Функции и их свойства (стр. 2 )

спокойно отвечать и переставать говорить, когда нечего больше говорить”

И. Лафатер.

Тема: Уравнения и системы уравнений А-94

№	Вопросы	Ответы
1.	Кому из великих математиков и физиков принадлежат слова «Язык алгебры - уравнения»?	Так писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Т. е. нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебры.
2.	Что такое уравнение?	Два выражения с переменными, соединенные знаком равенства.
3.	Какими свойствами обладает уравнение?	1.  Можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив знак. 2.  Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, неравное нулю. 3.  Если обе части уравнения дробные выражения, то можно их «накрест» умножить и получить целое уравнение, при этом учесть ОДЗ.
4.	Что такое корень уравнения?	Значение переменной, при котором данное уравнение обращается в нуль.
5.	Как определяют степень уравнения?	Степень многочлена стандартного вида называют степенью уравнения.
6.	Что значит решить уравнение с одной переменной?	Это значить найти все его корни или доказать, что корней нет.
7.	Какие уравнения называются равносильными?	Уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие решений.
= ≥ 0   2 = 2   ≠ 0, ≠ 0   · = ·   = 0   = 0   8.	Покажите равносильность уравнений в символической форме (схема равносильности уравнений).	1.  · = 0 2. = 3. =
9.	В чем состоит геометрический смысл решения уравнения?	В нахождении абсцисс точек пересечения графика функции с осью 0х или с прямой у = 0.
10.	В чём состоит обычный путь решения алгебраических уравнений?	С помощью преобразований сводят его к более простому уравнению.
11.	Кто из великих математиков доказал основную теорему алгебры?	.
12.	Сформулируйте основную теорему алгебры.	Всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень действительный или мнимый.
13.	Сформулируйте теорему о числе действительных корней уравнения.	Число действительных корней уравнения не больше его степени, т. е. уравнение n-й степени имеет не более n корней.
14.	Что означает представление уравнения в канонической форме и кто впервые стал систематически их применять?	Представление уравнения в виде f(x)=0, где правая часть уравнения равна нулю. Впервые стал их применять французский математик и философ Рене Декарт.
15.	Какие уравнения называются однородными?	Уравнения, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень.
16.	Какие уравнения называются диофантовыми?	Уравнения, корнями которого являются целые числа.
17.	Какие уравнения вы знаете?	1.  Линейные уравнения. 4. Квадратные уравнения. 5. Биквадратные уравнения. 6.  Уравнения, приводимые к квадратным. 7.  Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 8.  Уравнения с параметрами. 9.  Простейшие степенные уравнения 10.  Двучленные уравнения. 11.  Возвратные уравнения. 12.  Уравнения высших степеней. 13.  Иррациональные уравнения. 14.  Однородные уравнения.
18.	Перечислите методы решения уравнений.	I.  Методы разложения на множители: 1.  Вынесение общего множителя за знак скобки. 2.  Формулы сокращенного умножения. 3.  Способ группировки. 4.  Комбинация методов разложения, т. е. «искусственные» преобразования – разбиение отдельных членов на подобные слагаемые или введение взаимно уничтожающихся членов. 5.  Применение т. Безу и метода неопределенных коэффициентов. II.  По общей формуле. III.  Метод введения новой переменной. IV.  Графический способ. V.  Метод подбора рациональных корней уравнения.
19.	Какое уравнение называется линейным?	Уравнение вида .
20.	Сколько корней имеет линейное уравнение?	1.  При имеет единств. корень . 2.  При a=0 и b≠0 не имеет корней. 3.  При a=0 и b=0 имеет бесконечно много решений.
21.	Чем было вызвано в древности решение кв. уравнений?	Потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, а также с развитием астрономии и самой математики.
22.	Какое уравнение называется квадратным?	Уравнение вида , где .
23.	Как определяют число корней уравнения?	Число корней кв. уравнения определяют по дискриминанту. Если , 2 корня. , единств. корень , не имеет корней.
24.	Когда кв. уравнение называется приведенным?	При , т. е. уравнение вида.
25.	Какие уравнения называются неполными кв. уравнениями и как они решаются?	1.  При , . Разлагаем на множители способом вынесения общего множителя за знак скобки. 2.  При , , т. е. . Если имеет два корня Если не имеет корней. 3.  При и , имеет единств. корень .
26.	Назовите общую формулу нахождения корней кв. уравнения.	I.  , II.  , где b – чётное число.
27.	Какая теорема устанавливает связь между коэффициентами кв. уравнения и его корнями?	т. Виета: , для приведенного кв. уравнения. , для полного кв. уравнения.
28.	Что можно определить по коэффициентам квадратного уравнения?	-  знаки корней уравнения -  сумму и произведение корней -  какой из корней больше по модулю -  зная один из корней можно найти второй -  сколько имеет корней.
29.	Можно ли определить знаки корней уравнения по знакам его коэффициентов?	1.  Если , то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположного второму знаку уравнения. т. е. Если p и q «+», «+», то корни «-», «-». «-», «+», то корни «+», «+». 2.  Если , то меньшему корню присваивается второй знак уравнения. т. е. если p и q «+», «-», то меньшей «+», больший «-». Если p и q «-»,«-», то меньший «-», больший «+».
30.	Сформулируйте алгоритм устного решения приведенного кв. уравнения.	1.  Число q разлагаем на множители. 2.  Отбираем те множители разность которых равна p. 3.  Определяем знаки корней уравнения.
31.	Сформулируйте алгоритм устного решения полного кв. уравнения.	1.  Представляем корни уравнения в виде: и . 2.  При этом учитываем, что . 3.  Определяем знаки корней уравнения.
32.	Какое уравнение называется биквадратным и как оно решается?	Уравнение вида где , являющееся квадратным относительно . Решают методом введения новой переменной .
33.	Какое уравнение называется кубическим?	Алгебраическое уравнение третьей степени вида , где a,b,c,d – некоторые числа, причём a≠0. Корни могут быть найдены по формуле Джероламо Кардано, итальянского математика, врача и философа.
34.	Как решают дробные уравнения?	1). Найти общий знаменатель. 2). Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3). Решить получившееся целое уравнение. 4). Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
35.	Сформулируйте т. Виета для кубического уравнения вида , где корни и коэффициенты уравнения действительные числа.	По т. Виета , где .
36.	Какие уравнения называются двучленными?	Уравнения вида (, ) заменой приводятся к виду .
37.	Какие уравнения называются возвратными?	Уравнения четвертой степени вида называются возвратными, если существует число такое, что . Решается методом введения новой переменной , если в возвратном уравнении сделать замену , то относительно нового неизвестного получим прежнее уравнение, т. е. «возвратимся» к исходному уравнению.
38.	Какие уравнения являются частными случаями возвратных уравнений?	а). Симметрические уравнения . б). Кососимметрические уравнения .
39.	Как они решаются?	а). При λ=1 подстановкой б). При λ=-1 подстановкой .
40.	Кто впервые доказал неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени?	Нильс Абель – норвежский математик.
41.	В чём заключается решение уравнений методом подбора рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами?	Находя методом подбора корень уравнения, тем самым понижают степень уравнения на единицу.
42.	Как находят рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами?	Рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами следует искать лишь среди чисел вида , где p и q – всевозможные делители (как положительные так и отрицательные) соответственно свободного члена уравнения и коэффициента при старшей степени. В частности, целые корни следует искать лишь среди делителей свободного члена.
43.	Какими методами решаются уравнения высших степеней? (>2).	С помощью преобразований сводят его к более простому уравнению: методом введения новой переменной, методом разложения на множители, графическим способом, комбинацией различных методов.
44.	Что называют системой уравнений?	Совокупность двух или более уравнений, рассматриваемых совместно, называют системой уравнений.
45.	Как классифицируют системы уравнений?	Названия систем уравнений определяют по числу и характеру уравнений, входящих в систему.
46.	Что значит решить систему уравнений?	Это, значит, найти все её решения или доказать, что решений нет.
47.	Перечислите свойства систем.	1)  Любое уравнение системы можно заменить уравнением ему равносильным, при этом получится равносильная система. 2)  Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой – либо переменной через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы данную переменную на её выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной (метод подстановки).
48.	Когда система называется совместной (или несовместной)?	Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, а если не имеет решений, то говорят что она противоречивая, или несовместная.
49.	Что значит решить графически систему уравнений: а) с одной переменной, б) с двумя переменными?	Надо построить в одной системе координат графики обеих функций и найти: а) абсциссы точек пересечения этих графиков. б) координаты точек пересечения этих графиков.
50.	Когда система уравнений имеет единственное решение?	Если коэффициенты при х и у не пропорциональны, т. е.
51.	Когда система уравнений не имеет решений?	Если коэффициенты при х и у пропорциональны, т. е.
52.	Когда система уравнений имеет бесконечно много решений?	Если пропорциональны все три пары коэффициентов, т. е.
53.	Перечислите способы решения систем уравнений.	I.  Аналитические: 1) Метод подстановки, 2)  Метод сложения или метод исключения неизвестных, 3)  Метод введения новой переменной, 4)  Метод Крамера для решения систем линейных уравнений II.  Графический способ.
54.	Какой способ решения линейной системы называется методом Гаусса?	Метод сложения или метод исключения неизвестных.
55.	Какие системы называются симметричными и как они решаются?	Составленные из выражений являющихся симметричными относительно всех неизвестных. Решаются методом введения новой переменной u=x+y и v=xy.
56.	Где применяется решение системы уравнений?	При решении текстовых задач, при нахождении точек пересечения графиков функций, при решении задач на равносильность.
57.	Какое уравнение называется иррациональным?	Содержащее неизвестное под знаком радикала.
58.	Как решаются иррациональные уравнения?	Одним из стандартных приемов решения иррациональных уравнений является освобождение от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень. При решении уравнений этим способом надо предварительно указать множество допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения и иметь в виду следующие свойства уравнений: 1)  При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному. 2)  При возведении в четную степень получается уравнение, равносильное исходному при условии, если знаки обеих частей уравнения совпадают.
59.	С уравнениями, каких замечательных кривых вы знакомы?	1)  Лемниската Бернулли (бантик) 2)  Декартов лист 3)  Эллипс 4)  Астроида 5). Улитка Паскаля 6) |х|+|у|=а – уравнение квадрата. 7) Локон Аньези

“Мало знать, надо и применять

Мало хотеть, надо и делать”.