Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по квантовой теории для студентов
Часть II
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны д. ф.-м. н., профессором кафедры теоретической и вычислительной физики , и к. ф.-м. н. .
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и вычислительной физики физического факультета РГУ, протокол от 01.01.01 г.
Содержание
1. Решение уравнения Шредингера для непрерывного спектра………4
2. Момент импульса……………………………………………………....7
3. Решение уравнения Шредингера для модельных потенциалов…….9
4. Ответы и пояснения ………………………………………………….13
5. Литература…………………………………………………………….39
1. Решение уравнения Шредингера для непрерывного спектра
1.1. Волновая функция свободно движущейся частицы имеет вид: 
. Определить константу А из условия нормировки.
1.2. Частица, двигаясь в положительном направлении оси 
, встречает потенциальный порог (Рис.1) (потенциальная энергия задается следующим образом: 
при 
и 
при 
). Определить волновую функцию при 
и 
, вычислить плотности потока падающей, отраженной и прошедшей волн и найти коэффициенты прохождения и отражения частиц в обоих случаях.
Рис.1
1.3. Вычислить коэффициенты отражения и прохождения частиц сквозь прямоугольный потенциальный барьер ширины а (Рис.2) ( при 
, при 
, 
), вычислив их как отношения соответствующих плотностей токов.
Рис.2
1.4. При отражении от прямоугольной стенки (Рис.1) (потенциальная энергия задается следующим образом: при и при .) волновая функция при может быть представлена в виде
, где 
волновое число.
Найти зависимость 
.
1.5. Частица, двигаясь в положительном направлении оси , встречает потенциальную стенку 
(Рис.3), где а – положительная константа. Определить волновую функцию частицы при в поле гладкой потенциальной стенки и найти коэффициент отражения 
.
Рис.3
1.6. Частица, двигаясь в положительном направлении оси , встречает потенциальную стенку 
(Рис.4), где а – положительная константа. Определить волновую функцию частицы при 
, найти коэффициент прохождения
и построить график зависимости 
, где 
.
Рис.4
1.7. Поле 
имеет вид непрерывно меняющейся потенциальной ступеньки (Рис.5), т. е. 
при 
и 
при 
. Найти энергетическую зависимость коэффициента прохождения частиц при 
. Сравнить с результатом задачи 1.2 для прямоугольной потенциальной ступеньки.
Рис.5
1.8. Слева на потенциальный барьер 
(Рис.6) падает поток частиц с энергией 
. Найти коэффициент прохождения и показать, что наличие барьера приводит к разбегающейся в обе стороны от него «рассеянной» волны.
Рис.6
1.9. Доказать независимость значения коэффициента отражения при данной энергии от направления падения частиц на потенциальный барьер (Рис.7).
Рис.7
1.10. Найти значения энергий, при которых частица не отражается от потенциального барьера 
(Рис.8).
Рис.8
1.11. Вычислить коэффициент прохождения и плотности тока, обусловленного выходом электронов из металла, к которому приложено постоянное электрическое поле . Граница металла расположена при 
.
1.12. Определить давление, оказываемое на стенки прямоугольного «потенциального ящика» находящейся в нем частицей.
1.13. Найти составляющие плотности тока для электрона в атоме водорода.
1.14. Электрон находится в атоме водорода в основном состоянии. Определить для этого случая 
,
и наиболее вероятное значение 
.
1.15. Найти волновую функцию и спектр энергии атома водорода, учитывая движение ядра.
1.16. Две частицы, связанные друг с другом упругой силой 
(одномерная задача), свободно передвигаются вдоль оси . Найти волновую функцию и спектр энергии.
1.17. Две частицы массы 
, движущиеся только вдоль оси , связанны друг с другом упругой силой. Кроме того, каждая из них связанна с точкой 
такого же рода слой, но с другим коэффициентом упругости. Определить уровни энергии и волновые функции системы.
1.18. Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гармонического осциллятора, помещенного в постоянное электрическое поле 
. Заряд частицы 
.
2. Момент импульса
2.1. Показать, что равенство 
получается с помощью элементарных формул теории вероятности, исходя из того, что проекция момента на произвольную ось может принимать лишь значения 
, причем все они равновероятны, а оси равноправны.
2.2. Доказать соотношения: 
и 
. Указать физический смысл данных коммутационных соотношений.
2.3. Показать, что проекция момента 
на ось 
в сферической системе координат имеет вид 
.
2.4. Найти следующие коммутаторы: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
где 
,
,
- операторы радиус-вектора, импульса и момента импульса частицы; a и b – постоянные величины.
2.5. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского ротатора с моментом инерции 
(вращающаяся относительно центра масс система из двух жестко связанных друг с другом частиц). Для такого ротатора 
, где 
приведенная масса частиц, 
расстояние между ними. Какова кратность вырождения уровней. В состоянии ротатора с волновой функцией 
найти вероятности различных значений энергии и проекции момента, а также средние значения и флуктуации этих величин.
2.6. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии пространственного (сферического) ротатора с моментом инерции . Какова кратность вырождения уровней? В состоянии ротатора с волновой функцией 
найти вероятности различных значений энергии, момента и его проекции на ось 
, а также средние значения и флуктуации этих величин.
2.7. Плоский ротатор находится в состоянии, описываемом функцией 
. Определить для него вероятность найти различные значения составляющей момента количества движения 
и средние 
и 
.
