Введение (стр. 2 )

Ответ: 0,99989 £ х1 £ 0,99999

0,99972 £ х2 £ 1,00002

1,0001 £ х3 £ 1,00020.

3.3.2. Решить систему линейных уравнений (3.24) методом Зейделя

Для этого преобразуем систему к сходящемуся виду по формуле теоремы 3 (АТ×А×х= АТ×в). Эквивалентная нормальная система для СЛУ (3.24) имеет вид:

102×х1+31×х2+х3=134

31×х1+105×х2+2 х3=

х1+2 х2+102×х3=105.

Приведем систему (3.26) к виду (3.2):

(3.27)

.

За нулевое приближение возьмем вектор х0 = {1,3137; 1,3141; 1,0294}. Последующие приближения получаются по формулам (3.7) и приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя

 

Номер итерац. i	0	1	2	3	4
хiк	1,3137	0,90419	0,99157	0,99925	0,99993
х2к	1,3143	1,02773	1,00248	1,00022	1,00002
х3к	1,0294	1,00040	1,00003	1,00000	1,00000

||х4-х3||=0,0002.

3.3.3. Решить систему линейных уравнений (3.24) методом Халецкого

Результаты расчётов, для удобства, сведены в таблицу (табл.3.3). А теперь рассмотрим формулы (3.9), (3.10) при n=3. По равенствам i1 = i1, i=1, 2, 3 находится первый столбец матрицы В. Затем по формулам с1j=, j= 2, 3 вычисляется первая строка матрицы С. Второй столбец матрицы В находим по формулам:

bi2 = аi2 –bi1×с12, i =2, 3.

Таблица 3.3

Решение системы линейных уравнений методом Халецкого

	x1	x2	x3	b	х1	х2	x3	b	∑
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
II	a11	a12	a13	a14	10	2	1	13	26
a21	a22	a23	a24	1	10	1	12	24
a31	a32	a33	a34	-1	-1	10	8	16
II	b11	1	c12	c13	c14	10	1	0.200	0.100	1.3000	2.600
b21	b22	1	c23	c24	1.0000	9.8	1	0.0918	1.0918	2.1837
b31	b32	b33	1	c34	-1.0000	-0.8000	10.1735	1	0.9795	2.0000
III			y1	x1				1.3000	1.0000
		y2	x2				1.0918	1.0000
		y3	x3				1.0000	1.0000

Элементы второй строки матрицы В вычисляются из соотношений:

с2j=, j=3, 4, 5.

3.3.4. Найти обратную матрицу А-1 методом Халецкого

Для матрицы системы (3.24) обратная матрица имеет вид:

Проверка правильности вычисления А-1 по формуле (3.14) показывает, что матрица вычислена с высокой точностью.

Формулы (3.19) для i=3, n=3 имеют вид:

d31×b11+d32×b21+d33×b31=0

d32×b22+d33×b32=0

d33×b33=1

Решается эта система, начиная с последнего уравнения. Далее используется (3.20) при n=3 и j=3:

d23+d33×c23=0

d13+d23×c12+d33×c13=0.

3.4.5. Найти l1 и х1 матрицы Ат ×А системы (3.26)

В примере рассматривается матрица Ат ×А в силу её нормальности. Система (3.22) при n=3, x3=1, и матрице (3.26) имеет вид:

x11=1/l1(102×x11+31×x21+1)

x21=1/l1(31×x11+105x21+2)

l1= ( x11+2×x21+102).

Решение её методом простых итераций даёт l1=134,6760 x1={10,5338; 11,0711; 1,0000}. Проверка правильности вычислений (3.21) показывает, что в l1 и x1 все приведённые знаки верные.

4.  ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

4.1. Порядок выполнения заданий

Задание 1. Интерполяция методом обратных расстояний.

1.  Привести полный текст варианта.

2.  Вычислить интерполирующие значения методом обратных расстояний по трем ближайшим точкам и при wi=1/r2ip.

Задание 2. Интерполяция методом Ньютона.

1. Построить таблицу конечных разностей до четвертого порядка включительно.

2. Вычислить интерполирующие значения в точках: х1, х2, х3, х4. При вычислении каждого интерполирующего значения F(xi), i=1, 2, 3, 4, использовать ту формулу Ньютона (первую или вторую), которая дает более точное значение. Указать, где вычисляется интерполирующее значение в узком смысле, а где экстраполяционное.

3.  Найти оценку точности для каждого значения F(xi), i=1, 2, 3, 4.

4.  Написать интервалы для интерполируемых значений.

5.  Нанести на график точки исходной функции и точки интерполирующей функции, полученные двумя способами:

а) методом обратных расстояний;

б) по первой и второй ИФН.

6. Визуально проанализировать точность интерполяции, полученной разными методами и написать вывод о точности интерполяции.

4.2. Варианты заданий

Таблица 1

х	у		№ варианта	Значения аргумента
1,415	0,888551		х1	х2	х3	х4
1,420	0,889599		1	1,4161	1,4625	1,4135	1,470
1,425	0,890637		11	1,4179	1,4633	1,4124	1,4655
1,430	0,891667		21	1,4263	1,4575	1,410	1,4662
1,435	0,892687
1,440	0,893698
1,445	0,894700
1,450	0,895693
1,455	0,896677
1,460	0,897653
1,465	0,898619

Таблица 2