Методические указания к решению задач по квантовой теории для студентов физического факультета (стр. 3 )

четные

,

;

нечетные

,

;

Амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция оставалась непрерывной в точке . Нормировочная постоянная определена из условия .

Требование непрерывности первой производной в точке приводит к соотношениям: , для четных решений и , для нечетных решений.

С помощью этих соотношений и связи между и можно упростить выражение для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и тоже равенство: .

Уравнения для нахождения собственных значений получаем, используя условия непрерывности первой производной в точке , а также связи между и , в виде:

четные

,

нечетные

.

При данном потенциале величина является постоянной, зависящей лишь от размеров ямы. Полученные выше уравнения дают возможность определить все значения , и тем самым и все значения энергии

,

реализующиеся в яме данных размеров.

3.3.  Дискретным является спектр энергий , который мы и

рассматриваем. В области волновая функция

, ,

а в области

, .

Внутри ямы волновую функцию ищем в виде

, .

Условие непрерывности на границах ямы дает уравнения

, ,

или , . Исключая , получаем трансцендентное уравнение , где , а значения берутся между и . Корни этого уравнения определяют уровни энергии . Для каждого имеется один корень.

3.4. Рассматриваем случай дискретного спектра. Уравнение Шредингера для радиальной функции имеет вид:

.

Вводим новую переменную и обозначения , . Тогда уравнение Шредингера принимает вид

Решение данного уравнения, удовлетворяющее всем необходимым условиям, имеет вид

,

причем должно быть целым положительным числом (или нулем), а под надо понимать положительный корень уравнения . Согласно определению уровни энергии имею вид .

3.5. Для частицы в центральном поле

.

Радиальная часть волновой функции удовлетворяет уравнению

при и при . Таким образом, для , являющейся решением написанного выше уравнения, граничное условие будет:

После введения и для получается уравнение Бесселя:

Так как при функция , то удовлетворять требованию конечности будет только

(если )

Уровни энергии, соответствующие этим функциям, получаются из условий непрерывности функции при , т. е. из условия . Обозначая корни этой функции Бесселя через , запишем уровни энергии

Очевидно, при

и

3.6.  Энергия частицы может принимать значения

(n = 1, 2, …).

Такой энергии будет соответствовать функция

,

где , и .

Переменная , где . Степень вырождения уровня равна .

3.7.  Общее решение для трехмерного осциллятора:

;

.

Константа С определяется из условия нормировки.

3.8.  Уравнение для будет иметь

непрерывный спектр. Рассмотрим E < 0. Вводя обозначения и , и новую переменную , запишем уравнение в безразмерных переменных.

В области получаем дискретный спектр энергии

и соответствующие собственные функции

.

В области .

3.9. с имеет вид при и

при ; здесь . Исходя из условия непрерывности волновой функции в точке , а также соотношения для первой производной , находим и уравнение для спектра: . Из этого уравнения следует, что при (барьер) связанных состояний нет, а при (яма) имеется, причем только одно состояние дискретного спектра с энергией . При этом нормированная волновая функция имеет вид , где . Искомые средние , .

3.10. Прежде всего свяжем решения и . Из уравнения Шредингера для и :

,

видим, что в силу и , одному уравнению отвечают и . Считая простым собственным значением, получаем, что эти функции могут различаться лишь постоянным множителем, т. е. . В общем случае можно получить

(1)

Тогда из требования конечности следует, что , т. е. , где − произвольное вещественное число, и

. (2)

Решив уравнение Шредингера при (область I), при и и воспользовавшись условием (2), будем иметь решение при всех x.

I область: Уравнение имеет вид . Обозначая , можем написать .

II область (): Уравнение имеет решение , где .

III область (): Уравнение такое же как в области I

. Его решение .

Если x лежит в области I, то попадает в область III и, согласно формуле (2), решения будут связаны условием

Следовательно, ; , т. е.

Решения должны быть непрерывны при переходе из области I в II () и из II в III (точка ) вместе с их первыми производными. Это приводит к равенствам:

и ;

и ;

и .

и .

Получена система четырех линейных однородных уравнений относительно коэффициентов . Для существования решения, отличного от нуля, необходимо, чтобы детерминант этой системы был равен нулю:

Вычисление этого детерминанта приводит к уравнению, определяющему

энергию частицы, находящейся в периодическом поле:

(3)

Слева энергия входит через величины и l. Чтобы это равенство было возможным, необходимо, чтобы . Можно убедится, что при оно нарушается, так как и . Таким образом, энергии

оказываются запрещенными для электрона в периодическом поле (модель кристалла).

3.11.  Полученное в предыдущей задаче уравнение (3) в предельном случае,

когда и так, что и , переходит в уравнение

, (1)

где . Если обозначить , то оно примет вид

.

Границы энергетических зон будут лежать вблизи , т. е. при или . Подставив , получим

.

Для стоящее слева выражение меньше 1. Следовательно, являются точками, в которых начинаются запрещенные полосы энергии. Таким же образом можно убедится, что − нижние границы разрешенных полос энергии. Полоса энергии с номером n определяется значениями , лежащими в пределах .

Если , то и ширина запрещенной полосы между -ой и -ой разрешенными полосами равна:

.

Если рассмотреть значение , которому отвечает , и разложить в близи этой точки левую и правую части равенства (1) как и , то из уравнения

можно получить .

Поскольку , то . Коэффициенты могут быть выражены через A, B и .

3.12.  Введем и запишем уравнение (1) задачи 3.13 как

В задаче 3.13 было показано, что правой границей разрешенной зоны является и в этой точке . В запрещенной зоне, где , и равенство возможно для комплексных значений .

Если , то ; . Если , то ; .

Функция при , когда , и при и . Таким образом, если ввести так, чтобы , то и в запрещенной зоне может быть записано условие

(1)

Найдем решение уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла. Условие (1) задачи 3.12 теперь будет справедливым только для (так как при потенциал уже не периодичен), и, следовательно, может быть и меньше единицы. Если ввести , то это значит, что возможны решения с комплексным k при условии, что .

При x<0 уравнение имеет решение ,

где введены обозначения , . При этом .

При (внутри кристалла) рассмотрим область I: ; в ней

. (2)

В области II и

. (3)

Но если выбрать x=0, то x=l лежит еще в области I, а поэтому можно считать и и в силу формулы (1) задачи 3.12 получить условие:

, т. е.

, (4)

где по-прежнему . Таким образом, при функция определена формулой (2) при условии (4).

Условие непрерывности и в точке дает и . Откуда

. (5)

Рассмотрим это равенство для комплексных значений k. Тогда (где и условие (5) дает

. (6)

Кроме того, условие (1) тоже должно выполняться. Беря разность равенств (1) и (6), получаем

. (7)

Так как и имеют одинаковый знак, а , и больше нуля, то отсюда получаем , т. е. .

Только при этом условии возможно существование дополнительных уровней, отвечающих комплексному . Возводя в квадрат и вычитая выражения (7) и (1), получаем уравнение, определяющее уровни энергии :

. (8)

Покажем, что этим лежащим в запрещенной зоне значениям энергии отвечает функция, убывающая с ростом по обе стороны границы кристалл-вакуум (плоскость ).

Действительно, при решение обладает этим свойством. При решение удовлетворяет условию (периодическое поле), которое можно переписать в виде , где является периодической функцией. Следовательно, для комплексного

.

Таким образом, найдено состояние с энергией, лежащей в запрещенной зоне. Вероятность обнаружить частицу убывает экспоненциально по обе стороны от (от поверхности кристалла). Значение , т. е. положение уровня энергии, можно найти, решая графически уравнение (8).

Литература

1. , Лифшиц механика. Нерелятивистская теория.

т. 3, Физматлит, Москва, 2001

2. Квантовая механика. Регулярная и хаотическая динамика, Москва,

2000

3. Давыдов механика. Физматлит, Москва, 1968

4. , , Коган по квантовой механике.

Ч.1, 2, Едиториал УРСС, Москва, 2001

5. Задачи по квантовой механике. т. 1, 2. Мир, Москва, 1974

6. и др. Сборник задач по теоретической физике. Высшая школа,

Москва, 1972

7. , Кривченков механика с задачами. Физматлит,

Москва, 2001