Функции и их свойства (стр. 1 )

“Умение ставить разумные вопросы

есть уже важный и необходимый

признак ума и проницательности”.

И. Кант.

Тема: Функции и их свойства. А-91

№	Вопросы	Ответы
1.	Дайте определение функции.	Зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у называется функцией.
2.	Что называется областью определения функции (ОДЗ или Д (у))?	Все значения независимой переменной х образуют область определения функции.
3.	Что называется областью значений функции (Е(у))?	Все значения, которые принимает зависимая переменная у образуют область значений функции.
4.	Что называется графиком функции?	Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, называется графиком функции.
5.	Дайте определение возрастающей (убывающей) функции.	Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
6.	Что дает наглядное представление о характере изменения функции?	График функции.
7.	Что называют нулями функции?	Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.
8.	Перечислите способы задания функции.	Функцию можно задать словесным описанием, таблицей, перечислением множества пар , формулой, графически.
9.	С графиками каких функций вы знакомы?	Прямой пропорциональности , линейной функции , обратной пропорциональности, квадратичной , кубической , степенной .
10.	По какой схеме исследуют график функции?	1.  Вид функции 2.  Наименование графика функции. 3.  Примерное расположение графика функции в зависимости от коэффициента а (или к). 4.  Область определения D(y), область значений функции E(y). 5.  Знакопостоянство (y> 0, y<0). 6.  Нули функции (y = 0). 7.  Монотонность функции (возрастание, убывание). 8.  Наибольшее, наименьшее значения функции. 9.  Непрерывность функции (разрывность, асимптоты). 10.  Четность, нечетность функции (симметричность). 11.  Параллельный перенос графика функции.
11.	Можно ли определить по формуле параллельность прямых?.	Да. Если коэффициенты при х одинаковы.
12.	Можно ли определить по формуле перпендикулярность прямых?.	Да. К1= - Например: y1=3x+4 и y1= - x- 7. Графики этих функций перпендикулярны, независимо от коэффициента b.
13.	Как определяют угол наклона прямой к положительной полуоси 0 х?	Если к> 0, то угол наклона острый. Если к< 0, то угол наклона тупой.
14.	Можно ли написать уравнение прямой, зная координаты точек, через которые она проходит?	Да. Находя и решая систему уравнений
15.	Можно ли определить величину угла наклона прямой?	Частично да (или по таблице Брадиса) , т. е. , , , , , ит. д.
16.	С графиками каких более сложных функций вы знакомы?	- функции, содержащие знак абсолютной величины или модуль y=|х| Функции, заданные разными формулами на различных промежутках области определения.
17.	Какая связь существует между параболой, гиперболой и эллипсом?	Их можно получить при сечении конуса плоскостью, поэтому их называют коническими сечениями. Конические сечения изучали ещё древнегреческие геометры и теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии.
18.	Кто из древнегреческих математиков наиболее полно исследовал конические сечения?	Апполоний Пергский (ок. 260 – 170 лет до н. э.) – древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида. Дал полное изложение в основном труде «Конические сечения» (8 книг).
19.	Какую роль играют конические сечения в природе?	Играют важную роль. Например, по эллиптическим, параболическим, гиперболическим орбитам движутся планеты и кометы вокруг солнца. Свойства конических сечений используются в науке и технике.
20.	Благодаря чему была установлена тесная связь между алгеброй и геометрией?	Благодаря методу координат Рене Декарта. (Работа «Геометрия» 1637г.)

“Знание только тогда знание, когда оно

приобретено усилиями своей мысли,

а не памятью”

Тема: Квадратичная функция. А-92

№	Вопросы	Ответы
1.	Дайте определение квадратного трёхчлена.	Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ах2+вх+с, где х – переменная, а, в,с –некоторые числа, причём а≠ 0.
2.	Что называется корнем квадратного трёхчлена?	Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трёхчлена равно 0.
3.	Как определяется число корней квадратного трёхчлена?	Число корней квадратного трёхчлена определяется по дискриминанту. Если D>0 , 2 корня. D=0 , единственный корень. D<0 , не имеет корней.
4.	Какое преобразование называется выделением квадрата двучлена из квадратного трёхчлена?	Представление квадратного трёхчлена в виде а(х-m)2+n.
5.	Как выделяется квадрат двучлена из квадратного трёхчлена?	1.  Делим на коэффициент а. 2.  Определяем число m. 3.  Выделяем квадрат двучлена. 4.  Вычитаем то, что дополнили и находим n.
6.	Где применяется выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена?	При выделении квадрата двучлена, при построении графика квадратичной функции, при определении знака квадратного трехчлена, при решении уравнений, при построении графика дробно – линейной функции.
7.	Сформулируйте теорему о разложении квадратного трёхчлена на множители.	Если х1 и х2 – корни квадратного трёхчлена, то ах2+вх+с=а(х-х1)·(х-х2).
8.	Как доказывается теорема?	1.  Вынесем коэффициент а за знак скобки. 2.  Применим m. Виета () 3.  Раскроем скобку и применим метод группировки, а теперь докажи.
9.	Дайте определение квадратичной функции.	Функция, которую можно задать формулой вида , где х – переменная, a, b, c – некоторые числа, причём , называется квадратичной функцией.
10.	Перечислите свойства графика функции .	y=ax2 – квадратичная функция. При а>0(а<0) ветви параболы направлены ↑(↓). Графиком является парабола. Четная функция. Симметрична относительно оси Оу. Промежутки знакопостоянства… Нули функции… Промежутки монотонности… Наибольшее или наименьшее значения функции… Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
11.	Как строятся графики функций: а) у=ах2 б) у=ах2+n, в) у=а(х-m)2 г) у=а(х-m)2+n, д) у=ах2+вх+с.	а) Как график функции Остальные строятся при помощи параллельного переноса графика функции у=ах2. б) Вверх или вниз по оси 0у. в) Вправо или влево по оси 0х. г) Вправо или влево по оси 0х и вверх или вниз по оси 0у. д) Находим координаты вершины параболы , и совершаем параллельный перенос графика функции у=ах2.
12.	Как находят координаты точек пересечения графиков функций?	Приравнивая их уравнения, находим корни получившегося уравнения. Подставляя эти значения в одно из уравнений находим значения у, а затем пишем координаты точек пересечения графиков функций.
13.	Как определяем, что точка принадлежит графику функции?	Подставляя значение абсциссы вместо х находим значение функции. Если это значение совпадает со значением ординаты, то точка принадлежит графику функции.
14	Что можно определить по графику функции?	Вид функции, коэффициент а, координаты вершины параболы, промежутки знакопостоянства, монотонности, минимальное или максимальное значения функции, корни, формулу, четность, D(у), E(у), непрерывность.
15.	Где впервые научились решать квадратные трёхчлены?	В древнем Вавилоне (ок. 2000 лет до н. э.)
16.	Как строится график функции х=у2?	«Меняем» оси координат.
17.	Как строится график функции у=|х2+вх+с|.	у≥0, поэтому симметрично относительно оси 0х.
18	Как строится график функции у=ах2+в|х|+с?	Симметрично относительно оси 0у.
19	Как строится график дробно – линейной функции ?	Выносим коэффициент с за знак скобки, тем самым выделяем двучлен в знаменателе. Выносим за знак скобки коэффициент а и дополняем двучлен до первого двучлена. Затем вычитаем то, что дополнили и делим почленно сумму. Тем самым представим дробь в виде у=n+ График функции получается от параллельного переноса графика функции вправо или влево вдоль оси 0х и вверх или вниз по оси 0у. х= - m, y= n – асимптоты.

“Ум хорошо устроенный лучше,

чем ум хорошо наполненный”

Тема: Неравенства. А-93

№	Вопросы	Ответы
1.	Когда возникло понятие неравенства?	В глубокой древности, как и понятие равенства.
2.	Что такое неравенство?	Запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные и соединенные знаком > или< (≥ или ≤), называется неравенством.
3.	Какие неравенства называется строгими, а какие нестрогими?	Неравенства, составленные с помощью знаков > или < называются строгими, а неравенства, составленные с помощью знаков ≥0 или ≤0 – нестрогими.
4.	Кто и когда ввел знаки строгих (нестрогих) неравенств?	В 1631 г. английский учёный Гарриот. (Вторично 1734г. французский математик Пьер Буге).
5.	Какие неравенства называются числовыми?	Неравенства, содержащие только числа, называются числовыми неравенствами.
6.	Какие неравенства называются неравенствами одинакового смысла, а какие противоположного смысла?	Два неравенства вида а>в и с>d (а<в и с<в) называются неравенствами одинакового смысла, а неравенства вида а>в и с<d (a<в и с>d) неравенствами противоположного смысла.
7.	Какое неравенство называется истинным?	Если неравенство представляет собой истинное высказывание.
8.	Что значит решить неравенство, содержащее переменную?	Это значит, найти все значения переменной, при которых данное неравенство является верным или доказать, что решений нет.
9.	Какие неравенства называются равносильными?	Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.
10.	Перечислите свойства неравенств.	1.  Если а>в, то в<а. 2.  а>в и в>с то а>с. (свойство транзитивности). 3.  Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т. е. если а>в, то а+с >в+с. 4.  Если из одной части неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство. Например: если а+в>с , то а-с> - в. 5.  Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например: если а>в, то ас> вс (с>0). 6.  Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на протиположный, то получится верное неравенство. Например: Если а>в, то а x•(-1)< в• (-1), т. е. -а<-в. 7.  Так как деление можно заменить умножением на число обратное делителю, то аналогичные правила можно применить и к делителю. Например: Если а>в |:3, то , то
11.	Сформулируйте правила действий с неравенствами.	1.  Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Например: или 2.  Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание. Например: 3.  Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать. Например: Если a>b>0 и c>d>0, то ac>bd. 4.  Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень. Например: Если a> b>0 и c>0, то aк>bк, . верно и обратное: Если aк>bк и a>0, b>0, к є N, то а>.b.
12.	Какие неравенства называются двойными?	Вместо двух неравенств а.<b, b<c употребляется запись a<b<c Такие неравенства называются двойными.
13.	Как решают двойные неравенства?	Например: Решить двойное неравенство c<ax+b<d. Сперва почленно вычитают число b, а затем почленно делят на коэффициент а.
14.	Что значит решить совокупность неравенств?	Если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо решить совокупность неравенств. Неравенства, образующие совокупность, объединяют квадратной скобкой. Например:
15.	Какие неравенства называются квадратными или неравенствами второй степени с одной переменной?	Неравенства вида (или <0), где х – переменная, а,b,c – некоторые числа, причём а≠0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.
16.	Что значит решить квадратное неравенство?	Нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
17.	Перечислите методы решения неравенств?	1.  Изображение множества чисел, удовлетворяющих неравенству, на координатной прямой при решении линейных неравенств (штриховка). 4. Изображение множества решений на координатной плоскости (ГМТ – геом. место точек) при решении неравенств с двумя переменными.
18.	Как решают неравенства методом интервалов?	Находят нули, определяют знаки на числовых промежутках, выбирают те промежутки, которые удовлетворяют данному неравенству.
19.	Как решают рациональные неравенства?	(или <0) Путём замены равносильным ему, при этом учитывается ОДЗ.
20.	Что значит решить систему неравенств?	Это, значит, найти общие решения двух или нескольких неравенств, т. е. найти всё её решения или доказать, что решений нет.
21.	Что называется решением системы неравенств?	Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
22.	Где применяются неравенства?	1.  При нахождении ОДЗ. 2.  При определении промежутков монотонности функции. 3.  При сравнении выражений. 4.  При доказательстве утверждений. 5.  При решении текстовых задач.
23.	Как решают неравенства, содержащие переменную под знаком модуля?	При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля:
24.	Как решаются иррациональные неравенства?	Как совокупность двух систем неравенств. Например:
25.	С решениями каких неравенств вы знакомы?	1.  Линейные. 2.  Квадратные. 3.  Рациональные (иррациональные). 4.  Целые (представленные в виде произведения многочленов). 5.  Двойные. 6.  С двумя переменными. 7.  Системы неравенств 8.  Совокупности неравенств. 9.  Содержащие переменную под знаком модуля. 10.  Высших степеней.

“Хочешь быть умным, научись разумно спрашивать, внимательно слушать,