Введение (стр. 1 )

Введение

В предыдущих выпусках тематических пособий речь шла о движении жидкостей или газов в предположении их идеальности, то есть не обладающих трением. При течении жидкости без трения между её отдельными соприкасающимися слоями действуют только нормальные силы (давление), касательные же силы отсутствуют. Механическое сопротивление, возникающее в плоскости касания двух прижатых друг к другу тел при их относительном перемещении, в физике называется внешним трением. Обтекание идеальной жидкостью твёрдого тела из-за отсутствия касательных сил приводит к скольжению жидкости вдоль его стенки. В реальных жидкостях этого не происходит, жидкость прилипает к стенке, на обтекаемую твёрдую поверхность передаются касательные напряжения. Здесь имеет место так называемое внутреннее трение. Последнее проявляется и в твёрдых телах при необратимом поглощении механической энергии, получаемой телом при деформации. В жидкостях и газах синонимом внутреннего трения является их вязкость. Вязкость – это свойство жидкостей и газов сопротивляться действию внешних сил, вызывающих движение среды. Существование касательных напряжений и прилипание жидкости к твёрдой стенке качественно отличает движущуюся реальную жидкость от идеальной.

Для расчёта вязких течений необходимо знать связь возникающих напряжений сдвига с характеристиками движущейся среды, её вязкостью. Трудности расчёта обусловлены тем, что движение жидкости в общем случае подчиняется разным закономерностям, характер которых зависит от главного критерия подобия для реальных сред – числа Рейнольдса Различают ламинарные течения – течения, при которых жидкость или газ перемещаются слоями без перемешивания, и турбулентные течения. Существование ламинарных течений возможно только до достижения определённого, критического значения числа Рейнольдса При больших ламинарное течение теряет устойчивость и переходит в турбулентное течение. Турбулентные течения – течения жидкости или газа, в которых частицы среды совершают неупорядоченные, хаотические движения со сложными траекториями, а их скорость, температура, давление и плотность испытывают хаотические флуктуации. Турбулентные течения отличаются от ламинарных течений интенсивным перемешиванием, теплообменом, большими значениями коэффициента трения и пр. В природе и технике большинство течений жидкостей и газов являются турбулентными.

Для ламинарных течений, как показывают результаты экспериментов, справедлива гипотеза Ньютона, согласно которой напряжение сдвига пропорционально скорости относительного сдвига, а коэффициент пропорциональности есть коэффициент вязкости среды. Однако гипотеза Ньютона справедлива не для всех жидкостей. Для так называемых неньютоновских жидкостей коэффициентом пропорциональности служит некая эффективная вязкость. В отношении турбулентных течений на сегодняшний день строгой точной зависимости, связывающей напряжение трения и скорость относительного сдвига, не найдено. Поэтому существующие методики расчёта в той или иной степени носят приближенный характер. Одной из главных задач настоящего методического пособия является ознакомление студентов с наиболее надёжными, удобными в работе подходами к расчётам течений вязких жидкостей.

1. Течение в трубах

Изучение влияния внутреннего трения на закономерности течения жидкости или газа целесообразно начать с какой-либо простейшей практической задачи, например, с задачи об адиабатическом течении в прямолинейном канале круглого сечения – в трубе. Следует особо отметить, что выбранная форма поперечного сечения трубы является наиболее выгодной для рассмотрения данного течения, так как предполагает одинаковость всех параметров, характеризующих движение, по периметру трубы в каждом сечении. Нетрудно убедиться, что любая другая форма поперечного сечения канала априори этим условиям может не отвечать. Прямолинейность канала также является условием отнюдь не тривиальным, ибо любое изменение направления движения жидкости в канале влечёт за собой дополнительные потери. Тем самым прямолинейная круглая труба является наилучшим объектом для стартового изучения движения реальной жидкости. При экспериментальных исследованиях течений в трубах наиболее характерным наблюдаемым эффектом является изменение статического давления по длине трубы. Если же подходить к этим течениям с позиций идеальной жидкости, то статическое давление должно оставаться постоянным. Поэтому изменение статического давления по длине трубы в какой-то степени характеризует отличие реального течения от идеального. С целью первоначального анализа течения воспользуемся так называемой Пи-теоремой (ей посвящён специальный раздел следующего учебно-методического пособия «О подобии и анализе размерностей»). Пи-теорема утверждает: если для функционального представления какой-либо физической закономерности требуется независимых размерных величин, из которых имеют независимые размерности (причём очевидно, не превышает числа основных единиц измерения), то из этих величин нельзя составить больше чем независимых безразмерных комплексов степенного вида.

Итак, вначале выстраиваем перечень параметров, состоящий из определяющих течение независимых размерных величин (число ). Зависимая (определяемая) размерная величина нами уже оговорена – это изменение статического давления по длине трубы. В данном примере присутствуют как бы два объекта исследования: сама труба и поток жидкости. В принципе никакой связи между ними нет, а потому каждый объект вносит свою долю независимых размерных величин. Для трубы – это, конечно, длина и внутренний диаметр трубы Что касается материала и толщины стенок трубы, то в адиабатическом течении (без теплообмена с окружающей средой) эти параметры значения не имеют. Другое дело – состояние внутренней поверхности трубы. Оно может быть разным и характеризуется параметром, называемым шероховатостью, разновидности которой отличаются бесконечным разнообразием. Поэтому вводят понятие «технически гладкой трубы», когда имеется в виду состояние внутренней поверхности трубы, дающее вполне определённый минимальный уровень потерь на трение (остающийся постоянным при уменьшении степени шероховатости стенки).

Поток жидкости или газа определяется в начальном, контрольном для расчётов сечении трубы и зависит от скорости, плотности, температуры, рода среды, коэффициента вязкости. Упоминая во введении о турбулентности, мы отметили, что перечисленные параметры испытывают весьма быстрые флуктуации. Таким образом, можно сказать, что поток в начальном (контрольном) сечении обладает определённой начальной турбулентностью. Её уровень, подобно шероховатости стенок трубы, может быть различным. Это условие также должно быть оговорено заранее. Принимают, что начальный уровень турбулентности соответствует среднему статистическому для данных условий. В результате исходная цепочка независимых размерных величин для гладких труб включает в себя длину трубы диаметр трубы скорость потока жидкости плотность жидкости температуру жидкости (град. Кельвина), род жидкости через газовую постоянную которая, в свою очередь, равна
коэффициент динамической вязкости Итого имеем восемь величин и

В механике за основные величины и соответственно за основные размерности обычно принимают длину, время и массу. В газовой динамике к ним добавляется ещё одна – температура. Таким образом, число основных единиц измерения равно четырём и совпадает в данном случае с числом параметров (), имеющих независимые размерности (в качестве таковых можно взять или и ). Согласно Пи-теореме число независимых безразмерных комплексов составит Сказанное выше можно представить в символической форме:

Зависимую безразмерную переменную содержащую искомое изменение статического давления обычно выражают как отношение к скоростному напору т. е.

и связанно это с тем обстоятельством, что, говоря о течении в трубах, как правило, имеют в виду течения несжимаемой жидкости.

Независимые безразмерные комплексы должны содержательно отражать физическую сущность задачи: отношение геометрических параметров трубы, относительные характеристики движущейся среды, отношение действующих сил и т. п. Тогда можно считать, что

Окончательно

Течения газа в технически гладких трубах с определённой начальной турбулентностью, для которых безразмерные критерии и одинаковы, будут механически подобны. Критерии называют критериями подобия.

Следующей задачей является определение функциональной зависимости в выражении (1.5). На весьма малом участке отстоящем от входа на расстоянии можно считать, что есть линейная функция от тогда

Коэффициент называют локальным коэффициентом сопротивления трубы.

