Математика Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников по специальности 240134 «Переработка нефти и газа» (стр. 3 )

25. а) ; б) ; в)

26. а) ; б) ; в)

27. а) ; б) ; в)

28. а) ; б) ; в)

29. а) ; б) ; в)

30. а) ; б) ; в) .

4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решить дифференциальные уравнения:

31. а) , у(1)=-1

б) ,

32. а) , у(5)=0

б) ,

33. а) , у(0)=-1

б) ,

34. а) , у(1)=1

б) ,

35. а) , у(0)=1

б) ,

36. а) , у(0)=1

б) ,

37. а) , у(1)=1

б) ,

38. а) , у(0)=0

б)

39. а) , y(0)=4

б) ,

40. а) , у(1)=2

б)

5. Числовые ряды

Исследовать на сходимость числовой ряд:

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

51. а) Сколькими способами из группы, включающей 25 учащихся, можно выбрать актив группы в составе старосты и профорга?

б) В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара красные.

52. а) Найти количество всех трехзначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,4,5.

б) Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры, и помня только, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность, что он набрал нужные цифры.

53. а) Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек.

б) К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность, что оба арбуза спелые?

54. а) Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

б) Девять книг, из которых 4 одинаковые, а остальные различны, расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что эти 4 книги окажутся поставленными рядом.

55. а) В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

б) В партии из 24 деталей 6 бракованных. Из партии выбирают наугад детали. Найти вероятность того, что они все будут бракованными.

56. а) Сколькими способами можно из 20 человек назначить двух дежурных, из которых один старший?

б) Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что будет верно угадано 4 числа?

57. а) В подразделении 30 солдат и 3 офицера. Сколькими способами можно выделить патруль, состоящий из 3 солдат и одного офицера?

б) Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию дежурных. Какова вероятность того, что все выбранные окажутся юношами?

58. а) Из 8 различных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 2 цветков. Сколько существует способов для составления такого букета?

б) Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислить вероятность того, что студент знает 2 вопроса из билета.

59. а) Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

б) В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что 4 наугад выбранных билета будут выигрышными?

60. а) Из 7 бегунов и 3 прыгунов нужно составить команду из 5 человек, в которую должен входить хотя бы один прыгун. Сколькими способами это можно сделать?

б) В партии из 10 деталей имеются 3 нестандартных. Найти вероятность того, что 3 наудачу взятые детали будут стандартными.

8.  КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Функция двух переменных. Частные производные функции двух переменных

Переменная Z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определённое значение Z.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых x и y, выражается формулой S=xy, т. е. значения S определяется совокупностью значений x и y.

Множество G пара значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называются областью определения или областью существования функции, а множество всех значений, принимаемых Z в области определения, - областью значений функции Z. Переменные x и y называются аргументами функции Z.

Символически функция двух переменных обозначается так:

Z=f(x, y), Z=F(x, y), Z=j(x, y), Z=Z(x, y) и т. д.

Пример 2. Областью определения функции Z=1-x-y является множество всех пар чисел (x, y) или D(Z)={(x, y)/xÎR, yÎR}, т. е. вся плоскость xOy, а областью значений этой функции – промежуток (-¥; +¥)

Пример 3. Областью определения функции Z=является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству 1-x³ 0

(здесь речь идёт лишь о действительных значениях Z) или неравенство x1, т. е. круг, ограниченный окружностью =1, включая эту окружность (замкнутый круг). Область значений этой функции – отрезок [0; 1]. D(Z)={(x, y)½1} и E(Z)=[0;1].

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными).

Если Z=f(x, y), M(), то частные производные определяются так:

Используются и другие обозначения частных производных:

, , ,

, ,

Символы как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной)

Пример 4.

здесь y=const , тогда

, здесь x=const, тогда

Частными производными второго порядка от функции Z=f(x, y) называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Пример 5. найти

Практика показывает, что часто приходится по заданной производной или по заданному дифференциалу функции находить функцию, от которой была взята производная и дифференциал, т. е. выполнять обратную задачу дифференцированию – интегрирование.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x), т. е.

