Эконометрический анализ зарплаты замужних женщин США в 1975 году (стр. 5 )

На лекции нам говорили, что в большинстве случаев результаты, получаемые при помощи моделей logit и probit очень схожи. Мы не упустили возможность подтвердить это.

Dependent Variable: INLF
Method: ML - Binary Logit
Sample: 1 753
Included observations: 753
Convergence achieved after 7 iterations
Covariance matrix computed using second derivatives
Variable	Coefficient	Std. Error	z-Statistic	Prob.
C	1.783748	0.854837	2.086654	0.0369
AGE	-0.097963	0.013652	-7.175865	0.0000
EDUC	0.194363	0.040801	4.763717	0.0000
EXPER	0.206966	0.032050	6.457580	0.0000
EXPERSQ	-0.003073	0.001018	-3.019382	0.0025
HUSHRS	-0.000290	0.000148	-1.963113	0.0496
KIDSLT6	-1.468572	0.201601	-7.284542	0.0000
UNEM	-0.036691	0.028055	-1.307825	0.1909
Mean dependent var	0.568393	S. D. dependent var	0.495630
S. E. of regression	0.427147	Akaike info criterion	1.091258
Sum squared resid	135.9287	Schwarz criterion	1.140385
Log likelihood	-402.8585	Hannan-Quinn criter.	1.110184
Restr. log likelihood	-514.8732	Avg. log likelihood	-0.535005
LR statistic (7 df)	224.0294	McFadden R-squared	0.217558
Probability(LR stat)	0.000000
Obs with Dep=0	325	Total obs	753
Obs with Dep=1	428

Видим, что все коэффициенты в logit приблизительно в раз больше, чем в probit. Все p–значения, а также все значения во второй части вывода практически совпадают.

Эти модели очень похожи и по качеству предсказаний, что можно видеть на графике, с где с одной стороны точность модели (количество правильно предсказанных INLF для разного C) для probit, а с другой — для logit.

5. Построение оценок МНК

Для построение оценки МНК мы выберем факторы, которые априори формируют зарплату на рынке труда, поэтому в модель войдут личные характеристики женщины и состояние рынка труда. В дополнение к предложенным регрессорам AGE, EXPER, EXPERSQ было решено добавить CITY, EDUC, UNEM. Ясно, что зарплата сильно зависит от образования человека и от возраста, тесно коррелирует с опытом работы и с каждым дополнительным годом заявленного опыта растет медленнее при большом опыте. Стоит ожидать положительного и соответственно отрицательного коэффициентов при EXPER, EXPERSQ. Исторически сложилось, что в городе зарплаты выше и этот фактор тоже может влиять на уровень зарплаты (однако на это можно возразить, что в городе и уровень образования выше как и другие факторы, которые положительно влияют на зарплату — влияет ли фактор города на зарплату сам по себе, не ясно). Как известно в случае высокой безработицы зарплаты ниже и наоборот, поэтому уровень безработицы должен влиять на зависимую переменную.

Переменная HOURS, если мы её включим в регрессии, будет высоко значима, однако, с точки зрения работодателя, количество рабочих часов не влияет на почасовую зарплату. Эти переменные будут скоррелированы, но по другим причинам — проблема эндогенности.

Для оценки по методу наименьших квадратов возьмем в качестве зависимой переменной LWAGE и LOG(WAGE+1) (последнее является альтернативой LWAGE и лучше в том плане, что годится для оценивания цензурированной tobit–модели и не придаёт слишком большого веса зарплатам близким к нулю для урезанной tobit–модели, но хуже в том плане, что WAGE обычно не велико и это затрудняет интерпретацию коэффициентов в регрессиях, так как LWAGE и LOG(WAGE+1) могут существенно отличаться). Именно единица добавляется к WAGE для того, чтобы получившееся отображение оставляло 0 на месте (для использования в моделях tobit и Хекмана).

Dependent Variable: LWAGE
Method: Least Squares
Sample(adjusted): IF INLF=1
Included observations: 428 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-0.504705	0.282383	-1.787305	0.0746
AGE	-1.98E-05	0.004919	-0.004028	0.9968
CITY	0.058767	0.069574	0.844673	0.3988
EDUC	0.106243	0.014455	7.349817	0.0000
EXPER	0.041370	0.013248	3.122619	0.0019
EXPERSQ	-0.000805	0.000402	-2.003742	0.0457
UNEM	-0.004349	0.010956	-0.396939	0.6916
R-squared	0.158401	Mean dependent var	1.190173
Adjusted R-squared	0.146406	S. D. dependent var	0.723198
S. E. of regression	0.668163	Akaike info criterion	2.047652
Sum squared resid	187.9522	Schwarz criterion	2.114040
Log likelihood	-431.1975	F-statistic	13.20634
Durbin-Watson stat	1.870331	Prob(F-statistic)	0.000000

