Введение (стр. 3 )

Соответственно коэффициент сопротивления будет

.

На рис. 10 приведены результаты расчетов и измерений коэффициента сопротивления шара, движущегося в жидкости. Сравнение показывает, что совпадение и наблюдается лишь при числах Имеющиеся в литературе ссылки на работы, уточняющие формулу Стокса, существенного расширения пределов ее использования не дают.

Рис. 10. Коэффициент сопротивления шара. 1 – теория Стокса, 2 – теория Озеена, • – эксперименты различных авторов

На примере решенной задачи о плоском неустановившемся слоистом движении вязкой жидкости в полупространстве мы видели и можем полагать теперь, что влияние вязкости на течение в практических задачах можно учитывать не во всем поле течения, а лишь в части, непосредственно примыкающей к телу, т. е. можно ввести понятие пограничного слоя. В этом слое при расчетах вязкость учитывается обязательно, вне его течение жидкости приближенно считается идеальным. Введение и использование концепции пограничного слоя является также неким приближением для решения задачи, но с вполне оговоренными границами (помимо стенки имеется в виду «жидкая» граница пограничного слоя с заданным на ней отличием скорости от скорости идеальной жидкости).

4. Пограничный слой в несжимаемой жидкости

Рассмотрим картину обтекания плоской пластинки с острой передней кромкой в продольном направлении набегающим равномерным потоком вязкой жидкости. Из-за прилипания жидкости к поверхности пластинки над ней формируется течение с поперечным распределением скорости, меняющейся внутри тонкого пристеночного слоя переменной толщины от нуля на стенке до значения, близкого к скорости набегающего потока. Определенность величины зависит от тех условий, которые приняты для степени отличия скорости на границе слоя от скорости в потенциальном течении. Этот слой называют пограничным слоем. Обобщая подобные рассуждения на произвольные обтекаемые тела, для каждого из них тоже, как правило, вводят разделение течения на тонкую прилегающую к поверхности тела область пограничного слоя, где сосредоточено влияние вязкости и область внешнего (потенциального) течения, в которой среда ведет себя как идеальная жидкость. Общепринято считать толщиной пограничного слоя такое расстояние от поверхности обтекаемого тела, где скорость отличается на один процент от скорости внешнего идеального течения. Схематическая картина течения с пограничным слоем над стенкой представлена на рис. 11а. Для наглядности масштаб по оси сильно увеличен. Сразу следует отметить, что внешняя граница пограничного слоя не является линией тока. По мере удаления от носика пластинки в пограничный слой вовлекаются все большие массы жидкости. Ясно, что наиболее интересующим нас в этой задаче является профиль скорости в пограничном слое. Очевидно, что для различных условий течения, он может быть разным. Определение профиля скорости и есть фактически решение задачи о пограничном слое.

В принципе при обтекании какого-то тела течение может сопровождаться отрывом потока от поверхности тела. Профиль скорости отражает это явление, изменением знака производной (рис. 11б). Кроме понятия толщины пограничного слоя которое, вообще говоря, носит иллюстративный характер, удобно рассматривать величины, характеризующие пограничный слой с точки зрения переноса массы, импульса и энергии. Это так называемые толщина вытеснения толщина потери импульса и толщина потери энергии Фактически эти величины определяют изменение расхода, импульса и диссипацию энергии в слое толщиной по сравнению с равномерным потоком. На рис. 12 представлена графическая интерпретация толщины вытеснения:

Обычно в верхнем пределе здесь и ниже вместо пишут так как прирост величины интеграла от такой замены, как показывает более строгая теория пограничного слоя, оказывается ничтожным.

Толщина вытеснения, как можно усмотреть из (4.1), позволяет поставить в соответствие реальному течению гипотетическое идеальное с тем же массовым расходом и параметрами внешнего течения, граница которого (стенка) перемещена внутрь реального течения на расстояние

Вследствие трения поток импульса в пограничном слое уменьшается по сравнению с потоком импульса в потенциальном течении на величину

Рис. 12. Иллюстрация физического смысла толщины вытеснения пограничного слоя

Сумма потока энергии давления и кинетической энергии единицы объема уменьшается на значит, в пограничном слое из-за диссипации

Когда выше шла речь о ползущих движениях, из системы уравнений были полностью исключены конвективные члены. Обратимся теперь к другому предельному случаю вязких течений – к течениям с малой вязкостью и большим числом Рейнольдса. Можно утверждать, что именно этот крайний случай натолкнул ученых (первым из них был Прандтль) на идею пограничного слоя.

Упрощение уравнений Навье–Стокса проведем для плоского течения несжимаемой жидкости. Перепишем уравнения в безразмерной форме. Для этого все компоненты скорости отнесем к скорости набегающего потока : Все длины отнесем к характерному линейному размеру задачи Давление и время соответственно разделим на и на

Имея это в виду, в дальнейшем черту над безразмерными величинами опустим. В результате уравнения Навье–Стокса и уравнение неразрывности примут вид:

Граничные условия:

1) на стенке и

2) вдали от поверхности при

При решении всех задач, в которых используется приближение пограничного слоя, должно обязательно выполняться условие, что толщина пограничного слоя очень мала по сравнению с характерным линейным размером обтекаемого тела

Это главное условие для проведения дальнейших упрощений уравнений Навье–Стокса. Характерный линейный размер выбирается так, чтобы порядок безразмерной величины не превышал единицу. Из уравнения (4.6) следует, что имеет тот же порядок, что и т. е. единицу. Так как на поверхности пластинки то в пограничном слое имеет порядок Такой же порядок в пограничном слое имеют величины и Величина имеет порядок единицы. Примем, что имеет тот же порядок, что и величина (это допущение исключает течение с внезапным сильным ускорением). Безразмерные составляющие скорости, параллельные стенке, изменяются в тонком (порядка ) пограничном слое от нуля на стенке до единицы на границе пограничного слоя. Поэтому и в то время как и Подставив эти оценки под соответствующими величинами в уравнения (4.4) и (4.5), видим, что в уравнении (4.4) величина членов, зависящих от вязкости, имеет в пограничном слое одинаковый порядок с инерционными членами только при условии, что число имеет порядок т. е. Отсюда следует, что для течений, в которых число велико, можно упростить уравнение (4.4), отбросив величину В уравнении (4.5) величина имеет порядок следовательно, разность давлений поперек пограничного слоя будет иметь порядок Понятно, что она весьма мала, поэтому давление во всех точках поперечного сечения пограничного слоя остается практически одно и то же и может меняться лишь при переходе от сечения к сечению. Его можно принять равным давлению на внешнем крае пограничного слоя, т. е. в приближении пограничного слоя Из двух уравнений Навье–Стокса, таким образом, остается только одно. В размерных величинах оно приобретает следующий вид:

Уравнение неразрывности остается без изменений:

Уравнения (4.7) и (4.8) называются уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Граничные условия будут:

1) при и

2) при

Кроме того, в начальном поперечном сечении должен быть задан профиль скорости Задача о пограничном слое, таким образом, свелась к расчету развития заданного начального профиля продольных скоростей при заданном потенциальном внешнем течении. Эта задача гораздо проще, чем задача решения существенно более сложных полных уравнений Навье–Стокса.

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый заключается в непосредственном решении системы уравнений в частных производных, уравнений Прандтля. Такой подход часто связан с большими трудностями даже при использовании вычислительных машин. Результаты расчета оформляются в виде таблиц. Обобщение их (как и любых численных решений) затруднительно.

Второй путь состоит в построении методов приближенного расчета, которые позволили бы быстро определить необходимые параметры. Эти методики основаны на отыскании решений, удовлетворяющих интегрально (для всего поперечного сечения пограничного слоя) некоторым основным уравнениям и наиболее важным граничным условиям: условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. В рассмотрение вводятся так называемые интегральные соотношения. Основными уравнениями здесь служат уравнения количества движения и энергии, проинтегрированные поперек пограничного слоя. При этом еще необходимо задаваться поперечными распределениями продольной скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность полученных результатов. В последнее время распространение получили методики расчета параметров пограничного слоя, в которых для получения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения, а далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения.

В качестве иллюстрации первого способа рассмотрим классическую задачу – установившееся течение вдоль тонкой бесконечной пластинки. Такое течение впервые было исследовано Блазиусом и считается первым примером решения уравнения Прандтля (рис. 12). Так как в рассматриваемом случае скорость потенциального течения постоянна, то и уравнения пограничного слоя (4.7), (4.8) принимают вид

Граничные условия остаются прежними: при и при

Задача не содержит какой-либо характерной длины. Это дает основание предположить, что профили скорости на различных расстояниях от переднего края пластинки аффинно подобны, т. е. могут быть приведены в совпадение друг с другом, если для и подобрать соответствующие масштабы.

В качестве масштаба для естественно взять скорость а для – некоторую величину составляющую определенную фиксированную долю толщины пограничного слоя. Тогда сделанное предположение можно выразить как

Функция должна быть одной и той же для всех расстояний от передней кромки пластинки. На основании точных решений уравнений Навье–Стокса (п. 3) мы имели оценку величины для пластинки, внезапно приведенной в движение Видно, что уравнения (3.7) и (4.9) схожи. Но сейчас решается стационарная задача и время в явном виде не может присутствовать. За время здесь можно взять время, которое необходимо частице жидкости вне пограничного слоя, чтобы продвинуться от передней кромки пластинки до точки с координатой Тогда

Взяв за поперечный линейный масштаб, введем вместо координаты безразмерную координату

