Преобразование числовых и буквенных выражений (стр. 3 )

Ответы:

2) а) 1; б) 1.

4) а) ; б) ; в) -2; г) ; д) 1.

5) а) -5; б) 179.

6) а) ; б) ; в) ; г); д) ; е) 0; ж) 0.

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

ЗАНЯТИЕ 7 (2часа)

Тема урока: Логарифмы

Цель урока: Повторить определение логарифма; свойства логарифмов; развивать навыки быстрого счета.

Ход урока

I.  Проверка домашнего задания.

II.  Самостоятельная работа.

1)  Доказать равенство:

.
2) Докажите, что данное число целое и найдите его:

а) ;

б) .

Ответ: а) 47; б) 8.

3) Вычислите:

а) ;

б) .

Ответ: а) 1; б) -3.

III.  Повторение основных понятий.

С введением понятия степени появилась потребность выражения показателя степени через основание и результат действия. Так появилось понятие логарифма.

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени , в которую надо возвести основание , чтобы получить . Отсюда следует, что если то заменяя на получим

.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1) ;

2)

3)

4) ;

5) ;

6) .

Кроме того, введены специальные обозначения:

.

ПРИМЕР 1: Найти значение выражения

Решение:

.

ПРИМЕР 2: Вычислить: .

Решение:

.

ПРИМЕР 3: Вычислить , если .

Решение:

,

.

Обозначим тогда ; .

Имеем .

Предлагаемый далее материал делится по усмотрению учителя на два урока.

IV. Устный счет.

Вычислить устно:

1);;

.

2);.

3)

Ответы:

1) ; -2; ; ; -1; 0; ; 1; 9; 0; 8; .

2) 9; 9; ; ; ; ; 1296; 33; ; 4; ; 6; .

3) 20; 25; 700; 1; 2; 4; не существует в области действительных чисел; 5; 0; 1.

V. Решение задач.

1) Вычислите:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж)

;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

2) Упростите выражения:

а) ; б) ;

в); г) ;

д) ;

е) ; ж) ;

з) ;

и) .

3) Определите знак числа:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4) Найти lg 56, если .

5) Найти , если .

6) Найти , если .

7) Найти , если . (см. № 13)

8) Найти , если .

9) Найти , если .

10) Зная, что и , выразить через .

11) Найти , если .

12) Найти , если .

13) Показать, что .

14) Доказать, что .

Ответы:

1) а) 1; б) 24; в) 8; г) ; д) 10; е) 7; ж) 0; з) 0; и) 0. Указание. Группируем первое слагаемое с последним, второе - с предпоследним и т. д.; к) 1; л) . Указание. Использовать формулу перехода к некоторому общему основанию; м) 3.

2) а) 10; б) 890; в) 3; г)2; д) -11; е) 24; ж)19; з)1; и) 6.

3) а), б), в) минус; г) плюс.

4) .

5) .

6) .

8) .

10) .

11) .

12) .

Указание. Перейти к логарифмам по основанию .

VI.Подведение итогов. Домашнее задание (задается из расчета на два урока).

1) Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Ответы: а) 25; б) -1; в) 6; г) ; д) 32.

2) Известно, что , . Найти:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) .

ЗАНЯТИЕ 8 (2часа)

Тема урока: Тригонометрические функции

Цель урока: Отработать навыки нахождения тригонометрических функций углов, выраженных в градусной или радианной мере; научиться использовать формулы для упрощения вычислительного процесса.

Ход урока

I.  Проверка домашнего задания.

II.  Повторение основных тригонометрических понятий.

Рекомендации учителю.

При работе с тригонометрическими функциями учащиеся должны:

1) научиться работать с числовой окружностью;

2) знать числовые значения тригонометрических функций основных углов, расположенных в первой координатной четверти;

3) уметь переводить величину угла из градусной меры в радианную и наоборот;

4) уметь пользоваться основными тригонометрическими формулами и формулами приведения.

