Функции и их свойства (стр. 3 )

Гёте.

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии. А - 95

№	Вопросы	Ответы
1.	Когда возникло понятие числовой последовательности?	Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.
2.	Привести примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности.	1)  Последовательность натуральных чисел, 2)  Последовательность четных чисел, 3)  Последовательность нечетных чисел, 4)  Последовательность квадратов натуральных чисел, 5)  Последовательность простых чисел, 6)  Последовательность составных чисел, 7)  - последовательность чисел, обратных нат. числам и т. д.
3.	Как рассматриваются в настоящее время числовые последовательности?	Как частные случаи функции. Арифметическая прогрессия является линейной функцией от натурального аргумента, а геометрическая прогрессия показательной функцией от натурального аргумента. Прогрессии являются частными видами числовых последовательностей.
4.	Где встречаются задачи древности на прогрессии?	В клинописных табличках вавилонян и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до нашей эры. Эти задачи связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики. Например: задачи на распределение продуктов, деление наследства и т. д.
5.	В чем популярность задачи-легенды о награде изобретателю шахматной игры?	Популярность задачи в том, что даже подданный может посмеяться над царем, если он умный. Это задача на нахождение суммы 64-х членов геометрической прогрессии. вn: в1=1, q=2. Сета потребовал S64 пшеничных зерен. Царь Шерам был не в состоянии выполнить это «скромное желание» Сеты, т. к. это 20-тизначное число, которое » урожаю в 2000 раз большей, чем урожай со всей поверхности Земли.
6.	В каких трудах встречаются некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям?	В теоретических сведениях, связанных с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V веке до нашей эры греки знали следующие прогрессии и их суммы: 1)  1+2+3+…+n= - сумма натуральных чисел. 2)  2+4+6+…+2n=n(n+1) – сумма четных чисел 3)  12+22+32+…+n2- сумма квадратов натуральных чисел (квадратных чисел). 4)  - формула n-го пирамидального числа и т. д.
7.	Какую задачу решил маленький Гаусс в 9 лет?	Задачу на нахождение суммы 100 первых натуральных чисел (за 1 минуту).
8.	Перечислите способы задания последовательности.	1)  Перечислением 2)  Словесным описанием 3)  Формулой n-го члена 4)  Рекуррентной формулой.
9.	Какая последовательность называется монотонной?	Возрастающая или убывающая последовательности.
10.	Какая последовательность называется возрастающей (убывающей)?	Если каждый её член, начиная со второго, больше ( меньше) предыдущего.
11.	Какую формулу называют рекуррентной?	Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.
12.	Дайте определение арифметической прогрессии.	Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
13.	Что означает слово «прогрессия»?	В переводе от латинского означает «движение вперед», как и слово «прогресс».
14.	Чему равна разность арифметической прогрессии?	. При d>0 , d<0 .
15.	Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.	а2 = а1+d, а3 = а2+d=а1+2d, …………………
16.	Выведите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.	, т. к. суммы членов равноудаленных от концов равны. .
17.	Кто и когда впервые вывел правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии?	Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в 1202 г. в «Книге абака». В III веке до н. э. древнегреческий учёный Диофант вывел для конечного числа членов.
18.	Суммы, каких членов арифметической прогрессии равны между собой?	- равноотстоящих от концов, где - номера членов и .
19.	Сформулируйте и выразите формулой характеристическое свойство арифметической прогрессии.	Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим соседних с ним членов.
20.	Чему равен знаменатель геометрической прогрессии?
21.	Выведите формулу n-го члена геометрической прогрессии.	. ……………. , т. е.
22.	Выведите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.	Sn=b1+b2+b3+…+bn | × q - Snq=b2+b3+…+bnq _______________________________ Sn(1-q)=b1-qbn=b1-b1qn =b1(1- qn) Sn = b1(1 - qn ) 1 – q
23.	Какова формула суммы бесконечной геометрической прогрессии?	, где
24.	Кто впервые решил задачу на нахождение суммы бесконечной геометрической прогрессии?	Архимед для q=.
25.	Кто вывел правило для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии?	Н. Шюке (1484 г.) в «Науке о числах».
26.	Сформулируйте и выразите формулой характеристическое свойство геометрической прогрессии.	Каждый член геометрической прогрессии есть среднее геометрическое членов, равноудаленных от него
27.	Произведения каких членов геометрической прогрессии равны между собой?	akal=aras , где k, l,r, s – номера членов, где k+l=r+s.
28.	Последовательность каких чисел является одновременно и арифметической, и геометрической?	Последовательность равных чисел. Например: 5;5;5;…
29.	Как решают смешанные задачи на прогрессии?	Составляя систему уравнений по условию задачи. При этом иногда лучше обозначать неизвестные члены прогрессии через различные буквы.
30.	Дайте определение предела последовательности.	Число А называется пределом последовательности а1;а2;а3…аn, … , если для любого числа можно подобрать такое натуральное число N, что для всех значений nєN [Т. Н.Н.1] выполняется неравенство |аn – А|<e и
31.	Перечислите свойства пределов последовательности.	I.  Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный. II.  Предел постоянной последовательности равен этой постоянной, т. е. ==С. III.  Предел алгебраической суммы последовательностей равен алгебраической сумме пределов этих последовательностей. Если эти пределы существуют, то IV.  Предел произведения последовательностей равен произведению пределов сомножителей Если эти пределы существуют, то . В частности , где а постоянная. V.  Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов числителя и знаменателя. Если эти пределы существуют, то. , где

“Стимулы математиков всех времен:

любознательность и стремление к красоте –

строгости понятий, стройности выкладок”

Тема: Степень с рациональным показателем. А-96

№	Вопросы	Ответы
1.	Дайте определение степени с рациональным показателем.	Степенью числа а>0 с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное (n>1), называется число . Итак, по определению .
2.	Дайте определение арифметического корня.	Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b, для которого , где а, в.
3.	Сформулируйте и докажите основные правила действий над радикалами	I. Основное свойство корня. Величина арифм. корня не изменяется, если показатель корня умножить на любое нат. число k и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем k, т. е. . Пусть , но по свойству степени , т. е. II. Правило умножения корней. При умножении арифм. корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения умножаются, а показатель корня остается прежним, т. е. , . По свойству степени . А по определению арифм. корня или В частности . III.  Правило деления корней. При делении арифм. корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня остается прежним, т. е. . Доказывается как правило II. В частности (правило освобождения подкоренного выражения от знаменателя). IV.  Правило возведения корня в степень. При возведении арифметического корня в степень с натуральным показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остается прежним, т. е. это свойство есть следствие второго свойства. V.  Правило извлечения корня из корня. При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выражение остается прежним. . по правилу возведения корня в степень т. е. по определению корня . VI.  Правило сравнения арифм. корней. , если и наоборот, если , то .
4.	Какова формула для корня нечётный степени (чётной степени)?	Корень нечетной степени из отрицательного числа имеет единственное действительное и притом отрицательное значение. ,
5.	Какова формула преобразования «сложного» квадратного радикала?	. (∗)
6.	Выведите формулу преобразования «сложного» квадратного радикала.	Положим (1) Возведя в квадрат, получим: (2) Складывая и вычитая (1) и (2) получим: и делим на два.
7.	Какое уравнение называется иррациональным?	Уравнение, в котором переменная х содержится под знаком радикала, называется иррациональным.
8.	Какое уравнение называется простейшим иррациональным?	Иррациональное уравнение вида называется простейшим. Это уравнение эквивалентно смешанной системе
9.	Какой метод решения иррациональных уравнений считается стандартным?	Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. При этом следует: 1.  Учесть ОДЗ исходного уравнения. 2.  Прежде чем возводить обе части уравнения в степень надо по возможности его упростить. 3.  Придерживаться соблюдения знаков. 4.  Провести проверку найденных корней.
10.	Какой метод решения иррациональных уравнений является основным?	Метод введения новых переменных.
11.	В чём заключается этот метод?	При этом получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное.
12.	Какие ещё методы решения иррациональных уравнений вы знаете?	1.  Замена уравнения равносильной системой путем введения нескольких переменных, если эта система может быть решена известными способами. 2.  Тригонометрической заменой. 3.  Использование формул возведения в степень в преобразованном виде. 4.  Приведение уравнений к уравнениям, содержащим абсолютную величину.
13.	Какая система называется иррациональной?	Иррациональной называется система, в которой, по крайней мере, одно уравнение иррациональное, а остальные либо иррациональные, либо рациональные.
14.	Как решают иррациональные системы?	Использует те же методы, что и при решении иррациональных уравнений и рациональных систем.
15.	Перечислите эффективные методы решения иррациональных систем в отдельных случаях.	1.  Использовать наличие одинаковых выражений. Если таких нет, то иногда удается их получить за счёт преобразований уравнений системы. 2.  Присоединение к уравнениям системы уравнения – следствия.

“Математику нельзя изучать наблюдая,