Проверка статистических гипотез (стр. 2 )

2.3. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с

гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Нулевая гипотеза: дисперсия генеральной совокупности равна гипотетическому (предполагаемому) значению, т. е. с доверительной вероятностью . Конкурирующая гипотеза : . Для проверки нулевой гипотезы надо вычислить наблюдаемое значение , где n – объем выборки, – исправленная дисперсия. Наблюдаемое значение сравнивается с табличным (Приложение 2) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , если , то нулевую гипотезу можно считать подтвержденной.

2.4. Сравнение двух средних значений

А. Большие независимые выборки

Обозначим через n и m объемы больших (n; m > 30) независимых выборок, по которым найдены выборочные средние и . Генеральные дисперсии и известны. Нулевая гипотеза: математические ожидания двух независимых нормально распределенных выборочных совокупностей равны между собой при данном уровне значимости . Конкурирующая гипотеза . Необходимо найти наблюдаемое значение критерия . Наблюдаемое значение, вычисленное для совокупностей сравнивается с табличным значением критерия , которое находится по таблице функции Лапласа (приложение 1) по формуле . Если (а) б) ), то нулевую гипотезу можно принять.

Б. Малые независимые выборки

Нулевая гипотеза: математические ожидания , двух независимых нормально распределенных выборочных совокупностей с примерно одинаковыми дисперсиями () равны между собой с доверительной вероятностью . Конкурирующая гипотеза: математические ожидания существенно отличаются. Для проверки нулевой гипотезы вычисляем наблюдаемое значение:

, (8)

где n – объем выборки; S – исправленное среднеквадратичное отклонение.

Если дисперсии и объемы выборок и не равны, необходимо проверить существенность различий дисперсий и по критерию Фишера (7). При равенстве дисперсий, определяем наблюдаемое значение

, (9)

где n – объем выборки ; m – объем выборки ; – исправленное среднеквадратичное отклонение выборки ; – исправленное среднеквадратичное отклонение выборки .

Наблюдаемое значение, вычисленное для совокупностей с равными дисперсиями, сравнивается с табличным (Приложение 3) значением критерия Стьюдента (Т-критерий), определенным для уровня значимости и числа степеней свободы . Для выборок с разными объемами число степеней свободы . Если условие

(10)

выполняется, нулевую гипотезу о равенстве средних с достоверностью можно считать подтвержденной.

Пример 1. Студенты двух вузов сдавали экзамены по физике. В вузе А экзаменовалось 30 студентов, средняя оценка 52, во втором вузе В – 36 студентов, средняя оценка 47 (по спец. системе оценок). Стандартное отклонение () оценок на экзаменах, вычисленное для нескольких тысяч студентов, равно 12. Можно ли утверждать, что вуз А дает подготовку по физике лучше, чем вуз В?

Решение. Обозначим , , , , , .

: подготовка одинаковая

: вуз А готовит лучше.

,

– отвергается. Подготовка студентов по физике вуза А лучше, чем вуза В.

Пример 2. Для определения средней дальности полета артиллерийского снаряда по схеме случайной бесповторной выборки из очень большой серии снарядов отобрано 100 снарядов. Результаты измерений представлены в табл. 4.

Таблица 4

Дальность полета (км)	28,1-28,2	28,2-28,3	28,3-28,4	28,4-28,5	28,5-28,6	28,6-28,7	Итого
Число снарядов	10	18	22	24	20	6	100

Используя – критерий Пирсона на уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина X – дальность полета снаряда распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую. Множество значений случайной величины уже разбито на 6 частей. Найдем и методом произведений

Таблица 5

Дальность полета
28,1–28,2	28,15	10	-3	-30	90
28,2–28,3	28,25	18	-2	-36	72
28,3–28,4	28,35	22	-1	-22	22
28,4–28,5	28,45	24	0	0	0
28,5–28,6	28,55	20	1	20	20
28,6–28,7	28,65	6	2	12	24
Итого:	–	100	–	-56	228

Для расчета вероятности попадания случайной величины X в используем формулу

.

Для определения статистики , где

составим таблицу:

Таблица 6

№	Интервал	Эмпирические частоты	Вероятности	Теоретические частоты
1	28,1-28,2	10	0,0644	6,44	12,67	1,968
2	28,2-28,3	18	0,1692	16,92	1,17	0,069
3	28,3-28,4	22	0,2645	26,45	19,80	0,749
4	28,4-28,5	24	0,2604	26,04	4,16	0,159
5	28,5-28,6	20	0,1529	15,29	22,18	1,451
6	28,6-28,7	6	0,0566	5,66	0,116	0,020
		100	0,968	96,8	-	4,416

Итак, фактически наблюдаемое значение статистики . Так как число интервалов , а нормальный закон распределения определяется параметрами, то число степеней свободы

Соответствующее критическое значение статистики по таблице .

Так как , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения с параметрами и согласуется с опытными данными.

Изобразим гистограмму эмпирического распределения ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников с основаниями, равными величинам интервалов и высотами, равными частотам этих интервалов (рис. 10).

Для построения нормальной кривой для середины каждого интервала по оси ординат откладываем соответствующие теоретические частоты .

Рис. 10.

Мы видим (см. рис. 10), что нормальная кривая теоретического распределения достаточно хорошо «выравнивает» гистограмму эмпирического распределения.

3. Испытание гипотезы по двум выборочным долям

Если две большие выборки взяты независимо из двух биномиальных генеральных совокупностей, то статистика нормально распределена со средней и стандартной ошибкой:

,

где – выборочная статистика; – параметр генеральной совокупности; обе выборки большие, т. е. и больше или равны 30.

Нас обычно интересует, взяты ли или нет две выборки из биномиальных генеральных совокупностей с одинаковой долей случаев, т. е. . Проверочная статистика приблизительно нормально распределена при больших размерах выборки: