Введение (стр. 4 )

Более детальное рассмотрение задач обтекания тел различной формы и течений в каналах не входит в программу нашего курса и излагается как отдельная специальная дисциплина. Назначение приведенного выше материала в том, чтобы заложить начальное представление о пограничном слое, показать, сколь существенны упрощения уравнений Навье–Стокса благодаря использованию концепции пограничного слоя, проиллюстрировать это на одном из классических примеров, допускающем точное решение*), и, наконец, сформулировать и продемонстрировать применительно к данному примеру метод интегральных соотношений – основной с практической точки зрения приближенный метод решения задач о пограничном слое.

5. Краткие сведения о турбулентности
и турбулентных течениях

Течения, о которых говорилось в предыдущих разделах, заранее подразумевались ламинарными. Между тем многие течения, встречающиеся в природе и технике, если не большинство, являются турбулентными. Они характеризуются тем, что на главное движение накладывается хаотическое пульсационное движение, отчего происходит интенсивное перемешивание жидкости. Действие последнего на поток равносильно многократному (на два-четыре порядка) увеличению вязкости. То обстоятельство, что турбулентные течения допускают разложение на осредненное (главное) движение и пульсационное движение, служит отправным моментом для их математического описания. В случае адиабатических течений несжимаемой жидкости (чем мы и ограничимся) это разложение выглядит следующим образом:

Под средним значением понимается среднее по времени значение величины в фиксированной точке пространства:

При этом необходимо брать промежуток времени осреднения столь большой, чтобы осредненные значения не зависели от времени. Тогда осредненные по времени значения пульсационных величин будут равны нулю.

Напомним основные математические правила осреднения, которые нам пригодятся при выводе уравнений турбулентности:

Пульсационное движение со скоростями оказывает на осредненное движение весьма сильное влияние, выражающееся, по существу, в значительном увеличении сопротивления возникающей деформации по сравнению со случаем отсутствия пульсаций, когда Действие пульсационного движения на осредненное движение, как уже отмечалось, эквивалентно увеличению вязкости осредненного движения. Эта дополнительная кажущаяся вязкость осредненного движения является основным понятием во всех теоретических соображениях о турбулентных течениях.

Как возникают дополнительные напряжения? Рассмотрим в турбулентном течении, имеющем скорость с составляющими площадку с нормалью, параллельной оси Масса жидкости, протекающая через эту площадку за время равна Компоненты по осям потока импульса сквозь площадку соответственно будут

Составим среднее по времени от потока импульса в единицу времени и выполним осреднение:

Так как то

Подобным же образом найдем

и

Следовательно, осредненные по времени составляющие потока импульса в единицу времени будут

Отнесем все величины добавочного (за счет пульсаций) прироста потока импульса, взятые с обратным знаком, к единице площади, разделив на и получим тем самым дополнительные напряжения, действующие в направлениях на площадку со стороны окружающей среды:

Эти напряжения называют «кажущимися» напряжениями турбулентного течения.

Аналогично получаются дополнительные напряжения и на площадках, перпендикулярных к осям и Совокупность всех девяти дополнительных напряжений образует симметричный тензор напряжений кажущегося турбулентного трения:

Полные напряжения получаются алгебраическим сложением обычных вязких напряжений (закон трения Стокса), включающих только средние скорости, и кажущихся турбулентных напряжений:

Обычно кажущиеся турбулентные напряжения настолько превосходят ламинарные напряжения, что последние можно не учитывать, не делая при этом каких-либо заметных ошибок.

Механизм турбулентности можно представить следующим упрощенным образом на примере плоскопараллельного осредненного течения со скоростью, меняющейся (скажем, возрастающей) только по поперечной координате В процессе турбулентного течения возникают некие макроскопические объемы жидкости, причем каждый из них на некотором расстоянии движется в любом направлении как целое с определенной скоростью. Положим, что такой объем, образовавшийся в слое с координатой и обладающий скоростью перемещается вверх на расстояние как целое с сохранением -составляющей своего импульса. Когда этот объем жидкости попадает в слой с координатой его скорость в этом слое будет отличаться от скорости окружающей его среды:

которая, будучи вызванной поперечным движением, может трактоваться как пульсационная составляющая продольной скорости. При этом Аналогично объем жидкости, попадающий в слой из слоя имеет большую скорость, чем окружающая его среда. Пульсационная составляющая здесь будет равна

