Задание 3. Найти значение функции 
в точке локального экстремума.
Решение. Точка 
является точкой максимума (минимума) функции 
, если найдется такая окрестность точки 
, что для всех точек 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. При этом если в точке экстремума существует первая частная производная, по какому-либо аргументу, то она равна нулю.
Точки экстремума дифференцируемой функции, то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области, надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.
Пусть 
и 
, а вторые частные производные функции непрерывны в некоторой окрестности точки 
. Введем обозначения:
Тогда, если 
, то в точке экстремума нет.
Если 
, то в точке экстремум функцииесть, причем если 
, то минимум, а если 
, то максимум.
Если 
, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.
Для функции находим первые частные производные:
, 
и решаем систему
Тем самым находим точки подозрительные на экстремум: 
и 
.
Находим вторы частные производные и смешанную производную:
, 
, 
.
Определяем знак выражения 
в каждой точке подозрительной на экстремум
.
Следовательно, в точке экстремума нет.
.
Поэтому в точке есть экстремум.
Находим значение функциив точке :
Ответ: 4.
Задание 4. Вычислить определенный интеграл:
.
Решение. Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции на верхнем и нижнем пределах
.
Поэтому
.
Ответ: 7.
Задание 5. Найти площадь 
фигуры 
ограниченной параболой 
и прямой 
.
Решение. Площадь этой фигуры записывается с помощью интеграла как 
, поэтому
.
Следовательно 
Ответ: 1.
Задание 6. Найти длину градиента функции 
в точке M0 (1;1).
Решение. Градиент функции f(x,y) это вектор, который обозначается как grad f и определяется формулой:
.
Градиент функции в точке указывает направление наибольшего возрастания функции.
Найдём частные производные:
, 
.
Найдём значения частных производных в точке M0 (1;1).
; 
.
Длина градиента |grad f(x,y)| функции f(x,y) находится по формуле: 
|grad f(x,y)|=
.
Находим длину градиента функции в точке:
|grad f(x,y)| (1,1)=
.
Ответ: 1/3.
Задание 7. Найти скалярное произведение вектора 
и градиента функции 
в точке M0 ( – 1;1).
Решение. Найдём градиент функции 
в точке M0 ( – 1;1). Для этого найдём частные производные:
, 
.
Найдём значения частных производных в точке M0 ( – 1;1).
; 
.
Найдём скалярное произведение градиента функции в точке M0 ( – 1;1) и вектора .
Ответ: – 6.
Задание 8. Найти производную функции 
в точке (1;1) в направлении вектора 
.
Решение. Производная функции f(x,y) в направлении вектора 
обозначается как 
и определяется формулой:
, где введено обозначение 
, здесь 
– длина вектора 
. Поэтому вначале найдём градиент функции z(x, y).
, 
.
В точке M0 ( – 1;1) эти частные производные равны:
, 
.
Следовательно grad f ( – 1; 1) = (– 2, 4).
Найдём длину вектора :
.
Откуда единичный вектор 
равен:
Следовательно, производная функции в точке (1;1) в направлении вектора равна:
Ответ: 2.
Раздел второй
В этом разделе содержатся примерные тестовые задания, предлагаемые на экзамене по математике студентам первого курса заочного отделения и ответы на эти задания.
Тест 1
для студентов заочного факультета I курса, II семестр
(5-годичное обучение)
Часть I.
За каждое правильно выполненное задание начисляется два балла, в противном случае – ноль баллов.
I. Пусть существуют конечные пределы 
, тогда справедливы утверждения:
1. если 
и 
, то возможно, что 
Нет
2. если 
и 
, то найдется такая окрестность точки 
, для каждого 
из которой 
Да
3. если 
то найдется такая окрестность точки , для которой 
ограничена Да
4. если и 
, то 
Да
II. Функция 
является бесконечно малой в точке 
, если:
5. 
Нет
6. 
Да
7. 
Да
8. 
Нет
III. Функция является бесконечно большой в точке 
, если:
9. 
Да
10. 
Нет
11. 
Нет
12. 
Да
IV. Функция 
имеет точку локального экстремума, если:
13. 
Да
14. 
Нет
15. 
Нет
16. 
Да
V. Функция ограничена на плоскости, если:
17. 
Да
18. 
Да
19. 
Да
20. 
Нет
VI. Если 
и 
, то справедливо утверждение:
21. 
Нет
22. 
Да
23. 
Да
24. 
Нет
VII. Если и непрерывные функции, 
для всех 
, то справедливо утверждение:
25. 
Нет
26. 
Да
27. 
для всех 
Нет
28. Найдутся такие 
и 
такие, что
Да
Часть II.
За каждое правильно выполненное задание даётся два балла, в противном случае баллы не начисляются.
1. Укажите соответствие, которое является функцией 
:
А.
| Б*.
| В.
| Г.
|
2. Предел 
равен:
А. | Б. | В*. | Г. |
Предел 
равен:
А. | Б*. | В. | Г. |
3. Предел 
равен:
А. | Б. | В*. | Г. |
4. Предел 
равен:
А. | Б. | В. | Г*. |
5. Производная функции 
равна:
А. | Б. |
В. | Г*. |
6. Производная функции 
в точке равна:
А. | Б. | В*. | Г. |
7. Дифференциал функции 
в точке равен:
А*. | Б. | В. | Г. |
8. Уравнение наклонной асимптоты к графику функции 
имеет вид:
А. | Б. | В*. | Г. |
9. Для функции 
точка 
есть точка перегиба. Тогда равна:
А. | Б. | В. | Г*. |
10. Функция 
возрастает при:
А. | Б. | В. | Г*. |
любом
11. Дифференциал функции 
равен:
А. | Б. |
В*. | Г. |
12. Неопределенный интеграл 
равен:
А. | Б. |
В*. | Г. |
13. Эластичность функции в точке не обладает свойствами:
А. Эластичность функции представляет собой безразмерную величину |
В. Эластичности двух взаимно обратных функций представляют собой обратные величины. |
Б. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций. |
Г*. Эластичность частного двух функций равна эластичности числителя плюс эластичность знаменателя. |
Часть III.
В этой части за каждое правильно выполненное задание дается три балла, в противном случае баллы не начисляются.
1. Вычислить предел 
Ответ: 1.
2. Найти максимум функции 
.
Ответ: 4.
3. Найти значение функции 
в точке минимума.
Ответ: -1.
4. Вычислить определенный интеграл
Ответ: 36.
5. Найти площадь 
фигуры ограниченной двумя параболами и 
.
Ответ: 8.
Ответы:
(заполненный бланк)
Рекомендуемая литература.
Читателю можно рекомендовать следующие основные сочинения:
1. , А, , Шандра в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.1.- 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Финансы и статистика, 200с.
2. Шипачев по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш. Шк., 2008. – 304с.
3. Минорский задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов.– М.: Издательство ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 336с.
Обширный материал по математическому анализу и его приложениям содержится в учебном пособии:
4. Письменный лекций по высшей математике. 1 часть. –
9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 20с.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
