Формирование у учащихся младшего школьного возраста потребности в доказательстве
Медведева Ксения, студентка 2 курса механико-математического факультета, направление подготовки – педагогическое образование, профиль – математическое образование
В разные периоды развития методики обучения математики в понятие «обучение доказательству» вкладывали различный смысл. Исторически в решении этой проблемы сформировалось две тенденции: обучение логической составляющей доказательств и обучение поиску доказательств, то есть эвристической составляющей доказательства.
Этой проблемой в разные годы занимались крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги, такие как , , , Я. С. Ду6нов, , , , Дж. Пойа, , А. А. Притуло, , Г. Фройденталь, , и др. Некоторые логические аспекты математической подготовки учащихся затронуты в докторских диссертациях , , др.
Результаты их исследований имеют большое значение для совершенствования методики обучения доказательству. Однако практика свидетельствует о низком уровне сформированности у учеников умения доказывать, показывает наличие формализма в их знаниях, стремление заучить приведённые рассуждения. Ученики затрудняются в поиске доказательства и построении цепочки дедуктивных выводов, в то время как современность требует от будущих профессионалов любой отрасли умения принимать обоснованные решения, отстаивать свою точку зрения, приводя последовательность верных умозаключений из имеющихся данных, то есть высокоразвитого уровня логического мышления.
Учёные пришли к выводу, что этого можно добиться, если при обучении школьников доказательству сочетать логическое и эвристическое направления обучения, то есть сочетать обучение готовым доказательствам и обучение самостоятельному поиску доказательства.
К началу систематического изучение школьниками курсов алгебры и геометрии, то есть к 7 классу, нужно так организовать обучение, чтобы требования: объясни, аргументируй, обоснуй, докажи – стали не только привычным для учащихся, но и вызывали ответную адекватную требованию математическую деятельность.
В действующих учебниках математики для начальной школы и учащихся 5-6 классов имеется достаточное количество заданий, которые после незначительного изменения формулировки позволят использовать требование «докажи» в связи с закреплением изученной теории.
Например, при отработке определения операции умножения можно использовать задания, в которых требуется умножить двузначное число на однозначное, например 16 × 3, заменив умножение сложением.
Сформулируем задание по-другому: «Докажи с помощью определения операции умножения, что 16 × 3 = 48».
Рассуждения учеников, образцы которых, естественно, должны быть заложены в объяснении учителя, могут быть такими: «По определению умножения, произведение 16 × 3 – это по-другому записанная сумма 16 + 16 + 16. Эта сумма равна 48. Следовательно, 16 × 3 = 48». Проводя устно доказательство, ученики записывают цепочку равенств:
16 × 3 = 16 + 16 + 16 = 48.
Можно попросить учащихся выполнить «обратное» задание: пояснить, на каком основании числовые выражения связаны знаком равенства, например,
16 + 16 + 16 + 61 = 16 × 3 + 61 = 48 + 61 = 109.
Аргументация может быть следующей: по определению операции умножения сумму трёх одинаковы слагаемых можно заменить их произведением, то есть, 16 + 16 + 16 = 16 × 3 = 48. Затем к полученному значению прибавляем оставшееся слагаемое 61 и получаем 109.
Для закрепления сформированного умения использовать определение операции умножения для решения арифметических задач полезно дать учащимся серию «задач с ошибками». Требования к этой серии задач могут быть различными, например,
– найдите и исправьте арифметические ошибки,
– выясните, верны ли равенства,
– докажите или опровергните цепочку равенств,
– проверьте правильность приведённого решения,
– объясните, почему были допущены ошибки,
и т. п.
Способ построения серии «задач с ошибками» основан на принципах вариативности и использования контрпримеров.
Проиллюстрируем на примере.
Задание. Докажите или опровергните цепочку равенств / неравенств:
(1) 16 + 16 + 16 + 61 = 16 × 3 + 61 = 48 + 61 = 109
(2) 16 + 16 + 16 + 61 = 16 × 4 + (61 – 16) = 64 + 45 > 110
(3) 16 + 16 + 16 + 51 = 16 × 3 + 51 = 48 + 51 < 109
(4) 16 + 16 + 61 + 16 = 16 × 2 + 77 = 99
(5) 16 + 16 + 61 – 16 = 16 × 3 + 61 = 48 + 61 > 50
(6) 61 – 16 + 16 + 16 = 61 – 16 × 3 = 61 – 48 = 23
(7) 16 + 16 + 16 + 61 = 16 × 3 + 16 × 3 + 13 = 48 × 2 + 13 = 96 + 13 = 109
(8) 16 × (3 + 61) = 48 + 61 = 109
(9) 48 + 61 = 8 + (8 + 8 + 8 + 8 + 8) + 60 + 1 = 8 + 40 + 60 + 1 = 100 + 9 = 109
(10) 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 16 + 16 + 16 = 16 × 3 + 61 = 48 + 61 = 109
Большое количество задач на доказательство предоставляет элементарная теория делимости, изучаемая в курсе математики 5-6 класса. Достаточное число теорем (свойств делимости) позволяет не только доказывать полезные и интересные факты арифметики, сформулированные в форме классических задач «на доказательство», но и продемонстрировать способ построения математической теории.
После того, как учащиеся научаться воспринимать и решать задачи на доказательство, полезно давать школьникам 5-6 класса геометрические задачи на доказательство, которые будут для них задачами повышенной трудности, например: «Докажите, что площадь квадрата со стороной a равно площади прямоугольника, одна сторона которого в 2 раза больше стороны квадрата, вторая – в 2 раза меньше стороны квадрата».
У учащихся необходимо формировать убеждение в том, что доказательство необходимо, хотя бы для того, чтобы избежать необоснованных аналогий. Например, площадь квадрата учащиеся вычисляют, перемножая длины его сторон, площадь прямоугольника – по той же схеме, а можно ли подобным образом поступить при вычислении площади ромба – четырёхугольника, стороны которого равны, а диагонали перпендикулярны и пересекаются пополам? Пусть дан ромб со стороной 5 см., диагоналями – 6 см и 8 см. Найдём его площадь по известной формуле площади прямоугольника, получим – 25 кв. см. Это величина площади квадрата со стороной 5 см. Значит, площадь нашего ромба и площадь квадрата равны? Попытаемся обосновать – доказать или опровергнуть – наше утверждение. «Разрежем» ромб по диагоналям и составим из получившихся равных частей прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, а площадь – 24 кв. см. Наши ромб и прямоугольник – фигуры равновеликие, так как составлены из одинаковых частей, значит площадь данного ромба 24 кв. см. и не равна площади квадрата со стороной 5 см. Вывод: площадь ромба нельзя вычислить по формуле площади прямоугольника.
