Преобразование числовых и буквенных выражений (стр. 1 )

Рассмотрено на заседании МО учителей МОУ «СОШ №51» пр. №1 от 12.09.08 Председатель МО МОУ «СОШ №51» _______________________//

«УТВЕРЖДЕНО» на заседании экспертного совета Комитета по образованию администрации г. Саратова приказ № 000 от 27.10.08

ТЕМА ЭЛЕКТИВНОГО ПРЕДМЕТА

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ И БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Количество 34 часа

Автор: ,

учитель математики высшей

квалификационной категории,

МОУ «СОШ № 51»

Саратов, 2008

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО ПРЕДМЕТА

«ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ И БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Пояснительная записка

В последние годы выпускные экзамены в школах, а также вступительные экзамены в вузах проводятся с помощью тестов. Эта форма проверки отличается от классического экзамена и требует специфической подготовки. Особенностью тестирования в том виде, который сложился к настоящему времени, является необходимость ответа на большое количество вопросов за ограниченный промежуток времени, т. е. требуется не просто отвечать на поставленные вопросы, но и делать это быстро. Поэтому важно освоить различные приемы, методы, которые позволяют достичь желаемого результата.

При решении почти любой школьной задачи приходится делать некоторые преобразования. Зачастую ее сложность полностью определяется степенью сложности и объемом преобразований, которые необходимо выполнить. Не редки случаи, когда школьник оказывается не в состоянии решить задачу не потому, что не знает, как она решается, а потому, что он не может без ошибок, в разумное время произвести все необходимые преобразования и вычисления.

Элективный курс «Преобразование числовых и буквенных выражений» расширяет и углубляет базовую программу по математике в средней школе и рассчитан на изучение в 11 классе. Предлагаемый курс ставит своей целью развитие вычислительных навыков и остроты мышления. Курс рассчитан на учащихся имеющих высокий или средний уровень математической подготовки и призван помочь им подготовиться к поступлению в ВУЗы, способствовать продолжению серьезного математического образования.

Цели и задачи:

- систематизация, обобщение и расширение знания учащихся о числах и действиях с ними;

- развитие самостоятельности, творческого мышления и познавательного интереса учащихся;

- формирование интереса к вычислительному процессу;

- адаптация учащихся к новым правилам поступления в ВУЗы.

Ожидаемые результаты:

- знание классификации чисел;

- совершенствование умений и навыков быстрого счета;

- умение пользоваться математическим аппаратом при решении различных задач;

Учебно-тематический план

План рассчитан на 34 часа. Он составлен с учетом темы диплома, поэтому рассматриваются две отдельные части: числовые и буквенные выражения. На усмотрение учителя, буквенные выражения можно рассматривать вместе с числовыми в соответствующих темах.

Номер	Тема	Количество часов
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5 6 7.1 7.2 7.3 7.4	Числовые выражения Целые числа Метод математической индукции Рациональные числа Десятичные периодические дроби Иррациональные числа Корни и степени Логарифмы Тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Комплексные числа Тест по теме «Числовые выражения» Сравнение числовых выражений Буквенные выражения Преобразование выражений с радикалами Преобразование степенных выражений Преобразование логарифмических выражений Преобразование тригонометрических выражений Итоговый тест Итого	2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 34

Содержание курса

Целые числа (4ч)

Числовой ряд. Основная теорема арифметики. НОД и НОК. Признаки делимости. Метод математической индукции.

Рациональные числа (2ч)

Определение рационального числа. Основное свойство дроби. Формулы сокращенного умножения. Определение периодической дроби. Правило перевода из десятичной периодической дроби в обыкновенную.

Иррациональные числа. Радикалы. Степени. Логарифмы (6ч)

Определение иррационального числа. Доказательство иррациональности числа. Избавление от иррациональности в знаменателе. Действительные числа. Свойства степени. Свойства арифметического корня n-й степени. Определение логарифма. Свойства логарифмов.