при

Величина была введена в гидродинамику Прандтлем и названа им путем перемешивания объемов жидкостей. В рассматриваемой модели турбулентного движения можно считать, что пульсации и по абсолютной величине одного порядка (так называемая изотропная турбулентность). Объем жидкости, приходящий в слой с отрицательным значением вызывает положительную пульсацию скорости Объем жидкости, приходящий в слой с положительным значением вызывает отрицательную пульсацию скорости Можно считать, что где – коэффициент пропорциональности порядка единицы. Ввиду некоторой неопределенности пути перемешивания включим коэффициент в эту величину. Осредняя, получаем

Проведенные рассуждения сделаны в предположении положительных значений величин При Оба случая можно выразить единой формулой

Гипотеза о длине пути перемешивания была высказана Л. Прандтлем еще в 1925 г. и с успехом применяется до сих пор. Хотя длину пути перемешивания нельзя считать физической постоянной для каждой жидкости, однако она, как показывают опытные данные, слабо зависит от параметров потока и является в основном функцией координаты При (на стенке, полагаемой гладкой) и величина Сделаем допущение, что возле стенки

Вновь рассмотрим течение вдоль плоской безграничной стенки несжимаемой жидкости при но уже с учетом турбулентности. Уравнение такого движения имеет следующий вид:

где

Отсюда

На стенке и в непосредственной близости от нее (в так называемом ламинарном подслое) и, значит, В турбулентной зоне, наоборот, и Но по гипотезе Прандтля

Заменив длину пути перемешивания ее выражением возле стенки, получим Интеграл этого уравнения с учетом равен

или в безразмерной форме

где и

Величина согласно результатам измерений является универсальной постоянной турбулентных течений и равна 0,4. Вторая константа зависит от свойств обтекаемой поверхности и определяется, исходя из требований к смыканию полученного турбулентного логарифмического профиля скорости с линейным в ламинарном подслое. Выведенный закон распределения скорости справедлив и для части пограничного слоя и опирается, подчеркнем снова, на предположение, что в основной части турбулентного пограничного слоя коэффициент молекулярной вязкости мал по сравнению с турбулентным коэффициентом вязкости. Такое допущение справедливо лишь при очень больших числах

Опыты при обтекании плоской пластинки потоком несжимаемой жидкости показывают, что при умеренных «турбулентных» числах распределение скорости хорошо описывается степенным законом Величина слабо зависит от числа При можно принять

Из приведенного, хотя и весьма краткого, изложения важнейшего раздела гидромеханики, посвященного турбулентным движениям, заключаем, что сегодня нет (и в силу специфики самого явления вообще не может быть) точных решений уравнений Навье–Стокса для турбулентных течений. Высказываемые расчетные гипотезы и имеющиеся экспериментальные данные позволяют создавать приближенные методы расчета, в большей или меньшей степени отвечающие реальным течениям. Проблема турбулентности чрезвычайно актуальна и не менее сложна, и ее рассмотрение выливается в отдельные самостоятельные специальные курсы, что, естественно, выходит далеко за рамки курса «Введение в механику сплошных сред».

6. Особенности течения вязкой сжимаемой жидкости

Описывая течения в пограничном слое несжимаемой жидкости, мы не касались вопроса распределения в нем температуры. При относительно небольших перепадах температур динамический пограничный слой для несжимаемой жидкости можно рассматривать в общем случае независимо от температурного пограничного слоя. Для сжимаемых течений (течений газа) это невозможно. Там динамический и температурный пограничные слои влияют друг на друга, и поэтому их нужно рассчитывать только совместно. Это обстоятельство сильно усложняет решение задачи. Определяемыми (искомыми) становятся уже семь параметров: *). В принципе при наличии семи уравнений задача может быть решена. Однако введение дополнительных параметров и зависимостей в случае течения сжимаемой жидкости: критерия сжимаемости – числа Маха, критерия теплового подобия – числа Прандтля, эмпирического закона связи вязкости с температурой, – приводит к резкому возрастанию числа возможных вариантов расчета.

Замечено, что в безградиентных течениях () экспериментальные исследования не отмечают сильного влияния сжимаемости на характеристики пограничного слоя. Однако в течениях с положительным градиентом давления () происходят существенные изменения картины течения в этом слое. Причем они (изменения) характерны как для ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев. На практике в большинстве случаев мы имеем дело с турбулентными течениями, притом сверхзвуковыми. Поэтому значительный объем экспериментальных работ приходится на исследования взаимодействия скачков уплотнения с турбулентным пограничным слоем. Теоретическое изучение этого вопроса затруднено вследствие сложности явления.

Рис. 15. Обтекание внутреннего тупого угла (при ) сверхзвуковым безотрывным потоком вязкого и невязкого газа: 1 – идеальная жидкость, 2 – реальная жидкость

В виде примера на рис. 15 показана схема взаимодействия скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем при обтекании внутреннего угла Профиль скорости в пограничном слое для наглядности сильно растянут по оси Пользуясь уравнениями идеальной жидкости при расчете скачков уплотнения, можно определить изменение наклона скачка (кривизну скачка) в сверхзвуковой части пограничного слоя. В дозвуковой части профиля скорости в пограничном слое скачка уплотнения, естественно, нет, но повышение давления должно происходить. Эксперименты показывают, что описанная картина течения действительно наблюдается при обтекании относительно малых углов С увеличением угла (при заданной скорости течения) картина обтекания резко меняется (см. рис. 16). Здесь же представлено и распределение давления на стенке. Давление непрерывно увеличивается от значения в невозмущенном потоке до значения которое обычно совпадает с давлением за скачком уплотнения во внешнем потоке. Характерной особенностью распределения давления является наличие точки перегиба, причем значение давления в этой точке оказывается таким же, как за первым косым скачком уплотнения. Отношение – критическое отношение давлений – является одним из основных параметров при взаимодействии скачка уплотнения с пограничным слоем. Относительное давление в точке отрыва несколько меньше, чем критическое отношение давлений. Для турбулентного пограничного слоя распределение давления в области взаимодействия практически не зависит от числа . Аналогичная картина взаимодействия имеет место при наличии во внешнем потоке косого скачка уплотнения (скачок, падающий на стенку), при нерасчетном истечении из сопла, при обтекании уступов сверхзвуковым потоком. Опытные данные показывают, что отношение давлений в отошедшем косом скачке уплотнения (критическое давление) не зависит от способа осуществления течения, интенсивности основного скачка уплотнения и числа а определяется только значением числа внешнего невозмущенного потока (рис. 17).

Рис. 17. Зависимость критического отношения давлений от числа при турбулентном пограничном слое

Построены различные аппроксимации этих экспериментальных зависимостей, например:

Существуют и другие аппроксимации, помимо приведенных.

Рис. 18. Величина отхода косого скачка в функции от интенсивности падающего скачка при турбулентном пограничном слое

Величина отхода косого скачка от точки пересечения падающего скачка со стенкой зависит от интенсивности падающего скачка, от числа и местных параметров пограничного слоя. В качестве примера на рис. 18 приведены результаты опытного определения этого линейного размера. Величина на этом рисунке – толщина вытеснения пограничного слоя при отсутствии скачка уплотнения во внешнем потоке.

Отмеченное явление имеет место и при ламинарном режиме течения жидкости в пограничном слое. Критическое отношение давлений при этом зависит не только от числа но и от числа :

Величина отхода косого скачка при ламинарном течении в пограничном слое больше, чем при турбулентном.

7. Осреднение параметров неравномерного потока

Неравномерные потоки газа с переменными по сечению параметрами иногда (в частности, в технических приложениях) целесообразно рассматривать как одномерные. Для этого необходимо привести течения к каким-то средним значениям параметров. Осреднение параметров газа не является само собой разумеющейся операцией, а требует внимательного подхода. Вспомним, что мы уже при выводе решения Гагена–Пуазейля произвели осреднение скорости, разделив объемный расход жидкости на величину площади поперечного сечения канала, в котором движется жидкость. Значение полученной осредненной скорости использовалось для дальнейших выкладок и вошло в окончательный результат. Однако, нередко такое простейшее осреднение является физически неприемлемым и будучи, тем не менее, примененным может привести к ошибочным выводам. Оправданием такого осреднения является то, что при малой исходной неравномерности потока жидкости количественная ошибка невелика. Но при большой неравномерности ошибка может стать существенной.

