Преобразование числовых и буквенных выражений (стр. 2 )

2) , , . Можно предположить, что

. Докажем это.

Для n=1 формула верна. Предположим, что она верна для n=k. Докажем, что тогда она верна и для n=k+1:

=.

ЗАНЯТИЕ 3 (1 час)

Тема урока: Рациональные числа

Цель урока: Вспомнить понятие рационального числа; повторить основное свойство дроби и формулы сокращенного умножения; развивать вычислительные навыки.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Повторение основных понятий.

На предыдущих занятиях мы работали с целыми числами. Следующий класс чисел – рациональные. Рациональными называются числа, которые можно представить в виде дроби , где p – целое число, а q – натуральное. Класс рациональных чисел обозначается Q. Необходимо напомнить, что рациональное число можно представить не только в виде несократимой дроби, но и в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Для работы с рациональными числами напомним некоторые формулы.

Основное свойство дроби

.

Формулы сокращенного умножения

;

;

;

;

.

При необходимости можно напомнить ученикам правила действий с обыкновенными дробями, а так же нахождение процентных отношений.

III. Решение задач

На данном уроке целесообразно провести самостоятельную работу. Учащимся раздаются индивидуальные задания: карточка с одним примером. Оценивается не только правильность, но быстрота решения. На дом тоже дается карточка с примером.

1)

Ответ: 5

2)

Ответ: 1

3)

Ответ: 12

4)

Ответ: 16

5)

Ответ: 12

6) Найти процентов от числа , если

Ответ: 36 %

7) Найти число, процентов которого равно , если

Ответ: 18,75

8) Найти число, 2,5 % которого составляют

Ответ: 80

9) Найти 4,41 % от числа

Ответ: 0,1

1)  Найти число, 11% которого составляет число

.

Ответ: 50

2)  Найти 45% от числа

.

Ответ: 2,52.

3)  На сколько процентов число 27 больше числа

.

Ответ: .

4)  Вычислить процентное отношение чисел А и В и определить:

а) на сколько процентов А меньше, чем В;

б) на сколько процентов В больше, чем А?

А=;

В=,

Ответ: А=9; В=36.

1) А на 75% меньше, чем В;

2) В на 300% больше, чем А.

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

ЗАНЯТИЕ 4 (1 час)

Тема урока: Десятичные периодические дроби.

Цель урока: Повторить определение периодической дроби; научиться переводить дроби из десятичных периодических в обыкновенные; развивать вычислительные навыки.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Объяснение нового материала.

Итак, мы выяснили, что рациональные числа можно представить в виде обыкновенной или десятичной периодической дроби. Повторим ее определение.

Последовательно повторяющаяся (минимальная) группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки:

0,…=0,7(654).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической. Например:

8,(96) – чистая периодическая дробь;

8,3(96) – смешанная периодическая дробь.

Если в числовом выражении встречается десятичная периодическая дробь, то для выполнения арифметических действий ее надо перевести в обыкновенную. Рассмотрим на примерах обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную.

ПРИМЕР 1: Перевести число 0,(13) в обыкновенную дробь.

Решение: Положим х = 0,(13) = 0,131313…. Умножим чистую периодическую дробь х на такое число, чтобы запятая переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить х на 100, тогда 100х = 0,131313…100 = 13,1313… = 13,(13). Теперь вычтем х из 100х, получим 100х – х = 13,(13) – 0,(13). Значит 99х = 13, откуда находим х = .

ПРИМЕР 2: Перевести число 2,(273) в обыкновенную дробь.

Решение: Положим х = 2,(273). Эта чистая периодическая дробь содержит три цифры в периоде. Умножив х на 1000, получим 1000х = 2273,(273). Далее имеем: 1000х – х = 2273,(273) – 2,(273); 999х = 2271;

х = .

ПРИМЕР 3: Перевести число 0,2(54) в обыкновенную дробь.

Решение: Положим х = 0,2(54).Перенесем в этой смешанной периодической дроби запятую вправо так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно х умножить на 10, получим 10х = 2,(54).

