Муниципальное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №30

Исследовательская работа по алгебре

«Тайна

Выполнила:

Ученица 10 класса Б

Подольская Елизавета.

Учитель:

.

Введение.

В наше время технического прогресса ведущую роль среди наук играет ма­тематика. Она служит базой для множества наук. Например, Декарт считал, что: « К области математики относятся только те науки, в которых рассматрива­ется либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, бу­дут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскива­ется эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследова­ние никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностран­ным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей матема­тики». Математика – это наука, имеющая множество разделов, одним из которых являются системы счисления. Поэтому данная исследовательская работа была создана с целью, чтобы узнать какие виды и типы систем счисления существуют. В связи с тем, что системы счисления это неотъемлемая часть математической науки возникает вопрос: как появилась математика, а точнее с чего она началась?

Ни одна из систем счисления не может существовать без собственного алфавита, состоящего из символов (цифры, рисунки, начертание букв). Поэтому прежде чем изучать системы счисления нужно исследовать историю их возникновения. Любая система счисления начинается с числа.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Интуитивное представление о числе, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Первобытные люди сна­чала знали только «один», «два» и «много». Это подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом языке, существуют три грамматиче­ские формы: единственного числа, двойственного числа и множест­венного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изна­чально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово «три» использова­лось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троично­сти – требует высокой степени абстракции. Счет возник раньше появления этого уровня абстракции, об этом свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего. Хотя лежащие за пределами первобытного счета «один», «два», «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый» ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числи­тельными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несо­мненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объек­тов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные число­вые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложен­ных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитывае­мыми элементами множества и символами числовой записи сущест­вует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких число­вых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; не­сколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практиче­ски уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в опреде­ленном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, по­этому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовав­ших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых пле­мен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необхо­димость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в сис­теме записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, годы.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. С развитием умений записывать числа развиваются разные системы счисле­ния.

Если проштудировать современные книги по информатике и устройству вычислительных машин, то можно увидеть, что системы счисления занимают почетное место среди других разделов математических наук, так как работа всех терминалов, машин и аппаратов не возможна без нее. Из этого следует, что основной целью работы является приобретение теоретических и практических знаний и умений для их дальнейшего использования как в научных, так и бытовых целях.

Основная статья.

Как уже ранее упоминалось о том, что жизнь современного человека нельзя представить без систем счисления. В связи с этим нужно дать точное определение данному термину.

Система счисления — это совокупность цифровых знаков и правил их за­писи, применяемая для однозначной записи чисел. Все системы счисления подразделяются на две большие группы позиционные и непозиционные.

Свойства систем счисления:

1.  даёт представления множестве чисел (целых или вещественных)

2.  даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление)

3.  отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее положения в ряду цифр, изображающих число.

У многих народов широкое распространение получили так называемые ал­фавитные системы нумерации, когда буквам алфавита присваивались некото­рые числовые значения. Так поступали древние греки, евреи, славяне и другие народы. С алфавитной нумерацией связано возникновение так называе­мого «звериного» числа 666. Если записать на древнееврейском языке два слова «император Нерон», а затем подсчитать сумму числовых значе­ний входящих в него букв, то она окажется равной 666. Таким образом, число 666 является скрытым обозначением имени Нерона, гонителя христиан­ства, человека-зверя, который с крайней жестокостью расправлялся со своими политическими противниками и с ведома которого были убиты его мать, обе жены, философ Сенека и многие другие.

Примером непозиционной (алфавитной) системы счисления является рим­ская. В данной системе счисления для обозначения отдельных чисел исполь­зуются буквы римского алфавита. Цифры в римской системе обознача­ются различными знаками:

1 — I; 3 — III; 5 — V; 10 — X; 50 — L; 100 — С; 500 — D; 1000 — М. Запись числа осуществляется по правилу: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а слева — вычитается из него: так, ХС — 90; СХ — 110; MCMLXXXVIII — 1988. Выполнять арифметиче­ские действия в непозиционных системах неудобно. Поэтому в настоящее время эти системы не используются для расчетов.

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение цифры зависит от ее положения в ряду цифр, изображающих число, т. е. веса. В десятичной системе счисления вес каждой последующей цифры в 10 раз больше веса предыдущей. Например, цифра 2 в числе 1235 имеет значение 200, так как она расположена в третьей справа позиции числа. [Приложение 1]

Системы счисления в Древнем мире.

В начале была затронута тема о появлении чисел и систем счисле­ния. Но, как нам известно «сколько людей столько и мнений», поэтому системы счисле­ния разных стран отличаются друг от друга, но предназначением они схожи, т. е. они нужны для счета. Рассмотрим каждую страну (цивилизацию) отдельно.

·  Древний Египет.

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой дина­стии (ок. 2850 до н. э.), была существенно облегчена тем, что иероглифиче­ские надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на камен­ных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне ис­пользовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записан­ные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям под­кову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных симво­лов, т. е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминаю­щим силки; десять силков, т. е. число 1000, египтяне обозначили стилизован­ным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой ли­нией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Введение египтя­нами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в разви­тии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить за­писи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитив­ном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т. е. дроби с числите­лем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, напри­мер, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии. [Приложение 2-3]

·  Вавилон.

Особый интерес представляет так называемая «вавилонская», или шестидесятеричная, система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне (так же далеко от наших дней, за две тысячи лет до н. э.)

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшие, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку. Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного использования знаков позволял, например, записать число 59 в виде, т. е. 5Ч10 + 9.

Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т. е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда – с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/602 и т. д. Привычное для нас деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна. [Приложение 2-3]

·  Майя.

В 6 в. н. э. подобная система возникла у племени майя. Наиболее распространено мнение, что основанием системы счисления майя является число 20, имеющее «пальцевое» происхождение. Однако известно, что в системе майя есть одно отступление от двадцатеричного основания. Вес следующего за «узловым» числом 20 индейцы майя выбрали равным 360 (а не 400, как того требовал «позиционный принцип»). Все последующие веса разрядов являются производными от чисел 20 и 360, которые и выступают в роли «узловых» чисел, образующих систему майя. Это объясняется тем, что год майя делили на 18 месяцев, по 20 дней в каждом, плюс еще пять дней. Таким образом, как и основание вавилонской системы, узловые числа системы майя имеют астрономическое происхождение.[Приложение 2-3]

·  Рим.

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом.

Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н. э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим отчасти объясняется сходство основных принципов римской и аттической систем счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Q (или Е, или Д) и f (или, или). Хотя о первоначальном значении этих символов было написано много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. Согласно одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем; символ X, согласно той же теории, изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Символы чисел 100 и 1000, возможно, берут начало от греческих букв Q и f. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения C и M от старых римских символов или они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Полагают, что римский символ числа 500, буква D, возник из половинки старого символа, обозначавшего 1000. Если не считать, что большинство римских символов скорее всего не были акрофоническими и что промежуточные символы для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями символов чисел 5 и 10 или 5 и 100, то в остальном римская система счисления напоминала аттическую. Разумеется, в деталях они отличались.

Римляне часто использовали принцип вычитания, поэтому иногда вместо VIIII использовали IX и XC вместо LXXXX; сравнительно позднее символ IV вместо IIII.

В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах. Дробей римляне избегали так же упорно, как и больших чисел. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем, чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах. Английские слова «ounce» (унция) и «inch» (дюйм) происходят от латинского слова uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую основной единицы длины. [Приложение 2-3]

·  Древняя Греция.

В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая (или геродианова) и ионическая (она же александрийская или алфавитная). Аттическая система счисления использовалась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н. э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ D, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), символ M – 10000 (мириои или мириада). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом , 500 – символом , 5000 – символом , 50000 – символом. Вторая, принятая в Древней Греции, ионическая система счисления – алфавитная – получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова используя первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. [Приложение 2-3]

·  Индия.

Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в , ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления. Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари.

Напомним, что позиционная система счисления с нулем возникла не в Индии, поскольку за много веков до этого она использовалась в Древнем Вавилоне в связи с шестидесятеричной системой. Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятеричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятеричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. В итоге произошел сдвиг, приведший к современной системе счисления. Не исключена также возможность, что такой переход произошел в Греции, скорее всего в Александрии, и оттуда распространился в Индию. В пользу последнего предположения свидетельствует сходство кружка, обозначающего нуль, с начертанием греческой буквы омикрон. Однако происхождение индийского символа для нуля окутано тайной, так как первое достоверное свидетельство о его появлении в Индии датируется лишь концом 9 в. Как ни странно, ни греки, ни индийцы не включили в свои системы счисления десятичные дроби, но именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем. [Приложение 2-3]

·  Китай.

Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т. д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, ј, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90. Для обозначения чисел больше 99 использовался позиционный принцип. [Приложение 2-3]

·  Русская словесная система счисления.

В определённых пределах, является непозиционной системой счисления. Например, десятичное число 12310, записанное в русской словесной системе счисления - "сто двадцать три", позволяет произвольно менять разряды числа местами, т. е., если в этом числе поменять разряды местами в любом порядке, то число не изменится: "сто+двадцать+три=123", "двадцать+три+сто=123", ..., "три+сто+двадцать=123". Это свойство используется в документах, в которых требуется указывать "число прописью". В такой системе в сумматор можно "засыпать" слагаемые с разрядами, записанными в любом порядке, сумма от этого не изменится.

Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления используют цифры, значения которых зависят от их положения в числе. В данной исследовательской работе описаны основные позиционные системы счисления. Название системы счисления происходит от количества символов составляющих основание системы, например восьмеричная система счисления, основание которой равно восьми. Итак, рассмотрим системы счисления, которые используются чаще всего.

Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с целочисленным основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. [Приложение 4]

В связи с развитием компьютерной техники на первые роли в современной науке выдвинулась двоичная система счисления. Зачатки двоичной системы наблюдаются у многих народов. Как упоминалось, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе «удвоении». Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры.

Кто же изобрел правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления? Оказывается, что автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен; им является известный немецкий математик Готфрид Лейбниц (), который в 1697 г. разработал двоичную арифметику. Лейбниц настолько был восхищен этим своим открытием, что в его честь он выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел – и, возможно, это был тот редкий случай в истории науки, когда именно математическое открытие было удостоено такой высокой почести.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную нумерацию для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что «вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок».

Таким образом, как подчеркивают многие выдающиеся математики, открытие вавилонянами позиционного принципа, а затем индусами десятичной системы счисления, основанной на позиционном принципе, а также разработка Лейбницем двоичной арифметики по праву можно отнести к разряду действительно эпохальных математических открытий за всю историю ее существования, существенно повлиявших на развитие материальной культуры, в частности, на развитие компьютерной техники.

Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи.

Десятичная

система

Двоичная система

0

0

1

1

2

10

3

11

4

100

5

101

6

110

7

111

8

1000

9

1001

Алгоритм перевода числа двоичной системы в десятичную систему:

1.  Запишем число в двоичной системе: ;

2.  Проставим цифры от 0 до 5(кол-во цифр зависит от кол-ва знаков в числе) справа налево;

3.  Выполним вычисления. Каждую цифру умножим на 2 в степени n, затем сложим:

4.  Запишем полученное число 4910.

Алгоритм перевода десятичного числа в двоичную систему:

1.  Запишем число 456810;

2.  Разделим число 4568 на основание двоичной системы счисления q=2,записывая остаток в скобках:

4568:2=2284(0)

2284:2=1142(0)

1142:2=571(0)

571:2=285(1)

285:2=142(1)

142:2=71(0)

71:2=35(1)

35:2=17(1)

17:2=8(1)

8:2=4(0)

4:2=2(0)

2:2=1(0)

1:2=0(1)

Собираем остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу:

456810=

Так же данную операцию можно выполнить на компьютере при помощи приложения «Калькулятор», выбрав определенные функции.

Простейшие математические вычисления:

·  Сложение двоичных чисел.

Способ сложения «столбиком» как для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра = СУММА - 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА /10), добавляется в старшему разряду. Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то записывается 1 и 1 добавляется к старшему разряду (говорят "на ум пошло").

Выполним пример: 10011 + 10001. 

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

 Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Второй разряд: 1+0+1(запомненная единица) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Третий разряд: 0+0+1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.

Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1. 

Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения. 

10011 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 =32+4=36

17 + 19 = 36 верное равенство

·  Вычитание двоичных чисел.

Вычитать числа, будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем. Решим следующий пример:

1

1

0

1

-

1

1

0

1

1

1

Первый разряд. 1 - 0 =1. Записываем 1.

Второй разряд 0 -1. Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы (потому что старший разряд представляется двойкой большей степени ) 2-1 =1. Записываем 1.

Третий разряд. Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1.

Проверим результат в десятичной системе: 

1== 7 (111) Верное равенство. 

Восьмеричная система счисления- это позиционная система счисления с целочисленным основанием 8. В этой системе числа записываются цифрами от 0 до 7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако, в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной. Так же как и в двоичной системе счисления, любое число можно представить в восьмеричной системе счисления. Например, возьмём число 56810 и переведем его в восьмеричную систему счисления.

