Соответствие УМК «Алгебра и начала математического анализа» (углубленный уровень) , Прокофьева государственному образовательному стандарту (2012г)

Соответствие УМК «Алгебра и начала математического анализа» (углубленный уровень)

, Федеральному государственному образовательному стандарту (2012г)

Предметные результаты обучения по УМК

ФГОС	Фундаментальное ядро	кодификатор ЕГЭ	классы
КТ (умений) ЕГЭ	КЭС ЕГЭ	10 класс	11 класс
сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;	Решение текстовых задач алгебраическим методом. Интерпретация результата, отбор решений. Решение задач на экстремум.	Решать прикладные задачи, в том числе социально - экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.	Применение математических методов для решения содержа-тельных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.		гл.15 -§5, гл.16 - §2 гл.19 -§4, гл.20 -§2, гл.21 -§4
Примеры использования произ-водной для нахождения наилуч-шего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах.		гл.14 - §4
Использование свойств функций при решении текстовых, физических и гео­метриче­ских задач.	Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков	Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Использование свойств и графиков функций при решении неравенств.		гл.18 - §§1,2
сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять;	Действительные числа. Бесконечные десятичные дроби. Рациональные и иррациональные числа. Периодические и неперио-дические десятичные дроби. Модуль числа.		Целые числа Дроби, проценты, рациональные числа Модуль (абсолютная величина) числа Преобразований выражений, включающих арифметические операции	гл.2 - §2
Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.			глава 6
Основная теорема алгебры (без доказательства).			гл.7 - §3
Числовые последовательности.			гл.2 - §5 гл.9 - §2
Координаты. Изображение чисел точками координат-ной прямой. Декартова система координат на плоскости. Графическая интерпретация уравнений, неравенств с двумя неизвестными и их систем.	Моделировать реальные ситуации на языке алгебры; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.	Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.	гл.2 - §1	гл.18 - §§1,2
сформированность пред-ставлений о необходимости доказательств при обосно-вании математических утверждений; владение алгоритмами решения задач; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;	Понятие о методе математической индукции.	Проводить доказательные рассуждения при реше-нии задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распозна-вать логически некор-ректные рассуждения.		глава 1
владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;	Преобразование выражений, содержащих степенную и показательную функции.	Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма. Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования. Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции.	Степень с натуральным показателем Степень с целым показателем Степень с рациональным показателем и ее свойства Свойства степени с действительным показателем	гл.2 - §§2,3
	Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень	гл.2 - §3
	Корень степени n > 1 и его свойства Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени	гл.2 - §3
	Преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции. Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы двойного угла.	Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла Синус, косинус, тангенс и котангенс числа Радианная мера угла Основные тригонометрические тождества Формулы приведения Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов Синус и косинус двойного угла Преобразования тригонометрических выражений	гл.5 - §§1,3,4,5, 6,7,8,9,10
	Преобразование выражений, содержащих логарифмическую функцию.	Логарифм числа Логарифм произведения, частного, степени Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования	гл.2 - §4
	Уравнения и их системы. Решение степенных, тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений. Составление уравнений и их систем по условиям задач.	Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод. Составлять уравнения по условию задачи	Квадратные уравнения Рациональные уравнения Иррациональные уравнения	гл.4 - §§1,2,3	гл.19 - §3
	Тригонометрические уравнения	гл.5 - §11	гл.12 - §§1,2,3, 4,5,6, гл.17 - §3
	Показательные уравнения	гл.10 - §4	гл.17 - §§1,2
	Логарифмические уравнения	гл.10 - §5	гл.17 - §§1,2
	Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных	глава 8	гл.18 - §§2,3
	Неравенства и их системы. Решение степенных, триго-нометрических, логариф-мических и показательных неравенств. Метод интервалов. Составление неравенств и их систем по условиям задач.	Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы, составлять неравенства по условию задачи	Квадратные неравенства	гл.4 - §4
	Рациональные неравенства Метод интервалов	гл.2 - §6, гл.4 - §4
	Показательные неравенства	гл.10 - §6
	Логарифмические неравенства
	Системы линейных неравенств		гл.18 - §1
	Системы неравенств с одной переменной.	гл.4 - §4	гл.17 - §3
	Решение тригонометрии-ческих неравенств.				гл.12 - §7
	Равносильность уравнений, неравенств и их систем.		Равносильность уравнений, систем уравнений Равносильность неравенств, систем неравенств	гл.4 - §§1,4, гл.8 - §1
сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей; сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;	Функция и способы ее задания. Чтение и построение графиков функций Композиция функций. Обратная функция. Преобразования графиков функций.	Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания фун-кции. Описывать с помо-щью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать инфо-рмацию, представленную графиками.	Функция, область определения функции Множество значений функции График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. График обратной функции Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат	гл.3 - §§2,4,5,6	гл.14 - §6