Знания теоретического материала должны быть получены учащимися на основных уроках, на элективном курсе не следует на этом останавливаться. Можно рекомендовать использование опорных листов с тригонометрическими формулами. (Приложение 1)

ПРИМЕР 1: Вычислить: а) ; б) ; в)*.

Решение: a)

.

б) Обозначим , тогда

.

в) 1 способ. Известно, что сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиусом R, равна . Стороне десятиугольника соответствуют вписанные углы в . Следовательно,

, .

2 способ. ; ;

; ;

. Так как , то из полученного уравнения находим .

ПРИМЕР 2: Вычислить

Решение:

=

=.

ПРИМЕР 3: Доказать тождество .

Решение: Умножим и разделим левую часть равенства на , получим

=

=.

ПРИМЕР 4: Упростить выражение .

Решение:.

ПРИМЕР 5: Вычислить , если .

Решение: Выражая и через , получаем

.

Подставляя в правую часть этого выражения , имеем

.

III. Решение задач.

1) Вычислить без помощи таблиц и калькулятора:

а) ; б) ; в) ; г) *; д) ;

е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ;

л) .

2) Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) ;

е) .

3) Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

4) Упростить выражение:

а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) .

5) Преобразовать в произведение (привести к виду, удобному для логарифмирования):

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6) Доказать тождества:

a) ;

б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

7) Проверить равенство:

a) ;

б) ; в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

8) Найти сумму:

а) ;

б) ;

в) .

9) Вычислить , если .

10) Вычислить , если .

11) Вычислить , если и .

12) Вычислить , если и .

13) Найти , если .

14) Вычислить и , если

.

15) Найти , если известно, что , .

16) Известно, что . Вычислить .

17) Доказать, что если и - острые углы,

то .

Ответы:

1) a) ; б) ; в) ;

г) . Указание. , ( см.

пример 1).

д) ; е) . Указание. Умножить и разделить на , затем дважды

воспользоваться формулой синуса двойного угла.

ж) ; з) ; и) . Указание. Воспользоваться формулами перехода от

произведения к сумме.

к) ; л) -1. Указание. Воспользоваться формулами половинного угла.

2) а) ; б) в) 8; г) 4; д) 4; е) 2.

3) а) -1; б) 1; в) 1; г) 1; д) 0.

4) а) ; б) ; в) ; г); д) . Указание. .

5) а) ; б) ; в) ; г) .

6) а) Указание. Упростить, умножить и разделить на , применить формулу синуса двойного угла.

б) Указание. Упростить, применить формулу перехода от произведения к сумме.

в) Указание. Умножить и разделить на , применить формулу синуса двойного угла.

г) Указание. Умножить и разделить на , представить , применить формулу синуса двойного угла.

д) Указание. Упростить, применить формулу перехода от произведения к сумме.

е) Указание. Применить формулу разности косинусов.

ж) Указание. Умножить и разделить на , применить формулу перехода от произведения к сумме.

з) Указание. Воспользоваться формулой суммы синусов.

и) Указание. Воспользоваться формулой суммы косинусов.

к) Указание. Умножить и разделить на , применить формулу перехода от произведения к сумме.

8) а) ; б) ; в) 0.

9) 0,.

14) ; .

15) . 16) 2.

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

ЗАНЯТИЕ 9 (2 часа)

Тема урока: Обратные тригонометрические функции.

Цель урока: Повторить определения обратных тригонометрических функций; вывести формулы, связывающие тригонометрические функции и обратные тригонометрические функции; отработать на примерах действия с прямыми и обратными тригонометрическими функциями.

Ход урока

I.  Проверка домашнего задания.

II.  Тригонометрические операции над аркфункциями (вывод формул).

Сначала следует напомнить определения обратных тригонометрических функций.

Арксинусом числа называется угол из промежутка , синус которого равен .

Арккосинусом числа называется угол из промежутка , косинус которого равен .

Арктангенсом числа называется угол из промежутка , тангенс которого равен .