Дослідження операцій (стр. 4 )

Аналіз розв'язку дозволяє отримати та дослідити оптимальну виробничу програму, основні показники, об'єми ресурсів, резерв і дефіцит ресурсів, відхилення від планових завдань.

Варіантний аналіз полягає в розрахунках однієї і тієї ж задачі при зміненнях деяких параметрів. Розрахунок можна здійснити; за різними критеріями (оптимальності для подальшого порівняння й аналізу отриманих результатів; при варіюванні нових обмежень на ресурси або способи їх використання; при розгляданні різних технологічних способів обробки продукції; при включенні або виключенні деяких планових показників; при введенні в модель умов цілочисельності або нелінійності.

Післяоптимізаційний аналіз містить аналіз внутрішньої структури розв'язку та параметрування вихідних даних математичної моделі. Це дає можливість визначити: двоїсті оцінки норм витрати ресурсів на виготовлення одиниці продукції; двоїсті оцінки дефіцитних ресурсів; двоїсті оцінки продукції; границі змінення основних параметрів моделі, при яких зберігатиметься оптимальний план тощо.

Розв’язання варіанта *

Приклад. Під час виготовленні трьох видів виробів застосовується три технологічні операції. Максимальний час використання верстатів на кожній із технологічних операцій складає 430, 460 і 420 хв. на добу. Прибуток від реалізації кожного виду виробів складає 3,2 і 5 одиниць вартості. Відомі поопераційні витрати часу на виготовлення кожного виробу. Треба визначити такий план виробництва, який дає максимальний прибуток, та дати аналіз розв'язку за умов змінення вихідних параметрів.

Розв’язання. Математична модель задачі

Z(х) = 3х1+2х2+5х3→mах,

х1 + 2х2+х3 ≤ 430,

3х1 + 2х3 ≤ 460,

х1+4х2 ≤ 420,

хj ≥ 0, j = .

Розв'яжемо задачу за допомогою симплекс-методу. Розв'язування оформимо у вигляді симплекс-таблиць 3.13-3.15.

Таблиця 3.13

і	Базис	С	Х0	3	2	5	0	0	0
Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р4	0	430	1	2	1	1	0	0
2	Р5	0	460	3	0	2	0	1	0
3	Р6	0	420	1	4	0	0	0	1
m+1			0	-3	-2	-5	0	0	0

Таблиця 3.14

і	Базис	С	Х2	3	2	5	0	0	0
Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р4	0	200	-1/2	2	0	1	-1/2	0
2	Р3	5	230	3/2	0	1	0	1/2	0
3	Р6	0	420	1	4	0	0	0	1
m+1			1150	9/2	-2	0	0	5/2	0

Таблиця 3.15

і	Базис	С	Х3	3	2	5	0	0	0
Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р2	2	100	-1/4	1	0	1/2	-1/4	0
2	Р3	5	230	3/2	0	1	0	1/2	0
3	Р6	0	20	2	0	0	-2	1	1
m+1			1350	4	0	0	1	2	0

Із таблиці 3.15 бачимо, що оптимальним планом є план Х*=(0,100,230), при якому загальний прибуток від реалізації виробів складає Z(Х)=1350 одиниць. Із цієї ж таблиці знаходимо оптимальний план двоїстої задачі λ* = (1,2,0), використовуючи формулу λ*і=Δ*n+і, і= . Розглянемо, як зміниться оптимальний розв'язок в таких ситуаціях:

-  змінюється час використання верстатів;

-  змінюється прибуток від реалізації виробів;

-  налагоджено випуск ще одного, нового виробу;

-  зменшується надлишковий ресурс.

Кожна із цих ситуацій може призвести до того, що отриманий попередній оптимальний розв'язок буде в нових умовах недопустимим, або неоптимальним, або недопустимим і неоптимальним.

Аналіз впливу перелічених ситуацій можна провести так:

1. Розв'язати вихідну ЗЛП симплекс-методом.

2. Розглядаючи змінення моделі, знайти нові елементи симплекс-таблиць на основі співвідношень двоїстості.

3. Процес закінчено, якщо отримано оптимальний розв'язок. Якщо ж розв'язок неоптимальний - здійснити п.4, якщо недопустимий - п.5.

4. 3а допомогою симплекс-методу отримати новий допустимий розв'язок, або показати, що він не існує.

5. 3а допомогою двоїстого симплекс-методу отримати допустимий розв'язок або показати, що він не існує.

Запишемо двоїсту задачу:

Т(λ)=430λ1+460λ2+420λ3 → mіn,

λ1+3λ2 + λ3 ≥ 3,

2λ1+4 λ3 ≥ 2,

λ1+2λ2 ≥ 5,

λі ≥ 0, і=.

Підставимо вектор оптимальних оцінок λ* а систему обмежень двоїстої задачі. Маємо:

1+3*2+1*0=7>3,

2*1+4*0=2=2,

1*1+2*2=5=5.

Перше обмеження двоїстої задачі виконується як строга нерівність – це свідчить, що двоїста оцінка верстатного часу, який використовується під час виробництва виробів першого типу, вище за ціну цих виробів, тому їх випускати невигідно. Двоїсті оцінки верстатного часу, який використовується під час виробництва одиниці виробів другого та третього типів, збігаються із їх цінами, тому їх випуск економічно доцільний. Крім того, аналіз оптимального плану х* свідчить, що третій вид технологічного обладнання має резерв робочого часу, який можна використати для інших видів робіт.

Розкриємо склад двоїстих змінних:

λ1*=2∙1/2 + 5∙0 + 0∙(-2) = 1,

λ2* = 2∙(-1/4) + 5∙1/2 + 0∙1 = 2,

λ3* = 2∙0 + 5∙0 + 0∙1 = 0.

З економічної точки зору, наприклад для λ1* =1, це означає, що збільшення першого ресурсу на одиницю дає збільшення випуску виробів другого типу на 1/2 і складає 100,5, випуск виробів третього типу не змінюється, а надлишковий ресурс зменшиться на -2. Отже, значення цільової функції зміниться на

2∙100,5 – 2∙100=1.

Аналогічний аналіз можна зробити і для другого ресурсу.

Обчислимо коефіцієнти взаємозамінюваності ресурсів. Вони свідчать, скільки одиниць і-го ресурсу треба додатково мати, щоб компенсувати зменшення k-го ресурсу на одиницю, тобто щоб значення цільової функції не змінилося: