Введение (стр. 1 )

1.  ВВЕДЕНИЕ

Построение геологических моделей основано на большом числе эмпирических (полевых) данных, которые являются приближенными, т. к. содержат ошибки измерений. Эти погрешности называют начальными.

Анализ алгоритмов, используемых при построении моделей, показывает, что многие из них при определенных ситуациях оказываются неустойчивыми. Погрешности, возникающие при этом, называют алгоритмическими. Это означает, что результаты их применения содержат ошибки, которые можно было бы значительно уменьшить при более обоснованном выборе алгоритмов. Указанная проблема в последнее время становится все более острой в связи с появлением на рынке большого числа программных приложений (GST, Petrel, LandMark, Tigress, ROXAR и т. д.), каждый из которых предоставляет пользователю большие возможности выбора алгоритмов на каждом этапе геологической интерпретации.

В связи с этим при подготовке инженеров-геологов 080500 специализации «Математические методы исследований в геологии» ведется курс «Вычислительной математики».

Глубокое освоение методов этого курса даёт основу понимания вычислительной сложности алгоритмов, используемых при построении моделей. Использование этих знаний позволит свести к возможному минимуму ошибки полученных геологических моделей.

В настоящем методическом указании рассматриваются такие разделы вычислительной математики, как теория погрешностей, элементы линейной алгебры, численное интегрирование (часть 1), методы интерполирования функций и методы аппроксимации функций (часть 2).

2. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

2.1. Порядок выполнения заданий

1. Определить: какое из двух равенств точнее.

2. Округлить числа, оставив только верные знаки. Определить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности полученных приближенных чисел. Найти интервалы точного числа двумя способами:

а) через абсолютную погрешность;

б) через относительную погрешность.

3. Вычислить значение функции u и предельную абсолютную и относительную ошибки функции u для данных значений х, у, z и абсолютных погрешностей аргументов. Значение найти двумя способами:

а) по формуле относительной погрешности непрерывной дифференцируемой функции. Для этого необходимо вначале получить формулу относительной погрешности для предложенной функции, исходя из оценки погрешности непрерывной дифференцируемой функции в общем виде (2.8);

б) по определению относительной погрешности.

4. Найти допустимые абсолютные погрешности аргументов, которые позволяют вычислить значение данной функции u = х1×х2 + х2×х3 + х1×х3 с четырьмя верными знаками после запятой. Для этого предварительно вывести формулы абсолютных погрешностей аргументов заданной функции, исходя из решения обратной задачи теории погрешностей в общем виде (2.9).

2.2. Варианты заданий

№ 1 № 2

1) =6,63; 19/41=0,4/15=0,467; =5,48.

2) а) 22,553 (±0,016); 2) а) 17,2834; d=0,3%;

б) 2,8546; d=0,3%. б) 6,4257 (±0,0024).

3) х=37,1 Dх=0,3 3) х=12,7 Dх=0,1

у=9,87 Dу=0,11 у=8,1 Dу=0,09

z=6,052 Dz=0,016. z=4,7 Dz=0,071.

4) х1=2,10х1=3,10815

x2=1,93521 x2=1,17516

х3=0,84542. х3=0,75112.

№ 3 № 4

1) =3,24; 4/17=0,2/7=2,14; =3,16.

2) а) 34,834; d=0,1% 2) а) 2,3485 (±0,0042);

б) 0,5748 (±0,0034). б) 0,34484; d=0,4%.

3) х=47,6 Dх=0,41 3) х=48,3 Dх=0,39

у=6,81 Dу=0,12 у=7,53 Dу=0,15

z=3,971 Dz=0,014. z=1,786 Dz=0,016.

4) х1=7,85х1=9,15176

x2=1,17972 x2=1,18186

х3=0,75413. х3=0,85176.

№ 5 № 6

1) 6/7=0,857; =2,/11=1,091; =2,61.

2) а) 5,435 (±0,0028); 2) а) 8,24163; d=0,2%;

б) 10,8441; d=0,5%. б) 0,12356 (±0,00036).

