Основные понятия Алгебра 9 класс

Основные понятия Алгебра 9 класс

Функция

Опр. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

Опр. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у называют зависимой переменной от переменной х.

Обозначения функций: f(x) или y(х) или у.

Опр. Область определения D(y) – это все значения переменной х, при которых функция имеет смысл.

Например, , D(y) = .

Опр. Множество значений Е(у) – это все значения, которые может принимать переменная у.

Например, , Е(y) = .

Опр. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Опр. Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Квадратный трехчлен

Опр. Квадратным трехчленом называется многочлен вида , где х – переменная, – некоторые числа, причем

Опр. Дискриминантом квадратного трехчлена называется выражение , если D > 0, то уравнение умеет 2 корня, если D = 0, то один корень, если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Кони подсчитываются по формулам

Опр. Если и – корни квадратного трехчлена , то . Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители (многочлены 1-ой степени).

Квадратичная функция ее график

Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где где х – независимая переменная, – некоторые числа, причем

График функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

График функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если m > 0, или на –m единиц влево, если m < 0.

График функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m > 0, или на –m единиц влево, если m < 0 и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на –n единиц вниз, если n < 0.

Чтобы построить график квадратичной функции нужно:
1). найти координаты вершины параболы и отметить ее в коорди - натной плоскости; 2). построить еще несколько точек, принадле - жащих параболе; 3). соединить отмеченные точки плавной линией.

Алгоритм построения графика квадратичной функции

1. D(y) = ; 2. Ветви параболы направлены вверх, если или вниз, если ; 3. Координаты вершины параболы: , , А ; 4. Нули функции: , х=..., х=…; 5. Дополнительные точки; 6. y > 0 при , y < 0 при ; 7. Функция при , при ; 8. Наим-шее или наиб-шее зн-е: y=.. при x=..

Пример: 1. D(y) = ; 2. Ветви направлены вверх, т. к. ; 3. Координаты вершины параболы: , , А ; 4. Нули функции: х = – 3, х = 1; 5. Дополнительные точки; 6. y > 0 при , y < 0 при ; 7.Ф-яприпри; 8. Наим-шее зн-е: y = – 8 при x = – 1.

Степенная функция. Корень n-й степени

Опр. Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, которую можно задать формулой вида , где х – независимая переменная, а n – натуральное число.

Опр. Корнем n-й степени из числа называется такое число, n-я степень которого равна . Число n – называют показателем степени, а выражение, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением. Корень 2-й степени – квадратный, 3-й – кубический.

Опр. Арифметическим корнем n-степени из неотрицатель - ного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна .

Графики и свойства изученных функций

№ 1а. у = kx + b, График – прямая. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если ; 3. у>0, если , y<0, если ; 4. Функция при
№ 1б. у = kx + b, График – прямая. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если ; 3. у>0, если , y<0, если ; 4. Функция при
№ 2а. , График – гипербола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нулей нет; 3. у>0, если , y<0, если ; 4. Функция при .
№ 2б. , График – гипербола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нулей нет; 3. у>0, если , y<0, если ; 4. Функция при .
№ 3а. , График – парабола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если х = 0; График функции проходит через начало координат А(0;0); 3. у>0, если ; График расположен в верхней полуплоскости (I и II четверти); 4. Функция при , при ; 5. Наименьшее значение у=0 достигается при х=0.	Например: .
№ 3б. , График – парабола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если х = 0; График функции проходит через начало координат А(0;0); 3. у<0, если ; График расположен в нижней полуплоскости (III и IV четверти); 4. Функция при , при 5. Наибольшее значение у=0 достигается при х=0.	Например: .
№ 3в. , n – четное число График – парабола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если х = 0; График функции проходит через начало координат А(0;0); 3. у>0, если ; График расположен в верхней полуплоскости (I и II четверти); 4. Функция при , при ; 5. Наименьшее значение у=0 достигается при х=0.	Например: .
№ 3г. , n – нечетное число 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если х = 0; График функции проходит через начало координат А(0;0); 3. у>0, если ; у<0, если ; График расположен в (I и III четвертях); 4. Функция при .	Например: .
№ 3д. , График – парабола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: могут быть 1, 2 или нет вообще; 3. у>0, у<0 зависит от n; 4. Функция при , при ; 5. Наименьшее значение у=0 достигается при х=0.	n –n
№ 3е. , График – парабола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: у = 0, если x = m; 3. у>0, если ; График располо-жен в верхней полуплоскости (I и II четверти); 4. Функция при , при ; 5. Наименьшее значение у=0 достигается при x=m.	–m m
№ 3ж. , График – парабола. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: могут быть 1, 2 или нет вообще; 3. у>0, у<0 зависит от n; 4. Функция при , при ; 5.Наименьшее значение у=n достигается при x=m.
№ 4а. 1. D(y) = ; Е(у) = ; 2. Нули функции: может быть 1 или нет вообще; 3. у>0, у<0 зависит от n; 4. Функция при ; 5. Наименьшее значение у=n достигается при х=m.

Уравнения с одной переменной

Опр. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

Опр. Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Опр. Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением.

Неравенства с одной переменной

Опр. Неравенства вида и , где х – переменная, , b, c – некоторые числа и , называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Алгоритм решения неравенств вида

и

1. Рассмотреть функцию ; 2. Найти корни уравнения ; , ; 3. Если корни есть, то отметить их на числовой оси Ох и через отмеченные точки провести параболу, ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Если корней нет, то изобра- зить параболу выше или ниже оси Ох. 4. На оси Ох найти промежутки, для которых точки параболы удовлетворяют неравенству. 5. Записать промежутки в ответ.

Пример: 1. Рассмотрим функцию ; 2. ; ; , ; , ; Ветви направлены вверх, т. к. ; 3. 4. 5. Ответ:

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

или 1. Рассмотреть функцию ; 2.Найти корни уравнения ; 3. Отметить их на числовой оси Ох, соеди-нить дугами отмеченные точки, поставить знаки « – » или « + » на всех промежутках. 4. На оси Ох найти промежутки, числа из которых удовлетворяют неравенству. 5. Записать промежутки в ответ.

Пример: 1. Рассмотрим функцию ; 2. ; ; ; ; 3. 4. 5. Ответ: .

Уравнения с двумя переменными и их системы

Опр. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Опр. Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями.

Опр. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Опр. Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называется решением системы.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения системы способом подстановки

1. Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2. Подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. Найти соответствующие значения второй переменной.

Неравенства с двумя переменными и их системы

Опр. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Опр. Пару чисел, значений переменных х и y, которые являются решением всех неравенств системы, называют решением системы неравенств с двумя переменными.

На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, представляющих собой общую часть множеств, задаваемых неравенствами, входящими в систему.

Пример:

Арифметическая прогрессия

Опр. Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Опр. Последовательности, которые содержат бесконечное число членов, называют бесконечными последовательностями.

Опр. Последовательности, которые содержат конечное число членов, называют конечными последовательностями.

Опр. Формула, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие, называется рекуррентной, а соответствующий способ задания последовательности – рекуррентным способом.

Опр. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Обозначения: – арифметическая прогрессия

где d – разность арифметической прогрессии

– формула n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное утверждение.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида где k и b – некоторые числа.

и – формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Опр. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Обозначения: – геометрическая прогрессия

и где q – знаменатель геометрической прогрессии

– формула n-го члена геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Верно и обратное утверждение.

и – формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии