Контрольные работы по алгебре
для II-го курса математиков (3 семестр)
Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы»
Вариант № 1
1. Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2,0, x1 - x3 ). Определить его матрицу, дефект, ранг, построить базисы ядра и образа.
2. Линейное отображение j векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 } матрицу = . Найти матрицу отображения j в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если
f1 = e1+ e3,, f2 = e1+ e2+ e3, f3 = e1+ 2e3.
3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:
= (x1 - x2 , x1 - x2, x3)
4. В пространстве R3 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора q, заданного матрицей .
=
Вариант 2
1.Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2 – x3, - 3x2+3x3, x2 - x3 ). Определить его матрицу, дефект, ранг, построить базисы ядра и образа.
2. Линейное отображение j векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 } матрицу = . Найти матрицу отображения j в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если
f1 = e1+ e3, f2 = e1+ e2+ e3, f3 =2e1+ e2 + 3e3.
3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:
= (x1 , x1,0)
4. В пространстве R3 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора q, заданного матрицей .
=
Контрольная работа № 1 по теме: «Элементы теории групп»
Вариант №1
1. Является ли группой <А = {a + b 
}, +>?
2. Образует ли подмножество H = {7k, kÎZ} подгруппу группы <Z, +>?
3. Построить фактор-группу аддитивной группы 3Z по подгруппе 9Z?
4. Найти левое и правое разложение симметрической группы подстановок S3 по циклической подгруппе, порождённой подстановкой f = 
.
5. Доказать изоморфизм групп <Z, +> и <7Z, +>.
Вариант №2
1. Является ли группой <А = {a + b 
}, +>?
2. Образует ли подмножество H = {11k, kÎZ} подгруппу группы <Z, +>?
3.Построить фактор-группу аддитивной группы 2Z по подгруппе 6Z?
4. Найти левое и правое разложение симметрической группы подстановок S3 по циклической подгруппе, порождённой подстановкой f = 
.
5. Доказать изоморфизм групп <Z, +> и <5Z, +>.
Семестровое задание по алгебре для студентов II курса математиков (3 семестр )
Тема1: “Элементы теории групп”
1. Являются ли следующие операции бинарными алгебраическими на множестве A?
a) × , A = R \ Q, b) x* y =(x – y)2, A = N, c) xo y = r, где r – остаток от деления ) x+ y на 6, A = Z.
2. Какими свойствами обладают следующие бинарные алгебраические операции ?
a) x* y =(x + y)2, A = N, b) xo y = , b) x* y = , A = Q.
3. Являются ли группами следующие алгебры:
a) {z | zÎ C, | z| =1} относительно операции умножения в С,
b) {a+b, где a , bÎ Q} относительно операции сложения?
4. С помощью таблицы Кели определить, являются ли данные конечные множества группами
относительно заданных операций. Если являются, то найти единицу, обратные к каждому элементу, порядки элементов и выяснить будет ли группа циклической, коммутативной, какие элементы являются её образующими?
a){
= cos 
+ i sin , где kÎ {0,1,2}} относительно умножения комплексных чисел.
b) { e = 
} относительно умножения подстановок?
5. Проверить, является ли H подгруппой группы A, будет ли она циклической? Если да, каков порядок порождающего элемента?
a) A = 3Z, H =9Z относительно сложения целых чисел,
b) A=S3, H = { e = 
} относительно умножения подстановок.
6. Найти циклическую подгруппу группы A относительно заданной операции, порождённую элементом b.
a) A = Z, b = 4, (операция сложения) b) A=S3, b = 
(операция умножения).
7. Найти левостороннее и правостороннее разложения на смежные классы группы A по
подгруппе H и проверить является ли H нормальной подгруппой.
a) A= GL(2,R), H= {A Î GL(2,R) | det (A) = 1}
b) A=S3, H = { e = 
}
8. Построить фактор - группы:
a) 3Z / 9Z, b) S3 / H, где H = { e = }.
9. Доказать изоморфизм групп:
a) <Z, +> и < 5Z, +>;
b) <G1 = 
,×>; <G2 = {a + b
| a, bÎ Q, a2 + b2>0},×>.
Тема2: “Линейные операторы”
1. Какие из следующих преобразований арифметического векторного пространства R3 являются
линейными ? В случае линейности найти матрицу данного линейного оператора относительно стандартного базиса.
а) = (x1+ x2+ x3 , x1+ x2, x3)
б) = (x1+ 1 , x2+ 2, x3 + 3)
в) = (x1 , x1× x2, , x1× x2× x3)
2. Найдите матрицу линейного оператора, переводящего векторы a1, a2 соответственно в
векторы b1,b2, относительно стандартного базиса (1) e1=(1,0), e2=(0,1), если
a1 = (1,1), b1 = (1,2),
a2 = (0,1), b2 = (2,1).
3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейных операторов пространства R3:
а) = (x1+ x2 , x1+ x2, x3)
б) = (x1 , x1,0)
4. Линейный оператор j имеет матрицу
=
относительно базиса (1) a1 =(1,2); a2 =(3,7).
Линейный оператор q имеет матрицу 
=
относительно базиса (2) b1=(1,1),b2 = (0,1).
Найдите матрицу оператора 
относительно базиса (1)(a1,a2).
5. Покажите, что оператор дифференцирования является линейным оператором пространства многочленов степени, не превосходящей n от одной переменной с действительными коэффициентами. Найдите матрицу этого оператора относительно базиса (1, x, x2,…, xn).
6. Пусть линейный оператор 
в пространстве Т2 = {f(x) = a0+a1x+ a2x2| a0, a1, a2Î R} имеет в базисе (1)(1, x, x2) матрицу 
. Найти его матрицу в базисе:
(2) (3x2+x+1, x2+3x+2, 2x2+x+3).
7. В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис, состоящий из матриц:
(1) Е1 = 
, E2 = 
, Е3 = 
, E4 = 
.
Запишите в базисе (1) матрицу оператора транспонирования. Как изменится эта матрица, если в базисе поменять местами E2 и E3.
8. Составьте характеристическое уравнение и найдите собственные значения и собственные векторы оператора ортогонального проектирования на ось OX пространства геометрических векторов плоскости, выходящих из начала координат O.
9. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора j: R3® R3, если
= (x1, 2x2,3 x3).