3) х=67,4 Dх=0,28 3) х=46,7 Dх=0,33

у=4,57 Dу=0,14 у=5,47 Dу=0,15

z=1,814 Dz=0,013. z=1,711 Dz=0,012.

4) х1=6,18х1=9,17514

x2=1,17564 x2=1,74116

х3=0,97415. х3=0,87445.

№ 7 № 8

1) 2/21=0,095; =4,/15=1,53; =3,13.

2) а) 2,4543 (±0,0032); 2) а) 23,574; d=0,2%;

б) 24,5643; d=0,1%. б) 8,3445 (±0,0022).

3) х=27,5 Dх=0,14 3) х=39,4 Dх=0,31

у=8,15 Dу=0,11 у=6,54 Dу=0,13

z=2,817 Dz=0,009. z=2,154 Dz=0,011.

4) х1=8,12х1=7,16417

x2=1,85412 x2=1,75344

х3=0,75416. х3=0,91415.

№ 9 № 10

1)6/11=0,545; =9,/19=0,889; =7,21.

2) а) 21,68563; d=0,3% 2) а) 13,537 (±0,0026);

б) 3,7834 (±0,0041). б) 7,521; d=0,12%.

3) х=44,5 Dх=0,29 3) х=48,3 Dх=0,29

у=8,15 Dу=0,14 у=5,71 Dу=0,15

z=1,759 Dz=0,09. z=1,684 Dz=0,011.

4) х1=8,16х1=9,17127

x2=1,81234 x2=1,94564

х3=0,81514. х3=0,81576.

№ 11 № 12

1)21/29=0,723; =6,/19=2,63; =5,19.

2) а) 0,3567; d=0,042% 2) а) 1,784 (±0,0063);

б) 13,6253 (±0,0021). б) 0,85637; d=0,21%.

3) х=54,7 Dх=0,28 3) х=49,4 Dх=0,24

у=6,44 Dу=0,11 у=6,71 Dу=0,12

z=1,781 Dz=0,012. z=1,814 Dz=0,09.

4) х1=8,17х1=9,75413

x2=2,81344 x2=4,75641

х3=0,81425. х3=1,12834.

№ 13 № 14

1) 13/17=0,764; =5,/22=0,318; =3,60.

2) а) 3,6878 (±0,0013); 2) а) 27,1548 (±0,0016);

б) 15,873; d=0,42%. б) 0,3945; d=0,16%.

3) х=64,7 Dх=0,31 3) х=81,2 Dх=0,27

у=7,56 Dу=0,17 у=6,14 Dу=0,30

z=1,749 Dz=0,09. z=1,471 Dz=0,12.

4) х1=8,94х1=8,17453

x2=6,17581 x2=0,94155

х3=1,13447. х3=6,17441.

№ 15 № 16

1) 17/11=1,545; =4,2/3=1,667; =6,16.

2) а) 0,8647 (±0,0013); 2) а) 3,7542; d=0,32%;

б) 24,3618; d=0,22%. б) 0,98351 (±0,00042).

3) х=74,9 Dх=0,29 3) х=84,6 Dх=0,28

у=7,15 Dу=0,22 у=6,48 Dу=0,19

z=1,916 Dz=0,11. z=1,864 Dz=0,09.

4) х1=9,53х1=9,75481

x2=6,18445 x2=5,17841

х3=1,12417. х3=1,28412.

№ 17 № 18

1)49/13=3,77; =3,/7=1,857; =2,64.

2) а) 83,736; d=0,085% 2) а) 2,8867; d=0,43%;

б) 5,6483 (±0,0017). б) 32,7486 (±0,0012).

3) х=84,7 Dх=0,31 3) х=84,7 Dх=0,28

у=5,47 Dу=0,21 у=6,47 Dу=0,15

z=2,754 Dz=0,13. z=1,754 Dz=0,09.

4) х1=8,17х1=7,94754

x2=5,41746 x2=6,53427

х3=2,11456. х3=1,12147.