Тригонометрические функции (4ч)

Числовая окружность. Числовые значения тригонометрических функций основных углов. Перевод величины угла из градусной меры в радианную и наоборот. Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические операции над аркфункциями. Основные отношения между аркфункциями.

Комплексные числа (2ч)

Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Промежуточное тестирование (2ч)

Сравнение числовых выражений (4ч)

Числовые неравенства на множестве действительных чисел. Свойства числовых неравенств. Опорные неравенства. Методы доказательства числовых неравенств.

Буквенные выражения (8ч)

Правила преобразования выражений с переменными: многочленов; алгебраических дробей; иррациональных выражений; тригонометрических и других выражений. Доказательства тождеств и неравенств. Упрощение выражений.

1 часть элективного предмета: «Числовые выражения»

ЗАНЯТИЕ 1 (2 часа)

Тема урока: Целые числа

Цели урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся о числах; вспомнить понятия НОД и НОК; расширить знания о признаках делимости; рассмотреть задачи, решаемые в целых числах.

Ход урока

I. Вводная лекция.

Классификация чисел:

- натуральные числа;

- целые числа;

- рациональные числа;

- действительные числа;

- комплексные числа.

Знакомство с числовым рядом в школе начинается с понятия натурального числа. Числа, употребляемые при счете предметов, называются натуральными. Множество натуральных чисел обозначается N. Натуральные числа делятся на простые и составные. Простые числа имеют только два делителя единицу и само число, составные числа имеют более двух делителей. Основная теорема арифметики гласит: «Любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел (не обязательно различных), и притом единственным образом (с точностью до порядка сомножителей)».

С натуральными числами связаны еще два важных арифметических понятия: наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Каждое из этих понятий фактически определяет само себя. Решение многих задач облегчают признаки делимости, которые необходимо вспомнить.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра четная или о.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Признаки делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5.

Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25.

Признаки делимости на 10,100,1000. На 10 делятся только те числа последняя цифра которых 0, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры 0, на 1000 - только те, у которых три последние цифры 0.

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

На первом занятии мы рассмотрим натуральные и целые числа. Целые числа - это натуральные числа, числа противоположные им и ноль. Множество целых чисел обозначается Z.

II. Решение задач.

ПРИМЕР 1. Разложите на простые множители: а) 899; б) 1000027.

Решение: а) ;

б) ПРИМЕР 2. Найти НОД чисел 2585 и 7975.

Решение: Воспользуемся алгоритмом Евклида:

Если

;

;

………………………..

; тогда НОД.

Разделим 7975 на 2585 уголком:

7975|2585

7755|3

2585|220 -

220  |11

385

220

220 |165 -

165 |1

165|55 -

165|3

0

Ответ: НОД(2585,7975) = 55.

ПРИМЕР 3. Вычислите:

.

Решение: = 1987100011989. Этому же значению равно и второе произведение. Следовательно, разность равна 0.

ПРИМЕР 4. Найдите НОД и НОК чисел а) 5544 и 1404; б) 198, 504 и 780.

Ответы: а) 36; 49896; б) 6; 360360.

ПРИМЕР 5. Найти частное и остаток при делении

а) 5 на 7; ;

б) 120 на 13; ;

в) -529 на (-23); ;

г) -410 на 47; ;

д) 256 на (-15); .

ПРИМЕР 6. По делимому и остатку найти делитель и частное

а)

Решение: , . Делители числа 94 дадут делитель и частное при условии .

b	94	-94	47	-47
q	1	-1	2	-2

б)

Решение: , .Следовательно

.

ПРИМЕР 7. Найти остаток от деления числа на17.

Решение: Введем запись , означающую, что при делении на m числа a, b,c,…d дают один и тот же остаток.

Следовательно, при любом натуральном k будет

Но 1989=16124+5. Значит,

Ответ: Остаток равен 12.

ПРИМЕР 8. Найдите наименьшее натуральное число, большее 10, которое при делении на 24, 45, и 56 давало бы в остатке 1.