Если мы имеем дело с течениями несжимаемой жидкости, перечень определяющих параметров укорачивается с восьми до пяти. Из него убираются и и, значит, из (1.5) и (1.6) – и . Следовательно,

При равномерном течении несжимаемой жидкости в трубе длиной разность сил давления в сечениях, ограничивающих выделенную массу жидкости, равна силе трения о стенки трубы, силе сопротивления, в том числе и для любого малого отрезка трубы с перепадом давления на нём т. е. где через обозначено напряжение трения на стенке. Отсюда

Сравнив (1.8) и (1.7), выразим силу сопротивления как

Тогда сила сопротивления, отнесённая к единице массы движущейся жидкости, будет равна

Теперь, чтобы принять во внимание действие «вязкого» фактора, уравнение импульсов для идеальной жидкости (см. [8]) должно быть дополнено силой сопротивления. В результате получим

В уравнение (1.10) входит неизвестный коэффициент сопротивления определить который методами теории размерностей и подобия невозможно. Для его нахождения необходимо привлечь дополнительные соображения о законе трения. В своё время, анализируя результаты опытов течения реальной жидкости, Ньютон предложил простую зависимость, связывающую напряжение силы трения с поперечным градиентом скорости и коэффициентом вязкости, применяемую в случае прямолинейного «сдвигового» ламинарного движения:

Равенство (1.11) называют законом трения Ньютона. Однако подчеркнём, этот закон представляет собой только относительно простой частный случай. Обобщением элементарного закона трения, как мы увидим в дальнейшем, будет закон трения Стокса*). Следует ещё заметить, что коэффициент вязкости движущейся среды есть величина, зависящая от давления и температуры. Опыты показывают, что у реальных газов и жидкостей изменение давления (исключая область очень высоких давлений) почти не влияет на их коэффициент вязкости. Зато зависимость последнего от температуры существенна. В литературе имеется набор формул, аппроксимирующих различные участки зависимости вязкости газов от температуры. Приведём лишь одну, наиболее универсальную аппроксимацию, так называемую формулу Сазерленда:

где, например, для воздуха константа =122 K, – вязкость при

Используем теперь закон трения Ньютона для расчёта коэффициента сопротивления при равномерном течении вязкой несжимаемой жидкости в прямой круглой трубе. Но сначала разберёмся, как следует понимать в данном случае слова «равномерное течение». В отличие от просто стационарного течения здесь они означают, что скорости всех жидких частиц параллельны оси потока и постоянны, но, конечно, вследствие вязкости зависимы от удалённости частиц от оси трубы. Отсюда следует, что распределение скоростей жидкости вдоль радиуса в каждом поперечном сечении трубы одно и то же, значит, по (1.11), (1.8) и (1.7) постоянны продольный градиент давления и локальный коэффициент сопротивления трубы.

Рис. 1. К выоду закона сопротивления Гагена–Пуазейля

Итак, выделим, как показано на рис. 1, внутри течения жидкий элемент цилиндрической формы длины и радиуса Разность давлений действующих на торцевые сечения выделенного цилиндра, создаёт силу направленную по оси трубы. Так как здесь ускорение жидкости отсутствует, то эта сила уравновешивается силой трения возникающей на боковой поверхности цилиндра по закону трения

Условие равновесия даёт дифференциальное уравнение

или

Интегрируя (1.13) и принимая во внимание, что при (прилипание жидкости к стенке), получим

Объёмный расход жидкости будет равен

Последняя зависимость носит название закона Гагена–Пуазейля.

Описанное движение жидкости характеризуется как ламинарное. Скорость течения на стенках трубы равна нулю, а в середине трубы имеет максимальное значение. В точках цилиндрических поверхностей с осями, совпадающими с осью трубы, скорость течения, повторим ещё раз, постоянна, отдельные цилиндрические слои скользят друг по другу и притом так, что скорость везде имеет осевое направление.

Зная объёмный расход жидкости (1.15), вычислим среднюю скорость течения :

Сопоставляя (1.16) с (1.7), имеем

При выводе (1.7) специально не оговаривалось, какая именно скорость движения жидкости берётся в качестве определяющего параметра, поскольку тогда это было непринципиально. Закон Гагена–Пуазейля задаёт профиль скорости в каждом поперечном сечении трубы, который, следует заметить, не имеет участков с постоянной скоростью.

В трубном течении газа с относительно небольшим перепадом давления изменение температуры газа вдоль трубы также мало, а потому оно не может оказать серьёзного влияния на характер течения (в сравнении с «несжимаемым» случаем). Тогда, как мы уже говорили, коэффициент сопротивления не должен зависеть от числа и числа Плотность и средняя по сечению скорость газа будут постоянны вдоль трубы, и, понятно, их и следует теперь сделать определяющими величинами. Постоянными будут и число рассчитываемое по средней скорости, и коэффициент сопротивления. Таким образом, зависимость (1.17), учитывая, что приобретает окончательный вид:

Важно помнить, что число построено по средней скорости и диаметру трубы.