№ 19 № 20

1) 19/12=1,58; =3,/11=4,64; =5,91.

2) а) 4,88445 (±0,00052); 2) а) 38,4258 (±0,0014);

б) 0,096835; d=0,32%. б) 0,66385; d=0,34%.

3) х=16,4 Dх=0,21 3) х=45,7 Dх=0,29

у=7,15 Dу=0,16 у=7,17 Dу=0,15

z=2,127 Dz=0,09. z=1,214 Dz=0,12.

4) х1=7,12х1=7,15427

x2=8,75112 x2=3,74184

х3=0,75927. х3=0,84415.

№ 21 № 22

1) 18/7=2,57; =4,/9=2,11; =4,12.

2) а) 0,39642 (±0,00022); 2) а) 5,8425; d=0,23%;

б) 46,453; d=0,15%. б) 0,66385 (±0,00042).

3) х=83,7 Dх=0,31 3) х=87,5 Dх=0,30

у=6,54 Dу=0,21 у=11,54 Dу=0,15

z=1,182 Dz=0,11. z=1,768 Dz=0,09.

4) х1=8,56х1=8,76465

x2=6,75447 x2=6,74275

х3=0,98476. х3=0,95443.

№ 23 № 24

1)16/7=2,28; =3,/13=1,54; =7,94.

2) а) 24,3872; d=0,34% 2) а) 2,3684 (±0,0017);

б) 0,75244 (±0,00013). б) 45,7832; d=0,18%.

3) х=64,5 Dх=0,29 3) х=79,9 Dх=0,29

у=11,71 Dу=0,17 у=9,75 Dу=0,17

z=1,841 Dz=0,08. z=1,165 Dz=0,09.

4) х1=9,17х1=8,17644

x2=0,75441 x2=0,19561

х3=7,14556. х3=9,17441.

№ 25 № 26

1)12/7=1,71; =6,/7=0,857; =6,40.

2) а) 72,354; d=0,24% 2) а) 0,36127 (±0,00034);

б) 0,38725 (±0,00112). б) 46,7843; d=0,32%.

3) х=84,5 Dх=0,32 3) х=75,9 Dх=0,34

у=8,94 Dу=0,21 у=6,12 Dу=0,17

z=1,754 Dz=0,08. z=0,975 Dz=0,07.

4) х1=7,18х1=8,15141

x2=2,24157 x2=3,27154

х3=0,75416. х3=0,84114.

№ 27 № 28

1)23/9=2,56; =9,/31=0,872; =6,48.

2) а) 23,7564; d=0,44% 2) а) 15,8372 (±0,0026);

б) 4,57633 (±0,00042). б) 0,088748; d=0,56%.

3) х=91,7 Dх=0,39 3) х=92,9 Dх=0,42

у=8,14 Dу=0,18 у=11,44 Dу=0,21

z=1,124 Dz=0,06. z=1,711 Dz=0,08.

4) х1=9,97х1=8,25661

x2=2,84114 x2=3,70415

х3=0,79405. х3=1,81615.

№ 29 № 30

1)7/3=2,33; =7,/17=0,823; =7,28.

2) а) 3,87683; d=0,33% 2) а) 0,66835 (±0,00115);

б) 13,5726 (±0,0072). б) 23,3748; d=0,27%.

3) х=54,2 Dх=0,23 3) х=79,9 Dх=0,37

у=12,11 Dу=0,17 у=24,15 Dу=0,19

z=2,124 Dz=0,10. z=1,184 Dz=0,12.