Неравномерный поток характеризуется рядом суммарных величин. Это – расход газа, его энергия и импульс, теплосодержание, энтропия. При осреднении желательно сохранить эти величины. Поскольку состояние одномерного газового потока определяется тремя независимыми параметрами, то и при осреднении можно обеспечить сохранение только трех интегральных физических характеристик исходного течения. Наиболее распространенным способом осреднения является выдерживание равенства у исходного и осредненного потоков расхода газа потока полной энтальпии (или температуры торможения ) и полного импульса Среднее значение полного давления температуры торможения и безразмерной скорости находятся из решения системы трех уравнений, выражающих сформулированные условия осреднения. Итак, запишем:

Здесь

Далее,

Полагая получаем

и

Для упрощения расчетов импульса по средним параметрам выразим суммарный полный импульс как а элементарный полный импульс через полное давление и газодинамическую функцию Напомним, что Функция же – новая для нашего изложения газодинамическая функция, производная от уже известных газодинамических функций:

В итоге для вычисления среднего значения безразмерной скорости имеем следующее соотношение:

или

Рассчитав температуру торможения и можно получить и среднее полное давление

По найденным значениям однозначно определяются все остальные параметры осредненного потока. Сопоставив при проведенном осреднении энтропию газа с энтропией исходного потока, обнаруживаем, что осредненным параметрам соответствует большее значение энтропии. Осреднение увеличило энтропию газа. С точки зрения второго начала термодинамики это можно объяснить тем, что выполнение осреднения физически эквивалентно перемешиванию частиц газа, движущегося с разными скоростями по сечению. А такое перемешивание должно сопровождаться потерями. В связи с этим изложенный способ осреднения может оказаться неприемлемым.

Когда по смыслу задачи требуется оценить работоспособность исходного потока газа, необходимо проводить осреднение так, чтобы сохранить постоянной суммарную величину энтропии газа. Тогда с целью определения трех параметров осредненного потока () используют условия сохранения расхода, полной энергии и энтропии. В этом случае, предполагая получаем

Если то к данным двум выражениям добавляется ранее приведенное выражение для Кроме того, температура теперь войдет под знак логарифма в первое соотношение: как сомножитель вида при слева и, разумеется, в качестве сомножителя при справа.

Конечно, при подобном осреднении не выполняется условие сохранения импульса.

В итоге можно сказать, что в каждом реальном случае необходимо выбирать такой способ осреднения, который наиболее полно отражал бы особенности поставленной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. и др. Прикладная газовая динамика. – М.: Издательство ЦАГИ, 1948.

2. Теория пограничного слоя. – М.: Наука, 1974.

3. Прикладная газовая динамика. – М.: Наука, 1976.

4. Гидродинамика. – Л.: Гидромет. издательство, 1951. – С. 327–336.

5. Общий курс физики. Т. I – М.: Физматлит. МФТИ, 2002. – С. 503–504.

6. Техническая гидродинамика. – Л.: Машиностроение, 1976. – С. 267–378, 327–330.

7. , О подобии и анализе размерностей. Учебно-методическое пособие по курсу «Введение в механику сплошных сред». – М.: МФТИ, 2003. – 37 с.

8. , Начала газовой динамики. Методические указания по курсу «Введение в механику сплошных сред». – М.: МФТИ, 1994. – 26 с.

9. , Течения жидкости с подводом тепла. Учебно-методическое пособие по курсу «Введение в механику сплошных сред». – М.: МФТИ, 2002. – 32 с.

Оглавление

Введение. 3

1. Течение в трубах. 4

2. Закон трения Стокса. 16

3. Уравнения Навье–Стокса. 25

4. Пограничный слой в несжимаемой жидкости. 31

5. Краткие сведения о турбулентности и турбулентных течениях. 45

6. Особенности течения вязкой сжимаемой жидкости. 51

7. Осреднение параметров неравномерного потока. 56

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 59

Оглавление. 60

*) Формула (1.11) при искривлении линий тока, путём замены производной на ( – нормальное к линиям тока направление), неприменима, в чём легко убедиться на примере известной задачи гидростатики о вращении жидкости как твёрдого тела. Правильный результат в данном случае, говорящий об отсутствии касательных усилий, даёт именно закон Стокса.

*) Мы здесь совершенно не затрагиваем вопрос о так называемой второй, или объемной вязкости, которая проявляется лишь в газах при быстро развивающихся процессах.

*) Для частного случая вращения жидкости вокруг неподвижной оси в [5] дан весьма короткий простой вывод выражения для касательного напряжения на цилиндрической поверхности, которое равно

*) Расход жидкости через грань , очевидно, равен разности расходов через грани и т. е. а составляющая ее скорости по на всюду постоянна и равна

*) В механике жидкости и газа принято считать, что задача имеет точное решение, когда ее математическое описание может быть сведено как минимум к обыкновенному дифференциальному уравнению, даже если оно может быть проинтегрировано только численно.

*) В этом ряду нет коэффициента теплопроводности газа, который принимается пропорциональным коэффициенту динамической вязкости.