2.8. Показать, что функции, получающиеся в результате действия операторов 
на собственные функции 
оператора 
, также являются собственными функциями , отвечающими уже собственным значениям 
. Показать также, что в состоянии с волновой функцией : 
2.9. В состоянии 
с определенными значениями момента и его проекции на ось найти средние значения 
,
.
2.10. В состоянии с определенными значениями момента и его проекции на ось найти среднее значение и среднюю квадратичную флуктуацию проекции момента на ось 
, составляющую угол 
с осью .
2.11. Частица находится в состоянии с моментом 
и его проекцией 
на ось . Найти вероятности 
различных значений проекции момента 
на ось 
, составляющую угол с осью .
2.12. Моменты 
и 
двух слабо взаимодействующих систем складываются в результирующий момент величины 
. Показать, что в таких состояниях (с определенным значением ) скалярные произведения 
также имеют определенные значения.
2.13. Моменты двух частиц равны 
. Построить волновые функции 
состояний с определенным значением 
суммарного момента и его проекции M на ось z. Специально обсудить угловую зависимость состояний с 
. Найти в рассматриваемых состояниях вероятности различных значений проекций складываемых моментов на ось z.
2.14. Произвести классификацию возможных состояний системы, состоящей из трех слабо взаимодействующих подсистем с моментами и 
, по значениям суммарного момента системы.
3. Решение уравнения Шредингера для модельных потенциалов
3.1. Постоянная 
распада 
и коэффициент прозрачности барьера 
связаны соотношением 
. Вычислить , если модель потенциала (Рис.9) задается следующем образом: 
при 
и
при 
. Принять, что 
. Множитель 
(
скорость частицы внутри ядра, 
радиус ядра) характеризует число ударов частиц о стенки ядра за единицу времени.
Рис.9
3.2. Найти связанные состояния и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной потенциальной ямы (Рис.10) вида
Рис.10
3.3. Определить уровни энергии для потенциальной ямы, изображенной на рисунке 11.
Рис.11
3.4. Определить уровни энергии частицы, движущейся в центрально-симметричном поле с потенциальной энергией 
(Рис.12).
Рис.12
3.5. Решить уравнение Шредингера для частицы в бесконечно-глубокой сферически симметричной потенциальной яме, задаваемой потенциалом
3.6. Решить уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода (в сферических координатах).
3.7. Найти уровни энергии трехмерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией 
.
3.8. Найти уровни энергии и волновые функции частицы в одномерной кулоновской потенциальной яме (Рис.13), задаваемой потенциалом
.
Рис.13
3.9. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в поле 
, где 
(рис. 14). Найти средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях.
Рис.14
3.10. Определить значения энергии, которые может принимать частица, помещенная в периодическое поле (Рис.15), задаваемое условием:
Периодом потенциала является 
.
Рис.15
3.11. Рассмотреть предыдущую задачу в случае, если всюду, кроме точек 
, в которых 
(Рис.17). При этом ширина барьера 
так, что 
(модель Кронига–Пенни). Определить зависимость энергии от волнового вектора 
вблизи разрешенных полос энергии.
Рис.17
3.12. Рассмотреть полубесконечный кристалл с периодическим потенциалом в области , определяемым так же, как и предыдущей задаче, в области потенциальная энергия 
. Ограничиться значениями 
(поверхностные уровни Тамма).
Ответы и пояснения.
1.1. 
.
1.2. Во всей области волновая функция имеет вид:
, при 
.
В области 
волновая функция принимает вид:
Здесь 
. Постоянные A и B определяются из условия непрерывности 
и 
при 
:
, 
,
откуда
, 
.
Вычислим теперь плотность падающей 
, отражённой 
и про -
шедшей 
волн, а так же коэффициенты прохождения и отражения 
частиц
, 
.
По определению плотность тока в одномерном случае есть
.
Откуда получаем
, 
.
Таким образом, для имеем
,
, 
.
В случае , 
есть вещественная функция, экспоненциально убывающая за потенциальным порогом, поэтому
,
и следовательно
, 
.
1.3. Пусть и падающая частица движется слева на право. Тогда для волновой функции в различных областях справедливы выражения вида
при : 
,
при 
: 
,
при 
: 
(со стороны должна быть только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси 
). Постоянные 
определяются из условий непрерывности и в точках и 
. Коэффициент прохождения определяется как 
. При этом 
. Преобразования приводят к выражению вида:
.
При 
, 
комплексное число. Соответствующее выражение для получается заменой 
на 
, где 
:
.
1.4. Решение данной задачи соответствует решению задачи 1.2, учитывая
соотношение 
.
1.5. Уравнение Шредингера записывается в виде:
Необходимо найти решение, которое при 
имеет вид
.
Введем новую переменную
пробегающую значения от 
до 
и ищем решение в виде:
,
где 
стремится к постоянной при 
(т. е. при 
). Для
получаем уравнение гипергеометрического типа
,
имеющее решением гипергеометрическую функцию
(постоянный множитель опущен). При эта функция стремится к
1, т. е. удовлетворяет поставленному условию. Асимптотический вид функции при 
(т. е. при 
) есть
,
где
,
.
Искомый коэффициент отражения 
. При его записи воспользуемся
известной формулой:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