4) х1=7,12х1=9,87154

x2=4,90415 x2=3,91164

х3=0,12715. х3=1,17156

Функции к вариантам заданий

№ 1-2 u = x×y2×z3

№ 3-4 u = x3×y2×z

№ 5-6 u = x×y3×z2

№ 7-8 u = x2×y×z3

№ 9-10 u = x3×y2×z

№ 11-12 u = x3×y×z2

№ 13-14 u = x2×y3×z

№ 15-16 u = x2×y2×z3

№ 17-18 u = x2×y2×z2

№ 19-20 u = x3×y2×z2

№ 21-22 u = x2×y3×z2

№ 23-24 u = x2×y3×z3

№ 25-26 u = x×y4×z2

№ 27-28 u = x4×y×z

№ 29-30 u = x×y4×z

2.3. Решение одного варианта

1) 9/11=0,818; =4,24;

2) а) 72,353(); б) 2,3544;=0,2%;

3) а) 0,4357; б) 12,384.

1) Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков: =9/11=0,81818…,==4,2426. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности:

, =.

Предельные относительные погрешности составляют

,

.

Так как , то равенство 9/11=0,818 является более точным.

2) а) Пусть 72,353(0,026). Согласно условию, предельная абсолютнаяпогрешность =0,026, значит, число верных знаков m=3, а=72.4 (т. е. в числе 72,353 верными являются цифры 7, 2, 3). Предельная абсолютная погрешность полученного приближения =0,026+0,047=0,073. Предельная относительная погрешность приближения а . Интервалы точного числа через предельную абсолютную погрешность (2.3):

72,4-0,073 £ А £ 72,4+0,073

72,327£ А £ 72,473,

через предельную относительную погрешность (2.4):

72,4(1-0,00101) £ А £ 72,4(1+0,00101)

72,327£ А £ 72,473

б) а=2,3544; =0,2%=0,002; =×а=0,00471.

Далее аналогично вычислениям в предыдущем пункте.

3) а) u=x×y2×z3, х = 1,2; у = 2,1; z = 1,6; Dх = 0,17; Dу = 0,05; Dz=0,02.

u (1,2; 2,1; 0,6)= 21,67603.

Формула (2.7) для рассматриваемой функции имеет вид:

Du=y2×z3Dх+2×х×у×z3×Dу+3×х×у2×z2×Dz.

Для заданных значений Du=4,915814.

Исходя их формулы (2.8), получим выражение для относительной погрешности:

Отсюда, .

б) .

4) Для функции u=x2+y2+z3 выражения допустимых абсолютных погрешностей аргументов (2.9) имеют вид:

Пусть х=12,14; у=7,89; z=2,17; Du=0,00005 (по условию задачи на стр. 8). Тогда Dх=0,0000041; Dу=0,0000063; Dz=0,000023.

3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

3.1. Порядок выполнения заданий

Задание 1. Решение системы линейных уравнений методом простых итераций.

1.  Привести полный текст варианта.

2.  Преобразовать систему линейных уравнений к виду, необходимому для метода простых итераций.

3.  Проверить условие сходимости метода простых итераций.

4.  Определить, какова должна быть норма разности векторов на двух соседних итерациях , гарантирующая получение решения с заданной точностью =0,005.

5.  Решить систему методом простых итераций, используя результаты предыдущего пункта для остановки итерационного процесса.

6.  Написать интервалы для точного решения системы линейных уравнений.

Задание 2. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя.

1.  Преобразовать систему линейных уравнений к эквивалентному нормальному виду для решения ее методом Зейделя.

2.  Решить преобразованную систему методом Зейделя, сделав 5 итераций.

3.  Найти предельную абсолютную погрешность приближения, найденного на пятой итерации.

4.  Написать интервалы точного решения системы линейных уравнений.

Задание 3. Решение системы линейных уравнений методом Халецкого.

1.  Найти треугольные матрицы В и С, удовлетворяющие условию: .

2.  Определить вектор и вектор .

3.  Сравнить точность вектора и приближений, найденных методами простых итераций и Зейделя. Оценить погрешность решения, найденного методом Халецкого, взяв за точное решение приближение, найденное методом простых итераций.

4.  Уточнить решение , если его абсолютная погрешность превышает 0,05.

Задание 4. Нахождение обратной матрицы методом Халецкого.

1.  Найти обратную матрицу А-1, используя матрицы В и С, вычисленные в задании 3.

2.  Сделать проверку правильности вычисления А-1, используя определение обратной матрицы.

Задание 5. Собственные вектора и собственные числа квадратных матриц.

1.  Найти одно собственное число и соответствующий собственный вектор для нормальной матрицы, вычисленной в задании 2.

2.  Сделать проверку правильности вычислений, на основе определения собственных чисел и собственных векторов.

3.  Составить систему линейных уравнений для нахождения второго собственного числа и соответствующего собственного вектора. При составлении системы учесть свойство ортогональности собственных векторов нормальных матриц.

3.2. Варианты заданий

№ 1 10х1+2х2 +2х3 +2х4=16 -х1+10х2- х3 - х4=7 -2х1 - х2 +10х3+2х4=9 -х1 - х2 - 2х3 + 10х4=6	№ 2 10х1+ х2+ х3 + х4=13 х1+10х2 - х3 - х4=9 х1+ 2х2+10х3+ х4=14 -х1 - х2- х3+ 10х4=7
№ 3 10х1+2х2+ х3 +2х4=15 2х1+10х2+2х3+2х4=16 х1+х2+10х3+2х4=14 -х1-х2- х3+10х4=7	№ 4 10х1+2х2+2х3+ х4=15 х1+10х2+2х3 - 2х4=11 2х1+2х2+10х3 - 2х4=12 -2х1 - 2х2+2х3+10х4=8
№ 5 10х1+х2+2 х3+ х4=14 -х1+10х2- х3- 2х4=6 2х1+2х2 +10х3+ х4=15 -х1+х2+2х3+10 х4=12	№ 6 10х1+х2+ х3+ х4=13 х1+10х2+2х3-2х4=11 -х1+х2+10х3+2х4=12 -х1-2х2- 2х3+10х4=5
	№ 7 10х1+2х2+ х3- х4=12 -х1+10х2- х3-2х4=6 -х1-2х2+ 10х3+ х4=8 -2х1+2х2+ 2х3+ 10х4=12	№ 8 10х1+х2+ х3+ 2х4=14 -х1+10х2- х3 -2 х4=6 2х1+2х2+ 10х3+ х4=15 -х1-2х2+х3+10х4=8
	№ 9 10х1+2х2+3х3+3х4=18 -х1+10х2+ 2х3+2х4=13 -2х1-2х2+10х3- 2х4=4 2х1+х2+х3+10х4=14	№ 10 10х1+х2+2х3+ 2х4=15 -х1+10х2-х3- 2х4=6 2х1+2х2+10х3+ 2х4=16 -х1-х2-х3+ 10х4=7
	№ 11 10х1+х2+2х3+ 2х4=15 х1+10х2+х3+ х4=13 -х1-х2+10х3+ 2х4=10 -х1-х2+х3+10 х4=9	№ 12 10х1+2х2+х3+ х4=14 х1+10х2-2х3- 2х4=7 2х1+2х2+10х3+ 2х4=16 -х1-х2+2х3+ 10х4=10
	№ 13 10х1+2х2+2х3+ 2х4=16 х1+10х2-2х3-2 х4=7 2х1+3х2+10х3+ 2х4=17 -2х1-2х2-2х3+ 10х4=4	№ 14 10х1+х2+2х3+ х4=14 х1+10х2+х3- х4=11 х1+х2+10х3+ 3х4=15 -х1-х2-х3+ 10х4=7
	№ 15 10х1+х2+х3+ х4=13 х1+10х2 - х3 - х4=9 -х1 - х2+10х3 - х4=7 2х1+2х2+х3+ 10х4=15	№ 16 10х1+х2+х3+ х4=13 2х1+10х2+2х3+ х4=15 -х1-х2+10х3- х4=7 -2х1-2х2+х3+ 10х4=7
	№ 17 10х1+х2+х3+ 2х4=14 х1+10х2-х3- х4=9 х1+х2+10х3+ х4=13 х1-х2-2х3+ 10х4=8	№ 18 10х1+х2+х3+ х4=13 х1+10х2+2х3- х4=12 -х1-х2+10х3+ х4=9 х1-2х2+2х3+ 10х4=11
	№ 19 10х1+х2 + 2х3+ 3х4=16 х1+10х2-2х3- 2х4 =7 -х1-2х2+10х3-2х4=5 2х1+3х2+2х3+ 10х4=17	№ 20 10х1+3х2 + 2х3+ 3х4=18 -х1+10х2 - 2х3 - 2х4=5 х1+х2 + 10х3+ х4=13 2х1-2х2 + х3+ 10х4=11
	№ 21 10х1+х2 + 2х3+ х4=14 х1+10х2 - х3 - х4=9 х1+2х2 + 10х3- 3х4=10 х1+х2 + х3+ 10х4=13	№ 22 10х1+х2 - 2х3- 2х4=7 х1+10х2 + х3 - 4х4=8 х1+2х2 + 10х3 - 3х4=10 х1 + х2 + 2х3+ 10х4=14
	№ 23 10х1+2х2 - 2х3 - х4=9 -х1+10х2 - 2х3- 2х4=5 х1+х2 + 10х3+ х4=13 -х1- х2 + 2х3+ 10х4=10	№ 24 10х1- х2 - 2х3-2х4=5 2х1+10х2 + х3+ 2х4=15 -х1- х2 + 10х3-2х4=6 -2х1-2х2 - 2х3+10х4=4
	№ 25 10х1+х2 - 2х3 - 2х4=7 -х1+10х2 + х3 - 2х4=8 х1-2х2 +10х3+2х4=11 2х1+2х2 + 2х3+ 10х4=16	№ 26 10х1-х2 - х3 - 2х4=6 х1+10х2 - 2х3 - 2х4=7 х1+х2 + 10х3- 2х4=10 х1+х2 + х3+ 10х4=13
	№27 10х1+х2 + 2х3 + 2х4=15 -х1+10х2 + 2х3 + 2х4=13 -х1- 2х2 + 10х3 - 2х4=5 2х1+2х2 + 3х3+10х4=17	№28 10х1+2х2 + х3 + х4=14 -2х1+10х2 +3х3 + 3х4=14 х1+х2 +10х3 + х4=13 -х1- х2 + х3 + 10х4=9
	№ 29 10х1+х2 + 2х3 + 2х4=15 х1+10х2 + 3х3 + х4=15 2х1+2х2 + 10х3 + 2х4=16 х1+х2 + х3 + 10х4=13	№30 10х1+х2 - х3 - х4=9 х1+10х2 - 3х3 + 2х4=10 -х1+2х2 +10х3 - 2х4=9 х1+2х2 + 2х3 + 10х4=15