F¢(x)=f(x), хÎ(a;b)

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом

, где

f(x) – подынтегральная функция

f(x)dx – подынтегральное выражение

c – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е.

2°. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т. е.

, где m=const

3°. Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е.

.

4°. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

5°. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т. е.

или

Если F(x)+C- первообразная функция для f(x), то приращение F(b)-F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x=a до x=b называется определенным интегралом и обозначается символом

, т. е. , где

a – нижний предел определенного интеграла

b – верхний предел определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла:

1°. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

2°. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т. е.

, где m=const

3°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т. е

4°. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то

Определенный интеграл широко применяется на практике, в частности, при вычислении площадей плоских фигур и объемов тел вращении.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или её дифференциалы. Символически записываются так:; ;

Решение, содержащее произвольную постоянную С, называется общим решением дифференциального уравнения.

Решение, в которое поставлено числовое значение С, называется частным решением дифференциального уравнения.

Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений:

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D>0	D=0	D<0
Корни характеристического уравнения
Множества решений

Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения

Составим характеристическое уравнение:

Решим уравнение, как квадратное уравнение:

<0

Корнями уравнения служат комплексно-сопряженные числа. Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид:

Числовые ряды

Числовым рядом называется сумма вида

, где u1, u.2., u3, …, un …- члены ряда.

Частичной суммой называется сумма n- первых членов ряда и обозначается

. Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма стремиться к пределу S, то ряд, называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т. е. .

Необходимый признак сходимости ряда:

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремиться к нулю:

Достаточный признак расходимости ряда:

Ряд , - расходится, если при увеличении номера n общий член ряда отличен от нуля:

Пример. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости ряда и достаточный признак расходимости

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда, т. к. . Следовательно, ряд - расходится.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

, выполняется условие , то ряд сходится при L<1 и расходится при L>1. (Признак не дает ответа, если L=1).

Пример. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера: .

, подставив в общий член вместо n число (n+1), получим .

Найдем предел отношения (n+1)-го члена ряда к n-му члену при :

L=<1, следовательно ряд сходится.

Признак сходимости Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при , то ряд сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, а знакопеременный ряд сходится.

Пример. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ряда:

Члены ряда монотонно убывают: >…

Найдем предел общего ряда:

Следовательно, ряд сходится. Выясним, сходится абсолютно или условно ряд

, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Множество – это любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами.

Способы задания множеств.

1) Множество можно задать, перечислив все его элементы.

2) Указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Пример: А – множество двузначных чисел

Тогда характеристическим свойством множества А является свойство ” быть двузначным числом”

Характеристическое свойство можно (не всегда) задать в символической форме.

Например, множество А натуральных чисел, меньших 7, можно задать так:

А= {х½ хÎN, х< 7}, х – элемент множества А.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и В.

АÇВ={х½х Î А и х Î В}

АÇВ=Æ, если А и В не имеют общих элементов.

Пример: Рассмотрим множества А={а, b,c, d,e} и В={c, d,e}

AÇВ={c, d,e}=В. Тогда В является подмножеством множества А. Обозначают ВÌА

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

АÈВ={х½х ÎА или хÎВ}

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первое компанента которых принадлежит множеству А, а вторая компанента принадлежит множеству В.

Обозначают А´В.

А´В={(х;у)½хÎА Ù уÎВ}

Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х´Х.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х <=> хRх для " хÎХ.

Например: 1) отношение равенства

2) отношение “кратно” на N

3)  отношение подобия треугольников

Отношение перпендикулярности не рефлексивно, т. к. отрезок не перпендикулярен сам себе.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняются условия : из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у находится в отношении R с элементом Х

На графе это

R симметрична на Х<=> (хRу<=>уRх)

Например, симметричными будут следующие отношения:

-  отношение параллельности на множестве прямых.

-  отношение подобия треугольников

Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R c элементом х не находится

R антисимметрично на Х <=> (хRу Ù х¹<=> уRх)

На графе

Например, антисимметричными будут следующие отношения: длиннее, больше, больше на

Отношением R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом Z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом Z.

R транзитивно на Х <=> (хRу Ù уRz<=>xRz)

Например, АВ=2см., АС=3см., и ДК=4см. Отношение “меньше”.

Если АВ<АС и АС<ДК, то АВ<ДК

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z, содержат стрелку, идущую от х к z.

Элементы теории графов. Основные понятия.

Такая структура, как граф (в качестве синонима используется также термин “сеть”), имеет самые различные применения в математике, информатике и в смежных прикладных областях, поэтому познакомимся с основными понятиями теории графов.

Граф G = (V, Е) задается парой конечных множеств V и Е. Элементы первого множества v1, v2,..., vM называются вершинами графа (при графическом представ­лении им соответствуют точки). Элементы второго множества e1, e2, ..., eN называ­ют ребрами. Каждое ребро определяется парой вершин (при графическом представ­лении ребро соединяет две вершины графа). Если ребра графа определяются упоря­доченными парами вершин, то такой граф называют ориентированным (на чертеже при изображении ориентированного графа на каждом ребре ставят стрелку, указы­вающую его направление). Ориентированный граф с пятью вершинами и семью ребрами изображен на рисунке:

 

Если две вершины соединены двумя или более ребрами, то эти ребра называют параллельными (например, ребра е4 и е5). Если начало и конец ребра совпадают, то такое ребро называется петлей (например, ребро е7). Граф без петель и параллель­ных ребер называется простым.

Если ребро ek определяется вершинами vi и vj (будем обозначать этот факт следующим образом: ek = (vi, vj), то говорят, что ребро ek инцидентно вершинам vi и vj. Две вершины vi и vj называются смежными, если в графе существует ребро (vi, vj).

Последовательность вершин vi1, vi2, .... vik, таких, что каждая пара (yi,(j-1), vij) при 1 < j £ k определяет ребро, называется маршрутом в графе G. Вершины vi1 и vik называют концевыми вершинами маршрута, все остальные входящие в него вершины - внутренними.

Маршрут, в котором все определяемые им ребра различны, называют цепью. Цепь считают замкнутой, если ее концевые вершины совпадают. Замкнутая цепь, в которой все вершины (за исключением концевых) различны, называется циклом. Незамкнутая цепь, в которой все вершины различны, носит название путь. Если в ориентированном графе существует путь из vi в vj, то говорят, что вершина vj достижима из вершины vi.

Две вершины vi и vj называют связанными в графе G, если в нем существует путь, для которого эти вершины являются концевыми. Граф G называется связным, если каждые две вершины в нем являются связанными. На рис. 1.7 изображен простой неориентированный связный граф.

Последовательность вершин v1, v5, v4, v3 , например, определяет путь, а после­довательность вершин v1, v5, v4, v3, v1 - цикл. Деревом будем называть неориен­тированный связный граф без циклов. Лес - это любой граф без циклов. На рис. 1.8 показаны возможные деревья с пятью вершинами.

Анализ приведенных здесь понятий и определений показывает, что в качестве моделей графы удобно использовать в тех случаях, когда рассматривается система каких-либо объектов, между которыми существуют определенные связи, отноше­ния, когда изучается структура системы, возможности ее функционирования.

Представление графов

Важным вопросом, особенно для приложений теории графов, является определе­ние возможных способов представления графов. Самый простой способ - полное перечисление множеств V и Е. Однако, очевидно, что в этом случае выявление у графа различных характеристик и свойств будет крайне затруднительным. Граф можно представить в виде некоторого графического изображения и визуально определить некоторые свойства и характеристики заданного графа. Однако, при наличии в графе большого числа ребер и вершин этот способ также мало пригоден. Рассматривая различные возможные способы представления графов, мы должны иметь в виду потребность ввода соответствующей информации в компьютер. В этой связи ввод информации в числовом виде предпочтителен, хотя современные техниче­ские средства допускают ввод и графической информации (таблиц, текста, графиков, рисунков и т. д.), после чего может производиться обработка такой информации.