	Основные свойства функции: монотонность, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы, ограниченность функций, четность и нечетность, периодичность. Промежутки знакопостоянства непрерывной функции.	Описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций	Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания Четность и нечетность функции Периодичность функции Ограниченность функции Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции Наибольшее и наименьшее значения функции	гл.3 - §3	гл.14 - §§2,3,4
	Непрерывность.		гл.9 - §4
	Элементарные функции: линейная, квадратичная, дробно-линейная.	Линейная функция, ее график Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график Квадратичная функция, ее график	гл.3 - §1
	Многочлен		глава 7
	Степенная функция.	Степенная функция с натураль-ным показателем, ее график	гл.10 - §1
	Тригонометрические функции.	Тригонометрические функции, их графики		гл.11 - §§1,2
	Показательная функция.	Показательная функция, ее график	гл.10 - §2
	Логарифмическая функция.	Логарифмическая функция, ее график	гл.10 - §3
	Понятие о производной функции в точке, геометрический смысл производной. Физический смысл производной.	Вычислять производные элементарных функций.	Понятие о производной функции, геометрический смысл производной Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком Производные суммы, разности, произведения, частного Производные основных элементарных функций. Вторая производная и ее физический смысл. Уравнение касательной к графику функции		гл.13 - §§1,2,3,4
	Использование производной при исследовании функций, построении графиков.	Исследовать в простей-ших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наимень-шее значения функции.	Применение производной к исследованию функций и построению графиков		глава 14
	Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона – Лейбница. Приложения определенного интеграла.	Вычислять первообразные элементарных функций	Первообразные элементарных функций Примеры применения интеграла в физике и геометрии		глава 15
сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин; владение умениями составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования случайных величин по их распределению;	Представление данных, их числовые характеристики. Таблицы и диаграммы. Случайный выбор, выборочные исследования. Интерпретация статистических данных и их характеристик. Случайные события и вероятность. Вычисление вероятностей. Перебор вариантов и элементы комбинаторики. Испытания Бернулли. Случайные величины и их характеристики. Частота и вероятность. Закон больших чисел. Оценка вероятностей наступления событий в простейших практических ситуациях.	Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах	Элементы комбинаторики Поочередный и одновременный выбор Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона	гл.2 - §5	глава 20
Элементы статистики Табличное и графическое представление данных Числовые характеристики рядов данных		гл.21 - §5
Элементы теории вероятностей Вероятности событий Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач		гл.21 - §§1,2,3,4
владение навыками использования готовых компьютерных программ для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств, при решении задач.				Ресурсы портала ФЦИОР, прикрепленные к главам учебника

Метапредметные и личностные результаты обучения по УМК

ФГОС	Фундаментальное ядро содержания общего образования	учебники
Метапредметные результаты: 1) умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях; 2) владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения. 3) владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания; 4) готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников; 5) умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач; 6) умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;	Регулятивные УУД: целеполагание; планирование; составление плана и последовательности действий; контроль; коррекция; оценка; элементы волевой саморегуляции.	1) В главе 2 §3 «Степени и корни» вводится дополнительный материал о целой и дробной частях числа, после которого предлагается выполнить следующее задание: «Решите уравнение = ». Для выполнения такого задания ученику необходимо спланировать свои действия и осознать их последовательность, а во время выполнения задания выполнять оценку полученного ответа и коррекцию своих действий при необходимости. Глава 13 §1 «Определение производной» - предлагаются задания на выведение формул производных функций, 2) В тексте учебнику размещено много заданий, в которых надо провести доказательство. Для выполнения доказательства ученик должен показать сформированность своих умений рассуждать с опорой на имеющийся теоретический материал. Например, в главе 2 §4 «Логарифмы» ученику предлагается задание «Докажите, что для любых положительных чисел а, в, с (с ≠ 1) имеет место равенство ». В главе 3 §3 «Свойства функции» задание «Докажите, что каждая функция f(x), имеющая симметричную относительно начала координат область определения, представима в виде суммы четной и нечетной функций». Глава 13 §3 «Правила дифференцирования» - предлагается доказательство формул производных обратных тригонометрических функций, гиперболических функций. Глава 20 §3 п.4 «Доказательство комбинаторных тождеств методами математического анализа». 3) Глава 12 §5 «Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения, содержащие знаки модуля и корня» - при решении тригонометрических уравнений обязательным становится отбор корней, удовлетворяющих определенным условиям (область определения выражений, входящих в уравнение; знак модуля; знак корня).
Познавательные УУД: Общеучебные действия включают: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска; знаково-символические действия; умение структурировать знания; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной и письменной форме; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; смысловое чтение.	1) Выполнение знаково-символических действий для определенного типа заданий описано в главе 2 в параграфах «Множества. Операции над множествами», «Натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа». Здесь же приводятся образцы перевода текста практических задач на язык математики. При решении таких задач даны примеры оформления условия задач в виде таблицы. Глава 19 §4 «Текстовые задачи с целочисленными неизвестными». 2) В учебнике приводятся примеры структурирования информации. Например, в главе 3 §4 «Обратные функции» перечисляются свойства связи функции и ей обратной, в главе 3 §5 «Графики функций» - системно приведен список элементарных преобразований графика, в главе 5 §6 «Формулы приведения» - мнемоническое правило для применения формул, в главе 7 «Многочлены от одной переменной» §1 «Основные определения» - алгоритм деления многочленов с остатком, алгоритм Евклида для нахождения НОД двух многочленов, глава 19 §1 «Делимость чисел» - алгоритм Евклида для чисел, в главе 7 §2 – схема Горнера деления многочленов. Глава 12 §2 «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным» - сначала формулируется общий алгоритм решения уравнений, а потом по аналогии с ним решаются другие уравнения. Глава 14 §6 «Построение графика функции» - план построения графика функции. 3) Иллюстрацией примера выбора более рационального способа решения являются примеры решения иррациональных уравнений в главе 4 §3 «Иррациональные уравнения». Если уравнение громоздкое, то стандартный приём (возведение в квадрат обеих частей уравнения) может не дать результата. Поэтому в параграфе показаны примеры, в которых удобнее применить способ замены переменных. При решении уравнений, содержащих знак модуля, показаны разные способы решения – через запись уравнения без знаков модуля на разных промежутках и применение геометрической иллюстрации понятия «модуль». Также показаны разные способы решения неравенств, содержащих знак модуля в главе 4 §4 «Алгебраические неравенства» - аналитически и с использованием графической иллюстрации. В главе 10 §4 «Показательные уравнения» и §5 «Логарифмические уравнения» рассматриваются различные способы решения показательных и логарифмических уравнений. Глава 12 §4 «Метод оценки левой и правой частей уравнения» - рассматриваются разные способы решения одного и того же уравнения. 4) В главе 10 §1 «Степенная функция» проводится систематизация и обобщение сведений о степенных функциях. А в §3 «Логарифмическая функция» проводится обобщение понятия степенная функция на произвольный действительный показатель.
Логические действия включают: анализ объектов; синтез; выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов; подведение под понятия, выведение следствий; установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений, доказательство; выдвижение гипотез и их обоснование. Действия постановки и решения проблем включают формулирование проблемы и самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.	1) В учебнике все теоремы и почти все утверждения доказываются, этим ученику даётся образец размышлений и оформления своих мыслей в письменной форме. В §6 «Числовые неравенства» главы 2 имеется специальный раздел «Примеры», в котором представлены образцы доказательств некоторых наиболее важных неравенств. 2) Отдельная глава учебника посвящена разделу «Логика». Она содержит следующие параграфы: «Высказывания и операции над ними», «Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования», «Некоторые приемы доказательства». Этот материал знакомит учеников с основами проведения рассуждений при доказательствах. В параграфах рассмотрены решенные примеры, где даются образцы проведения рассуждений и форма записи доказательства. Отдельно представлены примеры доказательства тригонометрических тождеств и равенств в главе 5 §4 «Преобразование тригонометрических выражений». Глава 21 §1 «Основные понятия теории вероятностей» - вводятся логические операции над событиями. Задачи на логические рассуждения. 3) Практически во всех параграфах встречаются задачи, в которых необходимо выполнить сравнение, для которого требуется выполнение определенных логических действий и применения имеющихся знаний в более сложной ситуации. Например: «Сравните числа , , 3,14(15)», «Сравните числа и , и », «Сравните числа и ». 4) В учебнике много заданий исследовательского характера. Например, в главе 2 §5 «Суммирование» имеется задание «В круг радиуса R вписан квадрат, в этот квадрат вписан круг, затем в круг снова квадрат и т. д. Найти суму площадей всех кругов». В главе 4 §4 «Алгебраические неравенства» - «Решите неравенство ». Глава 11 §1 «Функции синус и косинус» - задание «Исследуйте функцию на периодичность ». Глава 12 §7 «Тригонометрические неравенства» - задание «Решите неравенство <2». 5) Особым видом заданий являются задания с параметрами. Например, в главе 3 §5 «Графики функций» - «Изобразить кривые, задаваемые уравнениями и при значениях параметра а = 2, 4, 5, 7». В главе 4 §4 «Алгебраические неравенства» - «Найти все значения параметра r, при которых неравенство > 0 верно для всех ». Глава 12 §6 «Уравнения, содержащие параметры» - «Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение на интервале ». Глава 15 §4 «Применение определенного интеграла для вычисления площадей» - «Найти все положительные значения параметра в, при которых площадь фигуры, ограниченной параболами у = 1 - х², у = вх² равна а? При каких значениях а задача имеет решение? Специальные параграфы, посвященные заданиям с параметрами - глава 17 §1 «Показательные и логарифмические уравнения с параметром», §3 «Уравнения и неравенства с двумя переменными, содержащие параметры».