3.3. Решение одного варианта

3.3.1. Решить систему линейных уравнений

10х1+2х2+х3=13

х1+10х2+х3=12 (3.24)

-х1-х2+10х3=8

с точностью ε=0,001.

Преобразуем систему (3.24) к виду:

х1=1,3 - 0,2х2 – 0,1х3

х2=1,2 – 0,1х1 – 0,1х3 (3.25)

х3=0,8 + 0,1х1 + 0,1х2

Так как ||В|| системы (3.25) удовлетворяет неравенству ||В||<1 (по формуле 3.4), то согласно теореме 1 метод простых итераций для заданной системы сходится. На основе неравенства (3.6) определим величину ||||. Для этого найдем ||В||=0,3. Тогда ||||£. За нулевое приближение решения системы (3.24) примем: х10=1,3; х20=1,2; х30=0,8. Подставляя эти значения и последующие найденные приближения в (3.3), получим последовательность итераций, которая приведена в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций

Номер итерации i	0	1	2	3	4
хiк	1,3	0,98	0,997	1,0009	0,99994
х2к	1,2	0,99	0,997	1,0006	0,99997
х3к	0,8	1,05	0,997	0,9994	1,00015

Из табл. 3.1 видно, что ||х4 - х3||£0,002, это означает, что приближение х4 имеет предельную абсолютную погрешность 0,005.