Ответ: НОК(24;45;56)+1=2521.

ПРИМЕР 9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 7, а при делении на 3, 4 и 5 дает в остатке 1.

Ответ: 301. Указание. Среди чисел вида 60k + 1 надо найти наименьшее, делящееся на 7; k = 5.

ПРИМЕР 10. Припишите к 23 по одной цифре справа и слева так, чтобы получившееся четырехзначное число делилось на 9 и на 11.

Ответ: 6237.

ПРИМЕР 11. Припишите к числу сзади три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, на 8 и на 9.

Ответ: 304 или 808. Указание. Число при делении на = 789) дает в остатке 200. Следовательно, если прибавить к нему 304 или 808, оно будет делиться на 504.

ПРИМЕР 12. Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37, переставить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 37?

Ответ: Можно. Указание. Пусть число делится на 37, докажем, что также делится на 37. Имеем A = 100a + 10b + c = 37k, откуда c =37k -100a – 10b. Тогда B = 100b +10с + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, то есть В делится на 37.

ПРИМЕР 13. Найдите число, при делении на которое числа 1108, 1453,1844 и 2281 дают одинаковый остаток.

Ответ: 23. Указание. Разность любых двух данных чисел делится на искомое. Значит, нам подходит любой, отличный от 1 общий делитель всевозможных разностей данных

чисел.

ПРИМЕР 14. Представьте 19 в виде разности кубов натуральных чисел.

Ответ: .

ПРИМЕР 15. Квадрат натурального числа равен произведению четырех последовательных нечетных чисел. Найдите это число.

Ответ: .

ПРИМЕР 16. Доказать, что а) делится на 100;

б) не делится на 10.

Ответ: а) Указание. Сгруппировав первое и последнее слагаемое, второе и предпоследнее и т. д., воспользоваться формулой суммы кубов.

б) Указание. Рассуждая аналогично (а) получим, не делится на 10.

Примечание. Данные примеры предлагаются учащимся в любом порядке. Пример 7 решается и объясняется учителем.

III. Подведение итогов. Домашнее задание.

1) Найдите НОД чисел: а) 3024 и 3168; б) 2021 и 3139; в) и .

Ответы: а) 144; б) 43; в) 9.

2) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5,6 и 7 дает в остатке соответственно 2,3 и 4

Ответ: искомое число есть НОК(5;6;7)-3=207.

3) Среди чисел вида 66…61 найдите наименьшее, не являющееся простым.

Ответ: .

4) Найдите все пары натуральных чисел, НОД которых равен 5, а НОК – 105.

Ответ: 5, 105 или 15, 35.

ЗАНЯТИЕ 2 (2 часа)

Тема урока: Метод математической индукции.

Цель урока: Рассмотреть математические утверждения, требующие доказательства; познакомить учащихся с методом математической индукции; развивать логическое мышление.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Объяснение нового материала.

В школьном курсе математики наряду с заданиями «Найти значение выражения» встречаются задания вида: «Доказать равенство». Одним из самых универсальных методов доказательств математических утверждений, в которых фигурируют слова «для произвольного натурального n», является метод полной математической индукции.

Доказательство при помощи этого метода всегда состоит из трех этапов:

1)  Базис индукции. Проверяется справедливость утверждения для n = 1.

В некоторых случаях для начала индукции приходится проверять несколько

начальных значений.

2)  Предположение индукции. Предполагается, что утверждение верно для любого

n = k.

3) Индуктивный шаг. Доказывается справедливость утверждения для

n = k + 1.

Таким образом, начав с n = 1, на основании доказанного индуктивного перехода получаем справедливость доказываемого утверждения для

n =2, 3,…т. е. для любого n.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1: Доказать, что при любом натуральном n число делится на 7 .

Доказательство: Обозначим .

1 шаг. При n = 1 делится на 7.

2 шаг. Предположим, что делится на 7.

3 шаг. Докажем справедливость утверждения для . Имеем

Последнее число делится на 7, так как представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7.