Алгоритм перевода из десятичной системы счисления в восьмеричную:

1.  Запишем число в данной системе счисления (в нашем случае в десятичной): 56810;

2.  Разделим десятичное число на основание системы счисления q=8, записывая остаток в скобках:

568:8=71(0)

71:8=8(7)

8:8=1(0)

1:8=0(1)

3.  Собираем остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу: 56810 =10718 .

Алгоритм перевода из восьмеричной в десятичную:

1.  Запишем число в восьмеричной системе: 318;

2.  Проставим цифры от 0 до 1(кол-во цифр зависит от кол-ва знаков в числе) справа налево;

3.  Выполним вычисления. Каждую цифру умножим на 8 в степени n, затем сложим:

31_{8}

4.  Запишем полученное число: 2510.

Десятичная система счисления - позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем счисления в мире.

Мы используем для повседневных вычислений десятичную систему счисления. Хорошо известно, что предшественницей десятичной системы счисления является Индусская десятичная система, возникшая примерно в 8-м столетии нашей эры. В Европу десятичная нумерация проникла из Исламского Востока. Наиболее ранние рукописи на арабском языке, содержащие индийскую позиционную запись чисел, относятся к 9-му столетию нашей эры. Одним из первых в Европе понял преимущества новой нумерации французский церковнослужитель и математик Герберт, который в 999 году стал римским папою под именем Новоиспеченный папа попытался провести реформу в преподавании математики и ввести новую систему нумерации. Однако нововведение встретило яростный гнев со стороны инквизиции. Папу обвинили в том, что он «продал душу сарацинским дьяволам». Реформу постарались провалить, и папа-математик вскоре умер. Но и после смерти его не оставили в покое. Несколько столетий ходили слухи, что из мраморного саркофага папы непрерывно сочится серный дым и слышится шорох чертей.

Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, десятичная система начинает закрепляться в Европе только, начиная с 12-го века. Новая нумерация в Европе встретила ожесточенное сопротивление как со стороны официальной схоластической науки того времени, та и со стороны отдельных правительств. Так, например, в 1299 г. во Флоренции купцам было запрещено пользоваться новыми цифрами, в бухгалтерии приказано было либо пользоваться римскими цифрами, либо писать числа словами.

Убежденным сторонником использования арабско-индийской системы счисления в торговой практике был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи), получивший математическое образование в арабских странах. В своем сочинении «Liber abaci» (1202) он писал:

«Девять индусских знаков – суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «zephirum», можно написать какое угодно число».

Здесь словом «zephirum» Фибоначчи передал арабское слово «as-sifr», являющееся дословным переводом индусского слова «sunya», то есть пустое, служившее названием нуля. Слово «zephirum» дало начало французскому и итальянскому слову «zero» (нуль). С другой стороны, то же арабское слово «as-sifr» было передано через «ziffer», откуда произошли французское слово «chiffre», немецкое «ziffer», английское «cipher» и русское «цифра».

В начале 17-го века новая нумерация проникает в Россию, но православная церковь встречает ее в штыки и объявляет новую нумерацию колдовской и безбожной. Закрепилась десятичная нумерация в России только после издания в 1703 году знаменитой «Арифметики» Магницкого, в которой все вычисления в тексте производились исключительно с использованием десятичной системы счисления.

Для записи чисел наиболее часто используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые индо-арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека. Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в древнем Египте. В другой великой цивилизации - вавилонской - за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр.

Позиционная десятичная система счисления используется евреями с XIV в. до н. э. по сей день. Свидетельствами этой системы в Пятикнижии являются Десять речений, которыми Бог сотворил мир, десять казней египетских и Десять Заповедей.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла, сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название — «арабская». Правила перевода(см. выше)

Шестнадцатеричная система счисления - (шестнадцатеричные числа)  позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) (табл.1).

А

10

B

11

C

12

D

13

E

14

F

15

Таблица 1.

Алгоритм перевода из шестнадцатеричной в десятичную:

1.  Запишем число в шестнадцатеричной системе: 52 BF16;

2.  Проставим цифры от 0 до 3(кол-во цифр зависит от кол-ва знаков в числе) справа налево;

3.  Выполним вычисления. Каждую цифру умножим на 8 в степени n, затем сложим:

5*16³+2*16²+B*16¹+F*16°=5*16³+2*16²+11*16¹+15*16º=20480+512+176+15=2118310.

Алгоритм перевода из десятеричной системы:

1.  Запишем число в данной системе счисления(в нашем случае в десятичной): 823810;

2.  Разделим десятичное число на основание системы счисления q=16, записывая остаток в скобках:

8238:16=514(14)

514:16=32(2)

32:16=2(0)

2:16=0(2)

3.  Собираем остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу: 823810 =202E16.