Коммуникативные УУД; планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками; постановка вопросов; разрешение конфликтов; управление поведением партнера; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи.	1) В тексте учебника представлены образцы схем и предписаний по выполнению определенных действий. Например, в главе 1 §2 «Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования» – предписание по построению отрицания, в главе 3 §1 «Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции» – схема построения графика квадратичной функции, в главе 3 §4 «Обратные функции» - способ нахождения обратной функции. Глава 15 §1 «Первообразная функции» - таблица первообразных функций. Глава 13 §3 «Правила дифференцирования» - составляется таблица полученных производных. Глава 15 §2 «Неопределенный интеграл» - таблица интегралов. 2) Решение некоторых задач можно сравнить с исследовательской работой. Правильность записи такого решения необходимо учить школьников, именно такие примеры содержатся в учебнике. Например, в главе 3 §3 «Свойства функции» задание «Построить график функции у = f(x). Укажите промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремумов функции, если f(x) = . В главе 4 §1 «Уравнение и его корни. Преобразования уравнений» - отдельный пункт «Наиболее важные приемы преобразования уравнений». Глава 13 §4 «Наибольшее и наименьшее значения функции» - задание «Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = на множестве Е = R». Глава 15 §1 «Первообразная функции» - задание «Найти все первообразные функции f(x) = x² sign x».
Личностные результаты: 1) сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности; 2) навыки сотрудничества со сверстниками, детьми младшего возраста, взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности; 3) готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности.	Личностные УУД: жизненное, личностное, профессиональное самоопределение; действия смыслообразования и нравственно-этического оценивания, ориентация в социальных ролях и межличностных отношениях.	1) Постановка и принятие целей предстоящей деятельности обучающимся, определение личностного смысла ее с точки зрения определения своего места в современном обществе. В учебнике углубленного уровня создаются ситуации «образовательной напряженности» посредством формулирования проблемы, возникающей в жизни, через учебное задание, требующее самоопределение обучающегося в поле многообразия различных позиций по рассматриваемому вопросу. Глава 13 §4 «Наибольшее и наименьшее значения функции» - задание «Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром», «Найти высоту конуса, имеющего наибольший объём среди всех конусов, вписанных в шар радиуса R». 2) Система заданий обязательно содержит проблемные вопросы и ситуации, требующие анализа, где отсутствует однозначный ответ, который можно найти в тексте параграфа. В зависимости от выбранных форм и методов обучения, используемых учителем, одно и то же задание может быть вопросом при закреплении материала, самостоятельной работой в классе или дома перед общей дискуссией по изучаемой теме, мини-проектом с видовым разнообразием результатов представления. В любом случае обучающийся включен в учебную ситуацию в активном режиме. Глава 20 §2 «Основные формулы комбинаторики» - задача «На плоскости проведены n прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти: 1) число точек пересечения этих прямых, 2) число треугольников, образованных этими прямыми». 3) В главе 1 были рассмотрены несколько множеств чисел – натуральные, целые, рациональные, действительные. А во введение к §1 «Определение комплексных чисел» в главе 6 понятие о числовых множествах расширяется - описывается необходимость и неизбежность возникновения комплексных чисел. 4) Глава 11 §1 «Функции синус и косинус» - замечание о применении тригонометрических функций в математике, физике, технике. Глава 15 §3 «Определенный интеграл» - историческая информация. Физическое и геометрическое применение определенного интеграла. Глава 16 «Дифференциальные уравнения» §1 «Основные понятия» - физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.