ПРИМЕР 2: Доказать равенство .

Доказательство:

1 шаг. При n = 1 равенство очевидно.

2 шаг. Предположим, что при n = k равенство верно.

3 шаг. Рассмотрим n =k+1, имеем

= .

Таким образом, равенство справедливо и при k +1, поскольку получается из заменой n на k = 1.

III. Решение задач

На первом уроке из приведенных ниже заданий (№ 1-3) для решения выбираются несколько на усмотрение учителя для разбора на доске. На втором уроке рассматриваются № 4,5; проводится самостоятельная работа из № 1-3; № 6 предлагается как дополнительный, с обязательным решением его на доске.

1) Докажите, что а) делится на 83;

б) делится на 13;

в) делится на 20801.

2) Докажите, что при любых натуральных n:

а) делится на 120;

б) делится на 27;

в) делится на 84;

г) делится на 169;

д) делится на 8;

е) делится на 8;

ж) делится на16;

з) делится на 49;

и) делится на 41;

к) делится на 23;

л) делится на 13;

м) делится на .

3) Докажите, что:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4) Выведите формулу суммы .

5) Найдите сумму .

6) Докажите, что сумма членов каждой строки таблицы

1

2, 3, 4

3, 4, 5, 6, 7

…………….

равна квадрату нечетного числа, номер которого в строке равен номеру строки от начала таблицы.

Ответы и указания.

1) Воспользуемся записью, введенной в примере 4 предыдущего урока.

а) . Следовательно, делится на 83 .

б) Поскольку , то ;

. Следовательно, .

в) Поскольку , то надо доказать, что данное число делится на 11, 31 и 61. Имеем , т. е. . Аналогично доказывается делимость на 11 и 31.

2) а) Докажем, что данное выражение делится на 3, 8, 5. Делимость на 3 следует из того, что , а из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Для доказательства делимости на 8 рассмотрим четыре случая: , , , . Для проверки делимости на 5 достаточно рассмотреть значения n=0,1,2,3,4.

Пункты б) – м) доказываются по индукции.

г) Обозначим . При n=1 . (Можно было начать с n=0.)

Далее имеем

. Таким образом, из того, что делится на169, следует делимость на 169 числа .

м) , - утверждение верно.

. Следовательно, если делится на , то и тоже делится.

3) в) При n=1 имеем , формула верна.

Предположим, что формула верна для n=k, т. е. .

Докажем, что формула справедлива для n=k+1:

.

г) При n=1 имеем , формула верна.

Предположим, что формула верна для n=k, т. е.

.

Докажем, что она верна и для n=k+1:

.

д) При n=1 имеем , формула верна.

Предположим, что формула верна для n=k, т. е.

.

Докажем, что она верна для n=k+1:

=

=.

4) .

Сравнивая полученные выражения, делаем предположение, что .

Докажем это. Для n=1 формула верна. Предположим, что она верна для n=k, т. е.

.

Исходя из этого предположения докажем справедливость формулы для n=k+1:

=.

5) ; ; ; .

Замечаем, что , , , .

Можно предположить, что .

Докажем это. Для n=1 формула верна. Предположим, что она верна и для n=k, т. е.

.

Докажем, что она верна и для n=k+1:

=.

6) Общий член последовательности, т. е. n-я строка, может быть записан так:

.

Значит, последний член в этой строке равен . Надо доказать, что сумма чисел этой строки равна .

Для n=1 формула верна. Предположим, что формула верна для n=k, т. е.

.

Докажем, что она справедлива для n=k+1:

=

=.

Можно дать другое решение: n-я строка представляет собой арифметическую прогрессию с разностью 1, первым членом n, последним членом 2n-1. Ее сумма равна .

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

1)  Докажите справедливость равенства

.

2)  Найдите сумму

.

Ответы и указания.

1)  При n=1 имеем , формула верна.

Предположим, что равенство верно для n=k, т. е.

.

Докажем, что оно верно и для n=k+1:

=.