Далее, с целью интегрирования уравнения неразрывности вводится функция тока Принимается, что где – безразмерная функция тока. Тем самым для продольной составляющей скорости и ее производных получим

Для поперечной составляющей имеем

Подставляя эти значения в уравнение (4.9), после упрощений приходим, наконец, к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению 3-го порядка для безразмерной функции тока:

В соответствии с порядком уравнения необходимо указать три граничных условия: при и при Условие при следует из выражения для Эта задача относится к классу автомодельных, и описываемый ею пограничный слой называют также автомодельным. Уравнение (4.10) не имеет аналитического решения. Необходимо прибегать к численному интегрированию. Результаты расчетов представляют в виде табличных значений Заметим, что при Таким образом, граница пограничного слоя определяется значением

Следует обратить внимание на то, что на внешнем крае пограничного слоя (при ) поперечная составляющая скорости отнюдь не равна нулю и является положительной. Это происходит потому, что жидкость на своем пути вдоль пластины как бы несколько оттесняется от стенки вследствие нарастания толщины пограничного слоя вниз по течению. Отрыва пограничного слоя при продольном обтекании пластины не возникает, так как по постановке задачи перепад давлений равен нулю.

Распределение скорости позволяет вычислить сопротивление трения. Сила трения с одной стороны начального участка пластинки шириной и длиной очевидно, равна где – местное касательное напряжение на стенке.

В результате решения (4.10) найдено, что и, следовательно,

а для двух сторон пластинки

Выразим, как обычно принято, коэффициент сопротивления трения равный отношению силы трения к половине скоростного напора и площади поверхности пластинки:

Здесь число Рейнольдса записано через длину пластинки. На рис. 13 приведено сопоставление результатов расчета профиля скорости с экспериментальными данными, полученными в диапазоне изменения чисел Рейнольдса от до Наблюдается отличное совпадение практически до В области турбулентных течений, естественно, эта зависимость неприменима.

Рис. 13. Профиль безразмерной скорости в автомодельном пограничном слое на пластине (теория и сравнение с экспериментом)

Использование второго способа расчета пограничного слоя с помощью теоремы импульсов для плоской пластинки, обтекаемой в продольном направлении несжимаемой жидкостью, иллюстрирует рис. 14.

При отсутствии градиента давления составляющая по оси импульса сил, приложенных к контрольному объему равна 0, а по оси – силе сопротивления участка пластины или

Составляющая вдоль оси импульса потока на участке контрольной поверхности равна 0, на участке равна на участке равна на участке равна *)

В таком случае выражается как

С другой стороны, сопротивление трения есть интеграл касательных напряжений вдоль поверхности:

Сравнивая оба выражения, замечаем, что

Рис. 14. К расчету пограничного слоя интегральным методом с помощью теоремы импульсов

Вводя в последнее уравнение толщину потери импульса (4.2), имеем

Уравнение (4.11) пока еще не содержит никаких допущений, позволяющих выполнить приближенный расчет пограничного слоя. Сущность приближенного способа расчета состоит в выборе выражения для распределения скорости в пограничном слое, притом такого, которое бы удовлетворяло внешним граничным условиям и, кроме того, содержало один свободный параметр, каким, например, может служить толщина пограничного слоя. При подборе функции, приближенно описывающей распределение скоростей, можно воспользоваться допущением об аффинности профилей скорости в пограничном слое, которое, как мы убедились, имеет место в пограничном слое на плоской пластинке:

где

Функция зависит только от и не содержит никакого свободного параметра. Именно это свойство функции и выражает предположение об аффинности всех профилей скорости. Функция должна исчезать на стенке ( при ) и должна быть равна единице для больших значений Точные решения показывают, что переход в пограничном слое в потенциальное течение происходит асимптотически. Для приближенного расчета можно произвести смыкание пограничного слоя с потенциальным течением на конечном расстоянии, следовательно, ввести в расчет конечную толщину пограничного слоя Последняя не несет в себе большого физического смысла, а играет роль вспомогательной величины, которая затем определится при расчетах.

Опуская промежуточные выкладки, запишем выражение полного сопротивления трения пластины, смоченной с обеих сторон:

Здесь для сокращения записи обозначено

и

Кроме оговоренных выше граничных условий, должны быть соблюдены требования непрерывности изменения наклона касательной к профилю скорости и непрерывности изменения его кривизны при смыкании с потенциальным течением, т. е. выполнены равенства при

Для плоской пластинки обязательно также условие при которому удовлетворяет точное решение (см. уравнение (4.10)).

В следующей таблице представлены данные приближенных расчетов пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении [2].

Т а б л и ц а 1
Распределение скорости
	3,0	1,155
	2,7	1,292
	2,55	1,372
	2,66	1,310
точное	2,61	1,328

Из таблицы следует, что описанный приближенный способ расчета дает вполне удовлетворительные результаты.