Вопросы к экзамену по дисциплине «Алгебра»,
2 семестр 2учебного года,
для групп МП-101, МП-102, МТ-101 и МН-101
Линейные векторные пространства, подпространства (определения и примеры). Доказать, что Rn является линейным векторным пространством. Линейная зависимость и независимость векторов. Примеры. Доказать три основных свойства линейной зависимости и независимости векторов. Доказать критерий линейной зависимости векторов: множество векторов линейно зависимо тогда и только тогда, когда один из векторов множества линейно выражается через остальные. Полное множество векторов. Примеры. Доказать теорему об очистке полного множества. Базис. Пример базиса. Доказать, что из всякого конечного полного множества векторов можно выбрать базис. Доказать, что всякое конечное линейно независимое множество векторов можно дополнить до базиса конечномерного векторного пространства. Доказать критерий базиса: заданные векторы конечномерного пространства образуют базис тогда и только тогда когда каждый вектор пространства линейно выражается через эти векторы, причем единственным способом. Доказать, что в линейном векторном пространстве размерности n справедливы утверждения: а) любые n линейно независимых вектора образуют базис; б) любое полное множество из n векторов является базисом; в) любые n+1 векторов пространства будут линейно зависимы. Матрица перехода между базисами пространства. Пример. Доказать теорему о связи координат вектора в разных базисах при помощи матрицы перехода. Определение линейной оболочки. Примеры. Доказать, что линейная оболочка является подпространством. Доказать, что множество А полно в Lin(A). Определение суммы и пересечения двух подпространств. Примеры. Доказать, что сумма и пересечение подпространств являются подпространствами. Доказать теорему о размерности суммы подпространств. Прямая сумма подпространств: определение и примеры. Доказать эквивалентность различных определений прямой суммы подпространств. Доказать, что множество решений системы линейных однородных уравнений является подпространством. Сформулировать (без доказательства) теорему о размерности пространства решений системы линейных однородных уравнений. Линейные операторы. Примеры. Ядро и образ линейного оператора. Примеры. Доказать, что ядро и образ линейного оператора являются подпространствами. Доказать, что для всякого линейного оператора образ полного множества является полным множеством в образе этого оператора. Матрица линейного оператора, примеры. Доказать теорему о связи координат вектора и его образа. Доказать теорему о сумме размерностей ядра и образа. Изоморфные пространства. Доказать что если размерности двух конечномерных векторных пространства совпадают, то эти пространства изоморфны. Доказать теорему о связи матриц линейного преобразования в различных базисах. Определение инвариантного подпространства. Доказать, что сумма, пересечение, образ и полный прообраз инвариантных подпространств являются инвариантными подпространствами. Определение характеристического многочлена матрицы и линейного преобразования. Доказать, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Собственные векторы и собственные значения. Их нахождение. Доказать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы. Пространства со скалярным произведением. Примеры. Доказать полулинейность скалярного произведения по второму аргументу и его невырожденность. Ортогональность векторов и множеств. Доказать, что всякое ортогональное множество ненулевых векторов линейно независимо. Описать процесс ортогонализации Грамма-Шмидта является (постановка задачи, сам процесс и его результат). Доказать теорему об ортонормированных базисах (как «устроены» координаты вектора и скалярное произведение в таком базисе). Ортогональное дополнение. Примеры. Доказать, что ортогональное дополнение является подпространством. Ортогональное дополнение. Примеры. Доказать теорему о разложении пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональные и унитарные матрицы. Доказать теорему об ортогональности (унитарности) матрицы перехода между ортонормированными базисами. Билинейная и квадратичная формы. Их матрицы. Вычисление квадратичной формы через матрицу и координаты векторов. Доказать теорему, описывающую изменение матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.Лектор: доцент кафедры КТиА, к. ф.-м. н.