Тест Уайта на гетероскедастичность ошибок:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	1.857191	Probability	0.049439
Obs*R-squared	18.24906	Probability	0.050905

Dependent Variable: LOG(WAGE+1)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): IF INLF=1
Included observations: 428 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	0.236242	0.197577	1.195692	0.2325
AGE	6.66E-06	0.003442	0.001936	0.9985
CITY	0.048648	0.048679	0.999360	0.3182
EDUC	0.083181	0.010114	8.224325	0.0000
EXPER	0.024424	0.009270	2.634839	0.0087
EXPERSQ	-0.000453	0.000281	-1.610610	0.1080
UNEM	-0.003412	0.007665	-0.445153	0.6564
R-squared	0.176009	Mean dependent var	1.503598
Adjusted R-squared	0.164266	S. D. dependent var	0.511383
S. E. of regression	0.467499	Akaike info criterion	1.333381
Sum squared resid	92.01176	Schwarz criterion	1.399768
Log likelihood	-278.3434	F-statistic	14.98803
Durbin-Watson stat	1.966488	Prob(F-statistic)	0.000000

Тест Уайта на гетероскедастичность ошибок:

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	2.160173	Probability	0.019342
Obs*R-squared	21.07958	Probability	0.020545

Видим, что обе регрессии по многим позициям не отличаются, хотя в некоторых местах отличия существенны (например, коефициент при EDUC различается в два раза). Конечно, эти регрессии не стоит воспринимать всерьёз, потому что они построены по урезанным выборкам и оценки коэффициентов являются смещёнными и несостоятельными. Однако на них можно смотреть как на оценку коэффициентов частной корреляции зависимой переменной и регрессоров. Интерпретация коэффициентов в модели линейной регрессии очень проста. Мы вернёмся к этим регрессиям позже.

Так же заметим, что ошибки регрессии не являются гомоскедастичными. Пересчитывать p–значения в форме Уайта мы не будем, так как нам сейчас это далеко не принципиально — задача проекта не в этом.

Ниже мы покажем, что решение работать или нет не зависят от зарплаты (грубо говоря), поэтому оценки МНК будут несмещёнными и состоятельными. Однако в этом случае отвергается гипотеза гомоскедастичности ошибок, что говорит о том, что ничего из того что мы делаем не является истинным ибо во всех моделях от probit до модели Хекмана мы предполагаем совместное нормальное распределение ошибок.

6. Построение урезанной tobit–модели

Построим урезанную tobit–модель, используя те же регрессоры, что и в МНК. Совершенно не удивительно, что мы получаем почти один в один те же коэффициенты, что и в МНК. Дело в том, что функция правдоподобия для оценивания урезанной tobit–модели совпадает с функцией правдоподобия для оценивания нормальной линейной регрессионной модели, а оценки ММП и МНК для классической нормальной линейной регрессионной модели совпадают. То небольшое различие, которое присутствует, можно объяснить вычислительными погрешностями и различными методами подсчёта одной и той же величины.

Dependent Variable: LOG(WAGE+1)
Method: ML - Censored Normal (TOBIT)
Sample(adjusted):
Included observations: 428 after adjusting endpoints
Truncated sample
Left censoring (value) at zero
Convergence achieved after 8 iterations
Covariance matrix computed using second derivatives
	Coefficient	Std. Error	z-Statistic	Prob.
C	0.216108	0.199637	1.082507	0.2790
AGE	-2.52E-05	0.003463	-0.007291	0.9942
CITY	0.049552	0.048994	1.011391	0.3118
EDUC	0.084362	0.010240	8.238758	0.0000
EXPER	0.024931	0.009361	2.663207	0.0077
EXPERSQ	-0.000464	0.000284	-1.634674	0.1021
UNEM	-0.003485	0.007710	-0.451990	0.6513
	Error Distribution
SCALE:C(8)	0.466905	0.016463	28.36066	0.0000
R-squared	0.176810	Mean dependent var	1.503598
Adjusted R-squared	0.163091	S. D. dependent var	0.511383
S. E. of regression	0.467828	Akaike info criterion	1.334568
Sum squared resid	91.92233	Schwarz criterion	1.410440
Log likelihood	-277.5976	Hannan-Quinn criter.	1.364533
Avg. log likelihood	-0.648593
Left censored obs	0	Right censored obs	0
Uncensored obs	428	Total obs	428

Понимая, что модель очень плохая, мы всё же чисто формально немного поработаем с ней. Для начала обоснуем возможность выбрасывания всех статистически незначимых регрессоров.