , где полином Эрмита, и , .

1.17.  Общая потенциальная энергия, в данном случае, имеет вид

,

где и коэффициенты упругости, характеризующие связь частиц с точкой и друг с другом. Вводя координату центра тяжести и относительную координату , получаем уравнение

,

где общая масса, приведенная масса системы, и

. Разделив переменные и подставив , получаем два одномерных уравнения для гармонического осциллятора с частотами и :

,

.

Вводя и , решение можно записать в виде

,

где полином Эрмита, и соответствующий этой функции уровень энергии .

1.18.  Для рассматриваемого случая уравнение Шредингера

может быть сведено к задаче гармонического осциллятора выделением полного квадрата в выражении потенциальной энергии. Вводя

приходим к уравнению

и можем записать собственные функции

и собственные значения оператора энергии

.

2.1.  В силу равновероятности различных значений Lz имеем

Равноправность координатных осей x, y, z позволяет получить

.

2.2.  Используя коммутационные соотношения:

, , .

получаем правила коммутации для операторов друг с другом

Аналогичным образом получаем коммутационное соотношение .

,

,

.

2.3.  Используя выражение для оператора Lz в декартовой системе координат и связь декартовых и сферических координат

, ,

получаем выражение для оператора момента

частицы в сферической системе:

2.4.  Воспользоваться коммутационными соотношениями для момента импульса.

2.5.  Для плоского ротатора оператор Гамильтона имеет вид

(ось z направлена перпендикулярно плоскости вращения). Поскольку коммутирует с , то собственные функции одновременно являются и собственными функциями , что позволяет записать собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона:

, ,

Из этих выражений видно, что все уровни, кроме основного, двукратно вырождены. Собственные функции оператора Гамильтона могут быть выбраны также в виде , . Эти функции имеют определенную четность (+1 или –1) при инверсии координат относительно оси x.

Как известно, волновая функция может быть разложена по собственным функциям оператора физической величины, поскольку они образуют полный набор. В соответствии, с этим разложим функцию по собственным функциям оператора Гамильтона. Для этого воспользуемся представлением: , то . Константа определена из условия нормировки. Отсюда непосредственно следуют распределения вероятностей различных значений проекции момента и энергии ротатора (при ):

, вероятности остальных значений равны нулю. Наконец:

, , , .

2.6.  В случае сферического ротатора оператор Гамильтона имеет вид

. Его собственные значения и собственные функции определяются:

, ,

где ; ; – сферическая функция; - полярный и азимутальный углы оси ротатора. Как можно видеть уровни энергии - кратно вырождены, и имеют определенную четность, равную .

Для нахождения вероятностей и средних значения физических величин используем тот же прием, что и в задаче 2.5. Разложение волновой функции по сферическим функциям можно представить в виде

Волновая функция может быть представлена в виде

,

где константа определена из условия нормировки.

Отсюда следует, что момент ротатора принимает только два значения в

данном состоянии: и с вероятностями и .

При этом, , .

2.7.  Для решения данной задачи воспользуемся результатами задачи 2.5.

Волновая функция может быть представлена в виде

.

Таким образом, состояние плоского ротатора, описываемое функцией , соответствует с вероятностями . При этом,

.

2.8.  Из коммутационных соотношений для компонент момента следует,

что . Применив это операторное равенство к собственным функциям , получаем , то есть функции также являются собственными функциями .

Из ортогональности собственных функций следует . Отсюда , или . Второе соотношение эквивалентно равенству ,

из которого следует, в частности: , .

2.9.  Так как , то с учетом результата

предыдущей задачи .

2.10.  Оператор проекции момента на ось имеет вид

, где - полярный и азимутальный углы направления оси . Усредняя оператор по состоянию (согласно задаче 2.8 ), находим . Учитывая при усреднении оператора результаты задачи 2.8, находим , а с ним и

.

2.11.  Обозначим через вероятности проекций момента на

ось . Согласно задаче 2.10 имеем ,

.

Решая полученную систему уравнений относительно , получаем

,

,

.

2.12.  Из соотношения следуют выражения ,

, (здесь учтена коммутативность одноименных компонент и ). Из них непосредственно видно, что в состояниях с определенными значениями рассматриваемые скалярные произведения также имеют определенные значения.

2.13.  В данном случае, суммарный момент системы принимает

следующие значения . В представлении волновые функции очевидны:

,

(здесь и ниже столбцы представляют волновые функции 1 (2) частицы, или подсистемы, с моментом в ее –представлении). Вид волновых функций , отвечающих состояниям с и , а также , , непосредственно следует из характера симметрии волновых функций по отношению к перестановке переменных и :

(знак «+» в выражениях для , отвечает , «−» отвечает ).

Вид волновой функции

Волновую функцию , при учете ее симметричности по отношению к перестановке и , можно записать в виде

Из условия ее ортогональности с волновой функцией найдем . Выбрав в выражении для значения и , получаем нормированную волновую функцию. Вероятности различных значений проекций складываемых моментов на ось в состояниях непосредственно следуют из установленного выше вида волновых функций.

2.14.  Для решения задачи удобно сначала сложить моменты двух

подсистем, имеющих в их результирующий момент L12, принимающий значения 0, 1, 2, а затем сложить L12 и l3= l в суммарный момент L всей системы. При этом следует учесть, что данное значение L можно получить несколькими способами. Результаты сложения трех моментов следующие. Всего имеется независимых состояний. Классификация их по значениям суммарного момента L представлена в таблице. Приведенные результаты относятся к случаю .

L	l + 2	l + 1	l	l − 1	l − 2
число состояний	2l + 5	2·(2l + 3)	3· (2l + 1)	2· (2l − 1)	(2l − 3)

Случай предлагается рассмотреть самостоятельно.

3.1.  Коэффициент прохождения частицы через барьер, определяется как

, где энергия частицы, падающей на барьер, и точки поворота, в которых , т. е. . Для вычисления интеграла содержащегося в выражении для коэффициента прохождения можно воспользоваться заменой . Очевидно, при и, обозначая , можно записать

.

В предположении, что воспользуемся разложением arccos в ряд и получим: , тогда .

Таким образом, и , где скорость вылетевшей частицы, измеряемая вдали от ядра, там где и .

3.2.  Потенциал инвариантен по отношению к инверсии , так

что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными. Положив , , , можно записать эти решения в следующем виде: