Введение (стр. 2 )

Согласно

уравнению (1.23) в цилиндрической трубе при скорость вдоль трубы возрастает (), а при убывает (). Переход через скорость звука в обоих случаях невозможен. Напомним, что анализ ведётся для средней скорости течения газа. Уравнение (1.23) можно проинтегрировать, введя безразмерную координату и выразив левую часть уравнения через новую газодинамическую функцию

где – безразмерная скорость в начале трубы. График функции приведён на рис. 4. Выведенная зависимость позволяет узнать безразмерную скорость в конце трубы определённой длины, естественно, при задании соответствующих значений Решение проводится последовательными приближениями.

Общий итог рассмотренного подхода к изучению течения реальной жидкости в гладких трубах сводится к следующим основным положениям.

1. Силы сопротивления, вызванные трением движущейся жидкости о стенки, могут быть представлены через коэффициент сопротивления

Рис. 4. График функции

2. Коэффициент сопротивления является, прежде всего, функцией безразмерного критерия подобия – числа

3. При изменении условий течения (шероховатость, искривление канала, изменение площади и формы поперечного сечения и т. д.) также можно пользоваться коэффициентом сопротивления с учётом дополнительных, в основном геометрических критериев подобия.

4. Система уравнений (1.22) даёт качественную физическую картину течения в реальной несжимаемой и сжимаемой жидкости в каналах постоянного сечения, согласно которой переход движущейся в таком канале жидкости через скорость звука невозможен.

5. Система уравнений (1.22), как доказано практикой, с взятыми из справочной литературы значениями позволяет получать решения (по понятным причинам, в большей или меньшей степени приближенные) для целого ряда технических задач.

2. Закон трения Стокса

При составлении баланса сил, действующих на любой выделенный элементарный объём движущейся вязкой жидкости, необходимо наряду с объёмными силами включать в него теперь и все поверхностные нагрузки: не только нормальные (как в идеальной жидкости и в гидростатике), но и касательные.

Система поверхностных сил создаёт и определяет напряжённое состояние выделенного элемента. Движение жидкости под действием этих, а также объёмных сил приводит к деформированному состоянию объёма. Установление связи между напряженным и деформированным состояниями и является предметом дальнейшего рассмотрения. Эта связь может быть обоснована, в конечном счёте, только эмпирически. Однако можно пытаться предугадать её заранее, высказывая определённые гипотезы (пример – закон трения Ньютона (1.11), приведённый в предыдущем разделе). Для упругих твёрдых тел предложенная в своё время Гуком гипотеза о том, что силы, возникающие при деформации этих тел, пропорциональны величине деформации, при малых деформациях блестяще подтверждается на практике. Для капельных жидкостей и газов подобная гипотеза была выдвинута Стоксом и вошла в науку как закон трения, носящий его имя: силы, обуславливающие деформации при движении жидкостей и газов, пропорциональны скорости деформации.

Отправной точкой рассмотрения является общий случай напряжённого состояния, независимо от того, относится оно к жидкой, газообразной среде или твёрдому телу. Найдём выражение для поверхностной силы, отнесённой к единице объёма деформируемого тела. Возьмём элементарный объём движущейся или неподвижной среды в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами (рис. 5). Определим для него равнодействующую всех поверхностных сил.

К граням , перпендикулярным оси , приложены напряжения (слева) и (справа). Эти напряжения являются векторами и представляют собой отнесенные к единице площади результирующие поверхностных сил. Понятно, что аналогичным образом записываются напряжения для двух остальных пар взаимно противоположных граней параллелепипеда. После умножения напряжений на площади соответствующих граней, суммирования всех поверхностных сил и деления результата на объем выделенного элемента получаем поверхностную силу на единицу объема, вызванную напряженным состоянием:

Рис. 5. К рассчету равнодействующей поверхностных сил, приходящейся на единицу объёма

Вектор в конечном счете следует разложить на составляющие, а для этого надо сначала проделать подобную операцию с напряжениями (см. рис. 6).

Компоненты напряжений, лежащие в плоскости каждой грани (т. е. касательные напряжения), принято обозначать греческой буквой с двумя нижними индексами: первый указывает нормаль к площади, второй – направление, на которое проецируется вектор напряжения (например, означает проекцию на ось напряжения ). Нормальные компоненты обозначают через и обычно записывают с одним индексом: Итак,

Рис. 6. Представление напряжений, приложенных к граням элементарного параллелепипеда, в компонентах

Совокупность девяти скалярных величин составляет тензор напряжений:

Легко убедиться, составив уравнения моментов относительно произвольной точки, что Таким образом, тензор напряжений как симметричный тензор содержит только шесть различных составляющих. В итоге равенство (2.1) в компонентах принимает следующий вид:

Внеся эти выражения в уравнение, записанное в проекциях на оси координат, получим

где – составляющие скорости движения жидкости, – оператор субстанционального ускорения, – составляющие массовых сил.

В идеальной жидкости а ( – давление жидкости), и уравнения (2.5) принимают уже знакомый нам вид, переходя в уравнения Эйлера.

Рис. 7. Представление деформированного состояния через удлинения и углы сдвига

Для жидкостей и газов, обладающих трением, целесообразно ввести в рассмотрение в качестве особой расчетной величины среднее арифметическое из трех нормальных напряжений Сделаем допущение, что представляет собой давление в данной точке, подчиняющееся в случае газообразной среды уравнению состояния

Деформированное состояние любого континуума можно выразить двумя способами. Первый – через три относительных удлинения и три угла сдвига (рис. 7).

Рис. 8. Представление деформированного состояния с помощью введения вектора смещения

Второй способ основан на введении вектора смещения точки (рис. 8):

Деформированное состояние объема будет полностью определено, если для каждой точки континуума заданы составляющие вектора смещения :

Шесть составляющих деформации , определенным образом связаны с тремя составляющими вектора смещения . Эта связь легко просматривается из рис. 7 и 8:

Закон Гука устанавливает зависимость между напряженным и деформированным состоянием упругого твердого тела. Проще всего она выглядит для касательных напряжений и углов сдвига Если модуль сдвига обозначить через то Связь нормальных напряжений с деформациями несколько сложнее. При действии в изотропном материале одного нормального напряжения оно вызывает не только относительное удлинение в направлении оси , но и относительное сжатие в поперечном направлении (здесь – модуль продольной упругости, модуль Юнга). Это поперечное сжатие пропорционально относительному удлинению в продольном направлении. В направлении осей и оно равно соответственно Здесь – коэффициент поперечного сжатия, коэффициент Пуассона.

Следовательно, в трехмерном случае полное относительное удлинение вдоль оси с учетом поперечного сжатия вследствие напряжений и будет

Разумеется, подобным образом представляются также относительные удлинения и вдоль осей и

Далее можно выразить шесть напряжений через три составляющие вектора смещения, используя при этом соотношение, связывающее модуль сдвига с модулем Юнга и коэффициентом
Пуассона Опуская относительно несложные выкладки, запишем связь напряженного и деформированного состояния твердого упругого тела в окончательном виде:

Соотношению (2.7) целесообразно придать более наглядную матричную форму, которая и будет служить наиболее общим выражением закона Гука для упругого твердого тела:

Как уже отмечалось, выражение напряженного и деформированного состояния выделенного объема не зависит от рода тела (твердое оно, жидкое или газообразное). Разница, как предположил Стокс, будет заключаться в характере пропорциональности. По закону Стокса для жидкостей и газов напряжение пропорционально не величине деформации, а скорости деформации. Значит, вместо вектора смещения необходимо ввести скорость деформации

Здесь – составляющие скорости движения выделенного бесконечно малого объема жидкости или газа.

Модуль сдвига для твердого тела переходя к жидкости или газу, следует заменить на коэффициент вязкости *). Вместо среднеарифметического нормального напряжения возьмем давление Если теперь с учетом сделанных пояснений произвести в (2.8) требуемые замены, то в результате придем к искомому выражению закона трения Стокса:

Закон трения Стокса является обобщением закона трения Ньютона.

3. Уравнения Навье–Стокса

Нормальные напряжения в общем случае содержат не только давление, но и «вязкую» составляющую (см. Выделим ее следующим образом:

Слагаемые так же, как и касательные напряжения явным образом зависят от вязкости:

Выразим компоненты результирующей поверхностной силы Для направления из (2.4), (3.1), (3.2) имеем

Аналогично запишутся составляющие по осям и после чего, подставив выражения в (2.5), получим

Дифференциальные уравнения (3.4) составляют основу всей гидродинамики и называются уравнениями Навье–Стокса. К этим уравнениям необходимо еще добавить уравнение неразрывности

уравнение состояния и закон изменения вязкости от температуры

При рассмотрении неизотермических процессов также нельзя обойтись без уравнения энергии.

В применении к описанию течений несжимаемой жидкости () записанная выше система уравнений значительно упрощается.

Для полной физической определенности решения системы уравнений Навье–Стокса, помимо начальных условий, должны быть заданы граничные условия. Ими могут быть условия на стенках. При прилипании жидкости к ограничивающим течение стенкам исчезают как нормальные, так и касательные составляющие скорости.

Представление уравнений Навье–Стокса и напряжений в произвольной ортогональной системе координат является довольно громоздкой операцией (см., например, [4]) и находится вне рамок данного курса*).

Допущения, положенные в основу вывода уравнений Навье–Стокса являются, вообще говоря, интуитивными, т. е. в некоторой степени произвольными. И поэтому заранее нельзя быть уверенным, что эти уравнения правильно отражают закономерности движения вязкой жидкости. Сопоставление результатов расчета с экспериментальными данными затрудняется тем, что получение общего решения в полном виде, т. е. с сохранением всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость, невозможно. Можно утверждать, что его просто не существует. Однако имеющиеся частные решения дают результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными наблюдениями. На сегодняшний день нет объективных оснований сомневаться в общей применимости уравнений Навье–Стокса.

Многие описанные в литературе ламинарные течения несжимаемой жидкости являются частными примерами точных решений уравнений Навье–Стокса. В слоистых прямолинейных течениях вдоль оси составляющие скорости и равны нулю. Из уравнения неразрывности следует, что Поэтому не зависит от координаты т. е. для слоистых течений имеем и Пренебрежем массовыми силами: Все перечисленное ранее дает и Следовательно, изменение давления происходит только по направлению Далее, выпадают по направлению все конвективные члены, и мы получаем

Это уравнение линейно относительно

Конкретизируем задачу дальше. Полагаем движение установившимся и происходящим в прямой круглой трубе радиуса . В этом случае уравнение (3.5) перейдет в следующее:

При при

В (3.6) левая часть не зависит от а правая не зависит от что может означать только одно: каждая из сторон уравнения должна быть приравнена к постоянной.

Решение уравнения (3.6) дает где

Как видно, полученное решение тождественно решению задачи о течении Гагена–Пуазейля, выведенному ранее с использованием закона трения Ньютона.

Рассмотрим пример безградиентного по давлению неустановившегося слоистого движения вязкой невесомой несжимаемой жидкости в полупространстве над плоскостью приводимой в движение вдоль оси из состояния покоя со скоростью, возрастающей по некоторому закону Для этого случая конечный вид уравнения, описывающего течение, таков:

Здесь, Начальные условия: при для всех Граничные условия: при для и для .

Уравнение (3.7), будучи уравнением в частных производных, переводится при в обыкновенное дифференциальное уравнение введением новой независимой переменной

Положим Тогда функция должна удовлетворять обыкновенному линейному дифференциальному уравнению с граничными условиями при и при

Решением этого уравнения будет функция, содержащая так называемый интеграл вероятности

Интеграл является быстро убывающей функцией, уже при он равен 0,01. Последнее в «переводе» на «физический язык» означает: влияние вязкости на течение ограничено тонким пристеночным слоем (при конечном ), вне его среда практически неподвижна. Обозначим его толщину через

Рис. 9. График функции, описывающей решение уравнения (3.7)

Профили скорости для различных значений времени подобны друг другу и могут быть совмещены путем изменения масштаба в направлении Результаты расчета этого течения представлены на рис. 9.

Помимо разобранных в данном пособии, в литературе приводятся и другие примеры точных решений уравнений Навье–Стокса для слоистых течений.

Дальнейшее использование уравнений Навье–Стокса с целью получения аналитических решений сталкивается с математическими трудностями и возможно лишь путем их упрощения: «насильственным» исключением отдельных составляющих уравнения членов. В отсутствие массовых сил можно оценивать в уравнениях соотношения конвективных и вязких составляющих. Мы уже знаем, что отсутствие вязких взаимодействий приводит к концепции идеальной жидкости. Можно взять другой предельный случай, а именно: пренебречь вкладом конвективных членов уравнений. Т. е. скорость движения жидкости такова, что конвективные составляющие от нее значительно меньше вязких составляющих. Это так называемые ползущие движения. В реальности такие течения тоже имеют место. Для них

Получение точных решений приближенных уравнений обычно также является непростым делом. В качестве примера приведем лишь результат решения, полученного Стоксом для шара. Шар радиусом обтекается со скоростью потоком слоистой несжимаемой жидкости с вязкостью . Суммарная сила, действующая при этом на шар (знаменитая формула Стокса), равна