На рис. 2 представлены экспериментальные точки и расчётные значения коэффициента в зависимости от числа для гладких труб. Как следует из сопоставления данных, теоретическая формула прекрасно подтверждается экспериментом при низких Совпадение расчётных и экспериментальных данных прослеживается до числа При больших происходит активное включение механизма турбулентности, сопротивление возрастает. Дальнейший ход зависимости резко отличается от полученной для ламинарного течения.

Рис. 2. Коэффициент сопротивления для гладких труб. 1 – ламинарный режим (течение Пуазейля), 2 – турбулентный режим (формула Блазиуса), 3 – турбулентный режим (формула Никурадзе), • – экспериментальные данные

Одним из способов расчёта турбулентного течения является использование эмпирических формул или формул, основанных на полуэмпирических теориях. В качестве иллюстрации к сказанному приведём две наиболее удачные аппроксимации экспериментальных данных для гладких труб, указав пределы их возможного применения по числу Это – формула Блазиуса (справедлива до ):

и формула Никурадзе (применяется в интервале ):

В справочной литературе можно найти ещё ряд аналогичных формул. Т. е. применительно к данной простой, но важной в практическом отношении задаче есть возможность найти подходящее выражение для зависимости в турбулентной области. Заметим кратко, что область перехода от ламинарного течения к турбулентному подобным вниманием (результатом которого являлись бы расчётные соотношения и практические рецепты) явно обделена, за исключением, пожалуй, начальной точки перехода. Попыткам затянуть переход и продлить ламинарное течение в область больших посвящено много работ. Эти исследования активно продолжаются и сегодня. На начало перехода влияют те два ранее упомянутых фактора, которые мы оставляли в стороне, – это шероховатость стенок трубы и уровень начальной турбулентности. В реальных условиях трубы не всегда могут рассматриваться как гидравлически (технически) гладкие. Шероховатость стенок приводит к увеличению сопротивления. Как уже отмечалось, многообразие форм шероховатости затрудняет выбор соответствующего определяющего параметра. Наиболее приемлемым оказалось введение параметра так называемой относительной шероховатости где есть высота элементов шероховатости и – радиус трубы, или обратной ей величины.

На рис. 3 приведены экспериментальные данные для шероховатых труб при изменении обратной величины параметра шероховатости от 1300 до 15. Трубы с согласно опытным наблюдениям могут считаться технически (гидравлически) гладкими. Из рис. 3 замечаем, что при ламинарном режиме шероховатость не влияет на коэффициент сопротивления. В турбулентной области течения кривые для каждой величины относительной шероховатости стремятся с ростом к определённому пределу, зависящему только от степени шероховатости и определяемому по эмпирической формуле:

Исследования турбулентных течений в трубах с некруглым поперечным сечением показали, что для систематизации результатов целесообразно брать коэффициент сопротивления, отнесённый к эквивалентному, или гидравлическому радиусу, вычисляемому как отношение величины удвоенной площади поперечного сечения к длине его периметра.

Рис. 3. Коэффициент сопротивления для шероховатых труб. 1, 2, 3 – см. рис. 2

Течение в изогнутом трубопроводе сопровождается возникновением отрывных зон и вторичных течений, увеличивающих сопротивление, причём в ламинарном течении влияние кривизны канала сказывается значительно сильнее, чем в турбулентном.

Учтя вязкие эффекты с помощью коэффициента сопротивления ранее мы составили вполне определённое одномерное уравнение импульсов (1.10), т. е. теперь у нас имеется вся совокупность уравнений для вязкого одномерного течения, а именно: уравнения сохранения расхода и энергии и уравнение импульсов:

Здесь под понимается средняя по сечению скорость газа.

Вспомним, что данное течение зависит от трёх критериев подобия Опытные наблюдения, однако, говорят, что коэффициент для гладких труб практически не зависит от числа Это обстоятельство заметно облегчает задачу при решении системы (1.22). Несложные преобразования позволяют установить связь безразмерной скорости с коэффициентом сопротивления