Преобразование числовых и буквенных выражений (стр. 4 )

Арккотангенсом числа называется угол из промежутка , котангенс которого равен .

Далее учащимся предлагаются формулы, показывающие проведение

тригонометрических операций над аркфункциями. Учитель показывает вывод первой и, например, четвертой формулы. Ученикам предлагается вывести вторую и пятую формулы. Очень важно, чтобы ребята запомнили не саму формулу, а механизм ее вывода.

Тогда при решении задач с аркфункциями достаточно будет логического мышления и знания основных тригонометрических формул.

Тригонометрические операции над аркфункциями:

;

;

,;

;

;

,

,;

,.

Основные соотношения между аркфункциями:

;

.

III.  Решение задач.

Примеры 1-3 разбираются учителем

ПРИМЕР 1: Вычислить .

Решение: Обозначим . Тогда , . Вычислим теперь

значения и . Имеем

,

.

Используя формулу , получаем

.

ПРИМЕР 2: Вычислить .

Решение: Обозначим . Учитывая, что , получаем

.

Воспользуемся формулами и ,

где .

=.

ПРИМЕР 3: Проверить справедливость равенства

.

Решение: Вычислим котангенс левой и правой частей равенства:

Таким образом . Итак, получаем

.

Так как угол принадлежит промежутку монотонности функции котангенс , то из равенства значений функции котангенс следует равенство значений аргументов, что и требовалось доказать.

Задания по теме.

1) Вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2) Вычислить:

а) ; б) ; в) .

3) Найти значение выражения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

4) Определить знак числа , если

а) ; б) ;

в) .

5) Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

6) Докажите равенство:

а) ; б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

Ответы:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

2) а) ; б) ; в) .

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

5) а) ; б) ; в) ; г) -0,007; д) 0,009; е) ; ж) ; з) ; и) .

6) в) Указание. Обозначим слагаемые левой части через . Имеем

, , .

Поскольку , то .

г) Указание. Обозначим слагаемые левой части через . Имеем

, . Далее

. Учитывая, что -

острые углы, делаем вывод, что .

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

ЗАНЯТИЕ 10 (2часа)

Тема урока: Комплексные числа

Цель урока: Расширить числовое множество понятием комплексного числа; рассмотреть действия с комплексными числами; ознакомиться с тригонометрической и показательной формами комплексного числа.

Ход урока

I.  Проверка домашнего задания

II.  Объяснение нового материала.

Из школьного курса математики известно, что квадратный корень из отрицательного числа не существует среди действительных чисел. Однако потребности алгебры и ее приложений требовали такого расширения понятия числа, при котором действие единицей извлечения квадратного корня из отрицательного числа стало бы осуществимым.

Число корень квадратный из -1 принято обозначать буквой i, и называть мнимой единицей. Числа вида , где и – обычные действительные числа, называются комплексными числами, где - действительная часть числа, а - мнимая. При этом предполагается:

1) в том и только в том случае, если и .

2) Сложение определяется правилом

.

6)  Вычитание определяется правилом

.

7)  Умножение определяется правилом

.

5) Частное определяется правилом

.

6) .

ПРИМЕР 1:

а) ;

б) .

ПРИМЕР 2:

а) ;

б) .

ПРИМЕР 3:

а) ;

б) .

ПРИМЕР 4:

а) ;

б) .

Комплексные числа и , отличающиеся знаком мнимой части, называются

сопряженными. Если , то

.

Комплексное число можно изобразить в системе координат хОу в виде

вектора , выходящего из начала координат. Длина этого вектора, равная расстоянию от точки А до начала координат, называется модулем этого числа и обозначается , причем .

Аргумент комплексного числа () можно найти как угол, одновременно удовлетворяющий двум равенствам

и .

Если обозначить , то число z можно записать в виде

Эта запись называется тригонометрической формой числа.