Положим у = 2,(54) и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы это делали в предыдущих примерах. Имеем

100у = 254,(54); 100у – у = 254,(54) – 2,(54); 99у = 252; у = . Значит 10х = , откуда находим х = .

ПРИМЕР 4: Перевести число 3,254(9) в обыкновенную дробь.

Решение: Положим х = 3,254(9), получим 1000х = 3254,(9). Введем обозначение у = 1000х. Тогда имеем: у = 3254,(9), откуда 10у = 32549,(9);

10у – у = 32549,(9) – 3254,(9); 9у = 29295; у = 3255; 1000х = 3255;

х =.

Заметим, что , т. е. 3,254(9) = 3,255(0).

Это обстоятельство имеет место для любых десятичных дробей с девяткой в периоде: такую дробь можно представить в виде дроби с нулем в периоде. Для этого достаточно лишь увеличить на единицу последний десятичный знак перед периодом. Например3, 72(9) = 3,73(0); 13,(9) = 14,(0).

Таким образом, можно сформулировать правило перевода десятичной

периодической дроби в обыкновенную: Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в рациональную, нужно из числа, образованного цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, вычесть

число, образованное из цифр, стоящих после запятой до начала первого периода; полученную разность взять в качестве числителя дроби, а в знаменателе написать цифру девять столько раз, сколько цифр в периоде, и со столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом.

III. Решение задач.

Целесообразно сначала вызвать несколько человек к доске и отработать навыки перевода из десятичной периодической дроби в обыкновенную. Для этого выбирается несколько примеров из № 1 (а-в).

1)  а) 1,(0); 0,(3); 0,(7);

б) 0,1(2); 1,12(3); 7,5(4);

в) 0,(12); 1,0(12); 8,7(21);

г) 23,5(0); 23,5(1); 23,5(13); 23,5(127).

Далее по аналогии с предыдущим уроком учащимся раздаются карточки с примерами, в которых необходимо применить полученные навыки (№1-8).

2).

Ответ: 1.

3).

Ответ: 2.

4).

Ответ: 1.

5).

Ответ:.

6).

Ответ: 11.

7).

Ответ: 1.

8).

Ответ: .

9) .

Ответ: 0,5.

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

№ 1(г); № 9.(При проверке этого номера следует обратить внимание на рациональность решения и рассмотреть два способа приведения к обыкновенной дроби второго множителя.)

ЗАНЯТИЕ 5 (2 часа)

Урок 1

Тема урока: Иррациональные числа.

Цель урока: Повторить определение иррациональных чисел, действительных чисел; научиться доказывать иррациональность числа; избавляться от иррациональности в знаменателе.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Повторение и расширение имеющихся знаний.

Последний класс чисел, рассматриваемых в средней школе, действительные числа. Обозначается R. К уже известным числам добавляется понятие иррационального числа. Иррациональным является число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Предлагаем ученикам привести примеры иррациональных чисел.

Разбираем устно № 1-4.

1) Какие из следующих чисел являются рациональными, какие – иррациональными.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) 0; е) ; ж) 0,666… з) 0,(31);

и) 0,…

2) Найти наибольшее целое число, меньшее числа:

.

3) Найти наименьшее целое число, большее числа:

.

4) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:

.

А теперь перейдем к серьезным задачам. Научимся доказывать иррациональность. Для этого будем использовать метод «от противного».

ПРИМЕР 1: Доказать, что число является иррациональным.

Доказательство: Предположим, что число является рациональным, тогда его можно представить в виде несократимой дроби , где (т. к.>0). Возведем в квадрат обе части, получим: , следовательно - четное число, тогда и - четное число, т. е. его можно представить в виде , , тогда , , т. е. - четно и, следовательно, также четно. Получается, что - сократимая дробь, это противоречит предположению, следовательно - число иррациональное.

ПРИМЕР 2: Доказать иррациональность числа

Доказательство: Предположим противное , где - рациональное число. Тогда . Возведем это равенство в куб: , откуда. Получилось, что равняется рациональному числу. Противоречие доказанному в предыдущем примере. Следовательно - число иррациональное.

После разбора учителем примеров 1,2, ученикам предлагается следующее задание:

5) Доказать иррациональность следующих чисел:

а) ; б); в); г) ; д) .