Смешанные системы счисления.

Помимо двоичной, шестнадцатеричной и д. р. систем счисления существуют и другие системы счисления, например, факториальная система счисления и система счисления Фибоначчи. Эти системы счисления используются в математике, т. к между числами данных систем легко производить простейшие математические действия.

·  Итак, рассмотрим факториальную систему счисления. Факториал числа n -(обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно.

Факториальная система счисления удобна для решения уравнений.

·  Система счисления Фибоначчи основана на последовательность Фибоначчи, которую так же называют золотым сечением(1,1,2,3,5,8,13,21,34…). Если изобразить тело человека опираясь на последовательность Фибоначчи(соблюдая пропорции), то у нас получиться изображение человека с правильными пропорциями лица и тела. Но последовательность Фибоначчи отличается от его системы счисления, которая основана только на двух цифрах 0 и 1. Причем в этой системе две единицы не должны стоять рядом (см. таблицу). Но вот в чем загадка, записав последовательность из чисел и отразив их зеркально и приписав единицу, мы получим код. Последовательность Фибоначчи заключается в том, чтобы последующее число было равно сумме двух предыдущих.(табл.2)

Число

Запись

в ФСС

Код

Фибоначчи

0

0……0

F2=1

1

11

F3=2

10

011

F4=3

100

0011

4

101

1011

F5=5

1000

00011

6

1001

10011

7

1010

01011

F6=8

10000

000011

…

Fn-1

101010…

…0101011

Fn

10……00

00……011

Fn+1

10……01

10……011

Таблица 2.

Шифры и коды

Хранить свои секреты это так обременительно,
 - как старый чемодан без ручки.
 А чужие – так опасно, жгут руки и сердце.

Криптография (криптос – тайна, графио – пишу, в итоге – тайнопись) – наука о математических методах преобразования данных, обеспечивающих скрытие от посторонних содержания передаваемой информации.

Эпиграф к этой статье можно считать лозунгом криптографического бума, возникшего  в 80-х -  90-х  годах прошлого века. Из тайны за семью печатями, из инструмента защиты государственных, дипломатических или военных тайн, криптография вдруг превратилась в науку, доступную каждому, в наибо­лее обсуждаемую тему. 
 Более того, вместе с медициной, политикой и экономикой, криптография стала областью знаний, в которой все и все знают и все понимают. Наряду с высказываниями типа «Панадол даже лучше Упса или Байера, практически от всего лечит» теперь в метро или трамвае можно услышать: «Да, DES безна­дежно устарел, лучше пользоваться «голубой рыбой» (Blowfish)».

 Со времен Христа и до последних десятилетий прошлого века криптографи­ческие теории, методы и алгоритмы относились к наиболее охраняе­мым тайнам. Несмотря на предложенный еще в XIX веке принцип Керг­хоффа (криптосистема должна оставаться стойкой к взлому, даже если противнику полностью известен ее криптографический алгоритм), крипто­графы и пользователи криптосистем (госорганы, дипломаты, военные) воз­двигли еще один бастион защиты – секретность алгоритмов, теории и прак­тики криптографии.

Даже после опубликования фундаментальной работы Клода Шенона, рассек­реченной американцами в 1949 году, ситуация практически не измени­лась (в РФ перевод работы был издан малым тиражом только в 1963 году).

Началом эры общедоступной криптографии можно считать дату опубликова­ния (1976 г) статьи Уитфилда Диффи (W. Diffiе) и Мартина Хэл­мана (M. Hellman) «Новые направления в криптографии».  Впервые в откры­той печати появилась работа, описывающая новый класс криптосистем – сис­тем с открытым ключом. Уместным будет заметить, что широко употребляю­щийся у нас термин «открытый ключ» является неудачной калькой с англий­ского языка. Гораздо правильнее использовать термин «общедоступный ключ».

Указанная работа вызвала большой интерес, и как из рога изобилия посыпа­лись статьи о новых вариантах систем с общедоступным (открытым) ключом и способах их использования. Завеса тайны была прорвана – нача­лось открытое и широкое обсуждение достоинств и недостатков известных криптографических алгоритмов и стандартов, поиск и обсуждение слабостей имеющихся на рынке программ криптозащиты.

Открытость криптографических теорий и алгоритмов имеет огромное достоин­ство – в их обсуждении могут принять участие десятки и сотни тысяч специалистов. Обнаруженные ошибки обсуждаются, осуждаются и устраня­ются.

