В таблице А и .

В таблице Б и .

В таблице В и .

В таблице Г и .

Условию однозначности удовлетворяет только таблица Г.

Ответ: Г.

Задание 2. Предел равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Величина при является бесконечно малой. Обратная величина при является бесконечно большой. Произведение ограниченной на бесконечно большую величину при так же является бесконечно большой величиной, поэтому .

Ответ: Б.

Задание 3. Предел равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Функция является непрерывной в точке . Поэтому предел равен значению функции в точке .

Именно .

Ответ: Г.

Задание 4. Предел равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Преобразуем данный предел .

Величина является бесконечно большой при , а величина является ограниченной при . Поэтому .

Ответ: В.

Задание 5. Предел равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Преобразуем данный предел и определяем тип неопределенности

.

Полученная неопределённость раскрывается путём деления на старшую степень переменной.

,

поскольку

, , .

Ответ: Г.

Задание 6. Производная функции равна:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Функция представляет собою произведение двух функций и . Поэтому необходимо воспользоваться формулой для производной произведения двух функций и соответствующими табличными производными

, .

Следовательно

Ответ: В.

Задание 7. Производная функции в точке равна:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Функция представляет собою сумму двух функций и . Поэтому, при вычислении производной, необходимо воспользоваться формулой для производной суммы двух функций , свойством производной и соответствующей табличной производной

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

Следовательно

.

Поэтому

Ответ: А.

Задание 8. Дифференциал функции в точке равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или :

Поэтому

Ответ: А.

Задание 9. Уравнение наклонной асимптоты к графику функции имеет вид:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Наклонная асимптота – это прямая вида , где и , при условии их существования определяются пределами

,

.

При этом функция не может иметь более двух наклонных асимптот и если хоть один из указанных пределов не существует, то наклонной асимптоты не существует.

Находим значение углового коэффициента :

Ответ: А.

Задание 10. Для функции точка есть точка перегиба. Тогда равна:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Непрерывная на отрезке функция называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых и из этого отрезка

.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на функция выпукла вверх, если для любого .

Дважды дифференцируемая на функция выпукла вниз, если для любого .

Пусть функция непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции , если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если точка перегиба функции , и функция имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то .

Достаточное условие наличия точки перегиба. Пусть функция непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке . Если меняет знак при переходе через точку , то точка перегиба функции .

Для функции проверяем необходимое условие наличия точки перегиба.

.

Проверяем достаточное условие наличия точки перегиба. Поскольку меняет знак при переходе через точку , то точка перегиба функции .

Ответ: Б.

Задание 11. Функция возрастает при:

А.

Б.

В. любом

Г.

Решение. Функция называется возрастающей на множестве (), если для любых и из этого множества и таких, что выполняется неравенство .

Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей на множестве , необходимо и достаточно, чтобы её производная была неотрицательной на множестве .

Для функции проверяем необходимое и достаточное условие возрастания на множестве :

.

Следовательно, на множестве функция возрастает.

Ответ: Б.

Задание 12. Дифференциал функции равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой

Найдем частные производные и

и .

Поэтому

.

Ответ: Г.

Задание 13. Неопределенный интеграл равен:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Для произвольного справедлива формула табличного интегрирования

и для любых постоянных и

.

Таким образом

Ответ: В.

Задание 14. Функция является производственной, если:

А.

Б.

В.

Г.

Решение. Производственная функция Кобба-Дугласа в теории производства в экономике определяет зависимость объема производства Q от создающих его затрат труда L и капитала K.

Функция впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом. Общий вид функции:

,

где технологический коэффициент, коэффициент эластичности по труду, а коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени равна единице, то функция Кобба-Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, - убывающую.

Коэффициенты эластичности выпуска продукции по труду и капиталу имеют положительные значения, так как интерпретируются следующим образом:

·  эластичность выпуска по труду - относительное изменение объема выпускаемой продукции за счет изменения вложений труда на 1 процент

·  эластичность выпуска по капиталу - относительное изменение объема выпускаемой продукции за счет изменения вложений капитала на 1 процент

Поскольку приток дополнительного капитала и привлечение дополнительной рабочей силы способствуют увеличению производства, коэффициенты обладают положительными значениями. Таким образом, величины и могут принимать только положительные значения.

Кроме того, в силу закона убывающей предельной эффективности, вторые частные производные должны быть отрицательны. Таким образом величины и должны быть меньше единицы.

Ответ: Б.

Часть III.

Вам предлагаются 5 заданий. На каждое из заданий Вы можете дать ответ в виде положительного или отрицательного числа заполнив соответствующую номеру вопроса строчку в бланке ответов. В каждой клетке строки может располагаться только один символ: цифра, знак « - »отрицательного числа, или знак « . » разделителя десятичной дроби. Вы можете дать ответ не «Не знаю», оставив все пять соответствующих вопросу клеток пустыми.

В этой части за каждое правильно выполненное задание дается три балла, в противном случае баллы не начисляются.

Задание 1. Вычислить предел

Решение. Используя первый замечательный предел , находим

Ответ: 1.

Задание 2. Найти точку минимума функции .

Решение. В точке функция достигает экстремума - минимума (максимума), если для любых из некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Во всех точках экстремума производная функции равна нулю или не существует.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки, и непрерывна в точке . Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку слева направо, то точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку слева направо, то точка максимума.

Для функции производная равна

.

Определяем знаки производной:

Ответ: 2.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3