Проверка статистических гипотез (стр. 4 )

Оценка значимости уравнения регрессии обычно дается в виде таблицы дисперсионного анализа (см. табл. 11).

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .

Таблица 11

Дисперсионный анализ результатов регрессии

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F-отношение
факти- ческое	таблич- ное при
Общая Регрессия Остаток	6 1 5	15000 14735 265	– 14735 53	– 278 1	– 6,61 –

Стандартная ошибка для коэффициента регрессии определяется по формуле:

.

В числителе подкоренного выражения используется остаточная дисперсия на одну степень свободы, обозначаемая часто в литературе S.

Для нашего примера значение стандартной ошибки коэффициента регрессии составило:

,

где (по таблице дисперсионного анализа).

Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при двух степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его значение сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . В рассматриваемом примере фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии составило: .

Этот же результат получим, извлекая квадратный корень из найденного ранее F-критерия, т. е. .

Справедливость равенства можно показать, раскрыв содержание величины t, выразив через его составляющие:

.

При (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы 5 табличное значение . Если фактическое значение t-критерия превышает табличное, то следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить, что имеет место в нашем примере.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определим как . В нашем примере 98 %-е границы для коэффициента регрессии b составят: , т. е. .

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов (например, ), по которым истинное значение одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

.

В остальном процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии: ; сравнение с табличным значением.

Надежность линейного коэффициента корреляции проверяется по значению ошибки коэффициента корреляции с использованием формулы:

.

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется аналогично предыдущим показателям, т. е.

.

Данная формула наглядно показывает, что в парной линейной регрессии , ибо, как уже указывалось, .

Кроме того, . Следовательно, . Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

В рассматриваемом примере не совпало с в результате ошибок округлений. Значение заметно превышает табличное значение 2,57 при . Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость достоверная.

Однако рассмотренная формула оценки коэффициента корреляции рекомендуется к применению при большом числе наблюдений и если r не близко k+1 или -1. Если же значение коэффициента корреляции близко k+1, то распределение его оценок отличается от нормального или распределения Стьюдента, так как значение коэффициента корреляции ограничено: от -1 до +1. Чтобы обойти это затруднение, Р. Фишером было предложено ввести для оценки существенности r вспомогательную величину z, связанную с коэффициентом корреляции следующим отношением:

.

При изменении r от -1 до +1 величина z меняется от -∞ до +∞, что соответствует нормальному распределению. Математический анализ доказывает, что распределение величины z мало отличается от нормального даже при ближних к 1 значениях коэффициента корреляции. Стандартная ошибка величины z определяется по формуле:

,

где n – число наблюдений.

При , а : . Значение z можно не рассчитывать, а воспользоваться готовыми таблицами z-преобразования, в которых приведены значения z для различных r.

Далее выдвигаем нулевую гипотезу, что корреляция отсутствует, т. е. теоретическое значение коэффициента корреляции равно нулю. Коэффициент корреляции значимо отличен от нуля, если , т. е. если фактическое значение превышает его табличное значение при условиях значимости или .

В рассмотренном примере: при .

Ввиду того, что r и z связаны между собой приведенным выше соотношением, можно вычислить критические значения r, соответствующие каждому из значений z. Таблицы критических значений z разработаны для уровня значимости 0,05 и 0,01 и соответствующего числа степеней свободы (см. Приложение). Критические значения r предполагают справедливость нулевой гипотезы, т. е. r отлично от нуля. Если фактическое значение коэффициента корреляции по абсолютной величине превышает табличное, то данное значение r считается существенным. Если же r оказывается меньше табличного, то фактическое значение r несущественно. В рассматриваемом примере при числе степеней свободы критическое значение r при составляет 0,754, а при оно равно 0,874, что ниже фактического значения . Следовательно, полученное значение r существенно отлично от нуля.

Задачи:

1. По двум независимым выборкам, объем которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости , проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе .

2. По двум независимым выборкам, объем которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии и . При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу: о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе .

3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу , приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

4. По двум независимым выборкам, объем которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: и . Генеральные дисперсии известны: , . Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

5. При выборке объема найден средний вес г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объема найден средний вес г изделий, изготовленных на втором станке. Генеральные дисперсии известны: , . Требуется, при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . Предлагается, что случайные величины X и Y распределены нормально и выборки независимы.

6. По двум независимым малым выборкам, объемы которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние: , и исправленные дисперсии: и . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу: при конкурирующей гипотезе .

7. По двум независимым малым выборкам, объем которых и , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние , и исправленные дисперсии: и . При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

8. При выборочном опросе 150 телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:

Возраст (лет)	Менее 20	20–30	30–40	40–50	50–60	60–70	Более 70	Итого
Кол-во пользователей (чел)	8	18	31	40	32	15	7	150

По данным задачи, используя критерий – Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина X – продолжительность командировок – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

9. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Xс эмпирическим распределением выборки объема ;

	5	7	9	11	13	15	17	19	21
	15	26	25	30	26	21	24	20	13

10. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратичным отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезе .

11. Установлено, что средний вес таблетки лекарства сильного действия должен быть равен мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки этой партии мг. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе . многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, поставляемых фармацевтическим заводом, было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением мг.

12. По выборке объема , извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя и «исправленное» среднее квадратическое отклонение . Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

13. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами , которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X:

а)

	5	10	20	8	7
	6	14	18	7	5

б)

	6	8	13	15	20	16	10	7	5
	5	9	14	16	18	16	9	6	7

Ответы

1. , – принимается.

2. , – принимается.

3. , – принимается.

4. , – отвергается.

5. , – отвергается.

6. а) , , – принимается;

б) , , – отвергается.