Далее следует напомнить, что при работе с дробными выражениями, если в знаменателе стоит иррациональность, от нее принято избавляться, для удобства дальнейших вычислений.

ПРИМЕР 3: Исключить иррациональность в знаменателе:

а); б);

Решение: Очевидно, что знаменатель первой дроби надо дополнить до разности квадратов, а во второй и третьей до разности кубов.

а) .

б) .

Далее следует выборочное решение примеров из № 6, 7, 8.

Исключить иррациональность в знаменателе

6) а) ; б) ; в) ; г) .

7) а); б) ; в) ;

г); д) ; е)

8) а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы.

7) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

8) а) .Указание. Использовать тот факт, что ;

б) ;

в) ;

г)

III. Подведение итогов. Домашнее задание.

1)  Доказать иррациональность числа:

а) ; б) ; в) .

2) Привести к рациональному виду знаменатель дроби:

а) ; б) ; в).

Урок 2

Тема урока: Иррациональные числа

Цель урока: Закрепить полученные на предыдущем уроке знания; рассмотреть примеры на все действия с радикалами.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II.Самостоятельная работа.

1)  Доказать иррациональность числа:

а) ; б) ; в).

2) Сократить дробь:

а) ; б) ; в) ; г) .

III. Решение задач.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрим числовые выражения, содержащие действия с радикалами. Числовое иррациональное выражение удается упростить, если под знаком квадратного радикала стоит полный квадрат некоторого выражения.

Так в случае радикала второй степени вида , упрощение достигается

представлением:

, где и находятся как решение системы уравнений:(*)

Например:, где , а .

ПРИМЕР: Вычислить:

Решение: Система (*) для выражения, стоящего в числителе дроби,

записывается в виде: , и имеет решения (12;18), (18;12), тогда в числителе получаем

.

Домножая числитель и знаменатель дроби на , имеем

.

Последнее действие .

Далее следует решение № 9-12 в классе и на дом.

9) Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10) Упростить выражение:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж);

з) .

11) Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

12) Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы и указания

9) а) 2; б) 6; в) 1; г) 1.

10) а) 1. Указание. Рассмотрим выражение . Давая и натуральные значения, уже на первом шаге получим . Тогда .

б) 2. Указание. Проверить, что , .

в) 4. Указание. , .

г) .

д) 3. Указание. Показать, что .

Второй корень: .

е) . Указание. Обозначим данное число через А. Тогда:

.

ж) . Указание. Выражение под «большим» корнем равно . Можно иначе: обозначим данное выражение через , найдем , после преобразований получим .

з) . Указание.

=.

Второй радикал равен .

11) а) 20; б) ; в) -1; г) .

12) а) 0; б) в) 1; г) 1.

IV. Подведение итогов. Домашнее задание (выборочно из № 9-12)

ЗАНЯТИЕ 6 (2 часа)

Тема урока: Степени и радикалы

Цель урока: Напомнить правила работы со степенями и свойства арифметического корня n-й степени; развивать внимание и быстроту мышления.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Повторение свойств степени и арифметического корня n-й степени.

На предыдущих занятиях мы рассмотрели выражения, содержащие арифметический квадратный корень. Сегодня мы переходим к арифметическому корню n-й степени. Для этого необходимо повторить свойства степени и корня.

Свойства степени, для

1)

2) ;

3)

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

Поскольку извлечение корня это операция обратная возведению в степень, то для нее справедливы аналогичные правила.

Арифметическим корнем n-й степени из числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна

Свойства арифметического корня, при ,.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Желательно, чтобы эти формулы находились в классе в виде таблицы или в виде опорных листов на столах учащихся.

III. Решение задач.

1) Возведите в степень:

а); б) ; в) ;

г) .

2)Найти значение выражения:

а) ; б) .

3)Доказать, что а);

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

4) Вычислить:

а);

б);

в) ;

г) ;

д) .

5)Доказать, что данное число целое и найти это число:

а) ;

б) .

6) Вычислить:

а) ;

б); в) ;

г); д) ;

е) ;

ж) .