Рождаются новые, эффективные системы, доступные для широкого круга пользователей.

Любую систему счисления можно рассмотреть, как шифр с ключом. Напри­мер, когда мы переводим числа из одной системы в другую, то это не что иное как шифровка/дешифровка, а осуществляется она при помощи ключа(основания системы счисления).Итак, возьмем число 459810 и преобра­зуем его в шестнадцатеричную систему счисления по известному нам алго­ритму и получим число 11F616. Перевод этого числа – шифрование, а ключ к этому шифру основание системы q=10. Это простейший пример использова­ния в криптографии систем счисления. Конечно, это не используется в том виде, в котором я показала, но похожие способы используются только в бо­лее усложненных формах.

Заключение.

Математика может открыть

определенную последовательность даже в хаосе.

(Гертруда Стайн)

Известно, что первые люди создавали системы счисления ( которые используются нами в повседневной жизни) не обращая внимания на то, что они очень разные, но имеют общую важную функцию – осуществление счёта.

Системы счисления окружают человека постоянно. Люди живут в мире систем счисления. Например, циферблат часов, компьютерная техника, счёт дюжинами, криптография и т. д.

Изучив системы счисления, я узнала, что существуют два вида систем счисления позиционные и непозиционные. Причем каждый вид имеет подвиды (типы). Так же я заметила, что основанием любой системы счисления (основание четное) является число два, но имеющее разную степень n. Но к их числу мы не можем причислить десятичную систему счисления, так как нельзя возвести число два в степень n, чтобы в результате получилось число десять.

Научившись производить преобразование чисел одной системы в другую, я получила практический опыт, которым можно воспользоваться на уроках алгебры и информатики.

Мне было интересно изучать историю возникновения систем счисления, а так же выполнение разных математических операций (сложение, вычитание, и перевод чисел в разные системы).

Вывод: более подробное исследование и изучение этих систем выведет человека на новый уровень развития науки и техники.

Приложение 1.

Приложение 2.

число

значение

описание

Z1

1

черта

V20

10

пятка

V1

100

петля веревки

M12

1 000

кувшинка (или лотос)

D50

10 000

палец

I7

или

I8

жаба или личинка

C11

1

человек с поднятыми вверх руками

Приложение 3.

ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

Приложение 4.

Это интересно!

·  Клод Шеннон родился 11110.100. в городе Петоцки, штат Мичиган, США. Первые шестнадцать лет своей жизни Клод провел в Гэй­лорде, Мичиган, где он посещал общественную школу, а затем выпустился из высшей школы Гэйлорда вг.

В Шеннон был зачислен в Мичиганский университет, где вы­брал курс, посещая который начинающий ученый познакомился с работами Джорджа Буля. В г. Клод оканчивает Мичиганский университет, по­лучив степень бакалавра по двум специальностям математика и электротех­ника и устраивается в Массачусетский технологический институт, где он работал ассистентом-исследователем на дифференциальном анализа­торе Ванневара Буша — аналоговом компьютере.

·  «Странное письмо»

В бумагах чудака-математика была найдена его автобиография. Начиналась она следующими удивительными словами: «Я окончил курс университета 44 лет отроду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня уже была маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей.»

·  Немного обо мне:

Меня зовут Лиза. Мне 21 год. Я родилась 12,04,3710 года. В школе я учусь 23года. Сейчас я в 12 Б классе, а в 3733 году я поступлю в институт.

Список литературы:

·  Н. Угринович «Информатика и информационные технологии»

·  А. Савин, И. Башмакова «Энциклопедия для детей (математика)»

·  «Большая Советская Энциклопедия»

1. Универсальный современный справочник школьника: 5-11 классы. – Москва: -ПРЕСС», «РИПОЛ КЛАССИК», 2005. – 1296с.

2. Учебный справочник школьника. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000. – 1664 с.

3. Энциклопедия «Кирилл и Мефодий». – и Мефодий», 2006.

1.Энциклопедический словарь юного математика. Составитель , М. Педагогика 1989г.

2.. Справочник по элементарной математике. М. Наука 1972г.

3., , . За страницами учебника математики. М. Просвещение. АО Учебная литература 1996г.

4., Математическая шкатулка.

Библиография

1.  , , . Информатика. Классы 7-9. –М.: Дрофа, 1998.

2.  Словарь школьной информатики / Сост. // Математический энциклопедический словарь. – М.: Сов. энцикл.,1998.

3.  Информатика: Базовый курс. 7-9кл. / , , . – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999.