Если и , тогда: 1)Умножение данных чисел производится по формуле:

3)  Деление данных чисел производится по формуле:

3) Возведения комплексного числа в степень производится по формуле Муавра:

.

4) Из формулы Муавра выводится формула извлечения корня n-й степени:

Извлечение квадратного корня из комплексного числа можно осуществить, не

обращаясь к тригонометрической форме.

,

где обозначает знак b, т. е. +1, если , и -1, если .

5) Комплексные числа можно представить в показательной форме

.

Эта формула получена из формулы Эйлера

.

ПРИМЕР 5: Найти аргумент комплексного числа .

Запишем равенства и . Ясно, что угол им удовлетворяет, и так как , то - главный аргумент числа . Следовательно, аргументом числа является любой из углов

ПРИМЕР 6: Вычислить

Запишем число в тригонометрической форме:

,

Теперь возведем его в 7 степень по формуле Муавра:

ПРИМЕР 7:

.

ПРИМЕР 8:

.

ПРИМЕР 9: Найти .

Имеем . Согласно формуле

.

Для k достаточно взять значения 0,1,2. Получим три значения:

,

,

.

Учитывая, что , получим . Для вычисления и заметим, что , так что

,

.

Поэтому

.

III. Решение задач.

1)Можно ли сказать, что число 2 + 5i больше числа 1 + 4i?

2)  Является ли число -5i отрицательным?

3)  Найти целое число n, если

4)  Доказать тождество

где и - комплексные числа.

5)  Выполнить действия:

а) б) в)

г) д) ; е) ж) .

6) Представить в тригонометрической форме данные комплексные числа:

1)  Найти модуль комплексного числа:

а) б) в)

8) Выполнить умножение:

а)

б)

в)

г)

9) Вычислить по формуле Муавра:

а) б) в)

г) д) е)

10) Выполнить действие извлечения корня:

а) ; б) ; в) ;

г) д) е) ; ж) ; з) .

11) Записать в показательной форме комплексные числа:

а) б) в) ; г) ;

д) е) ж)

12) Вычислить:

а) б) в)

г) д) е)

Ответы и указания.

1)  Нельзя. Понятие «больше» и «меньше» неприменимо к комплексным числам.

2)  Отрицательное число есть вещественное число, которое меньше нуля. К комплексным числам понятие «меньше» не применимо. Поэтому число -5i нельзя назвать отрицательным.

3)  Запишем данное равенство в виде:

.

Но

Поэтому получим Отсюда где

4)  Если , , то

Поэтому

5)  а) б) в) ; г) 0; д) ; е) -64; ж) -1.

6) 

7)  а) ; б) 1; в) 1.

8)  а) ; б) в) -1; г) .

9)  а) ; б) ; в) ; г) 9; д) 256; е) 16.

10)  а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

11) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

12) а) б) ; в) ; г) ; д) ; ж) .

IV. Подведение итогов. Домашнее задание.

ЗАНЯТИЕ 11 (2 часа)

Тема урока: Итоговое тестирование.

Цель урока: Проверка полученных знаний.

Ход урока

Каждый ученик получает индивидуальное задание и бланк ответа. Задание расчитано на 2 часа и строится по типу ЕГЭ: шесть заданий часть А, четыре задания часть В, два задания часть С. Тесты № 5,6 сложнее первых четырех.

ТЕСТ № 1

А-1. Указать все номера целых чисел данного множества

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

1) 1,2,4; 2) 2,5; 3) 2,3,4; 4) 2,3,5.

А-2. Упростить выражение

1) 1; 2) -1; 3) 3; 4) .

А-3. Вычислить

1) ; 2) ; 3) ; 4) 7.

А-4. Вычислить

1) 0; 2) ; 3) ; 4) 1.

А-5. Найти значение выражения

1) -1; 2) 0; 3) 1; 4) .

А-6. Вычислить

1) ; 2) ; 3) 1;

В-1. Доказать, что данное число – натуральное

.

В-2. Вычислить .

В-3. Вычислить .