(5)

где d – разность между hпр и hобр в секции, мм;

L – длина секции, км;

[L] – длина хода, км;

n – число секций в ходе.

6 Ошибка самой ошибки характеризует точность получения величины mкм и вычисляется по формуле:

(6)

7 Невязка по ходу подсчитывается по формуле:

(7)

где

Нкон и Ннач – отметки конечной и начальной марок или реперов.

8 Полученная невязка по формуле 7 сравнивается с предельной невязкой нивелирного хода

(8)

где L – длина хода в км.

9 Делается вывод о качестве (точности) полевых измерений. Если:

- di £ dпред;

- mкм £ 5 мм (допуск по инструкции для III кл.);

- fh £ fh доп,

то измеренные превышения по точности соответствуют III классу. В противном случае превышения перемеряются в поле.

10 Полученная невязка fh распределяется с обратным знаком пропорционально длинам секций хода, для этого вычисляются в графе 11 поправки vi по формуле

(9)

где [L] – длина хода, км;

Li – длина секции, км.

(Поправки вычисляются в мм, поэтому величина fh берётся в мм.)

11 Контроль вычисления поправок выполняется по формуле

(10)

12 Уравненные превышения вычисляются в графе 12 по формуле

(11)

13 Уравненные отметки вычисляются в графе 13 по формуле

(12)

Если уравнивание выполнено верно, то

(13)

14 Веса уравненных отметок промежуточных реперов определяются по формуле

(14)

где – длина всего хода, км;

– длина хода от начальной марки до репера с номером i, км;

– длина хода от репера i до конечной марки с номером, км.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Вычисленные веса записываются в графу 14.

15 Средняя квадратическая ошибка уравненных отметок вычисляется по формуле

(15)

Результаты вычислений записываются в графу 15.

16 Ошибки самих ошибок находятся по формуле

(16)

17 Из всех MH i из графы 15 выбирают самую большую, которая является средней квадратической ошибкой в слабом месте хода

max MH i = MH слаб,

где MH слаб – ошибка в слабом месте (примерно в середине хода).

Должно выполняться условие

MH слаб £ Dпред, (17)

где Dпред – предельная СКО положения точки по высоте в середине хода после уравнивания.

Предельная СКО положения точки по высоте после уравнивания равняется СКО положения по высоте конечной точке хода до уравнивания, т. е.

Dпред = М, (18)

где М – СКО положения по высоте конечной точки хода до уравнивания, вычисляемая по формуле

(19)

где L, км – длина хода.

Если max MH i £ то уравненные отметки соответствуют по точности III классу.

Лабораторная работа № 19

Тема: Уравнивание нивелирной сети IV класса коррелатным способом

Цель: Освоить методику уравнивания нивелирных сетей данным способом

Содержание работы:

1. Составить рабочую схему нивелирной сети

2. Подсчитать количество независимых полигонов и достроить сеть до r полигонов

3. Вычислить фактические и предельные невязки полигонов

4. Составить систему нормальных уравнений коррелат и вычислить коррелаты

5. Вычислить поправки в превышения

6. Вычислить окончательные отметки узловых пунктов нивелирной сети

7. Вычислить среднюю квадратическую погрешность единицы веса

Пособия и принадлежности:

1. и др. Практикум по геодезии. М. Недра, 1978.

2. Микрокалькулятор.

Вопросы для самоподготовки:

1. Какие способы уравнивания применяют для нивелирных сетей?

2. Как подсчитать количество независимых полигонов?

3. Что является коррелатой?

4. Что называют средней квадратической ошибкой единицы

6.1 Порядок уравнивания нивелирной сети:

Для контрольного примера на рисунке 5 представлена нивелирная сеть IV класса с тремя исходными марками М43, М52 и М143. Все исходные данные и измеренные величины, включающие превышения и длины ходов, приведены на схематическом чертеже, а именно:

- номера и отметки исходных марок (в числителе – номер исходной марки, а в знаменателе её отметка );

- номера узловых реперов: Рп12, Рп13, Рп14 отметки которых необходимо получить из уравнивания;

- по каждому ходу над чертой даны измеренные превышения в направлении указанном стрелкой, а под чертой – длины соответствующих ходов в километрах.

Рис. 5 - Схема нивелирной сети IV класса

Уравнивание производится в следующем порядке.

1 Подсчитывается число независимых полигонов по формуле:

r = n – k, (19)

где n – число всех измерений (число ходов);

k – число необходимых измерений (число определяемых реперов: Рп12, Рп13, Рп14).

Для удобства уравнительных вычислений рекомендуется пронумеровать арабскими цифрами в любой последовательности все хода, как это обозначено на рис. 6. Всего в данной сети пронумеровано 7 ходов, а число определяемых реперов равно 3, поэтому, число независимых полигонов вычисляется следующим образом:

r = 7 – 3 = 4.

Для контроля величина r вычисляется по формуле:

r = N + T – 1, (20)

где N – число замкнутых полигонов;

T – число исходных марок или реперов.

В данном примере: N = 2, T = 3, следовательно r = 2 + 3 –1 = 4.

2 Достроить сеть до r полигонов.

Достраиваются полигоны таким образом, чтобы каждый полигон по возможности включал в себя меньшее число ходов. Полигоны достраиваются пунктирными линиями, которые намечаются между исходными пунктами. Для сети, изображённой на рис. 5 полигон III выбран от М43 до М52 с ходами 2 и 1, а полигон IV от М52 до М143 с ходами 5 и 6. В результате составляется схематический чертёж сети полигонов в соответствии с (рис. 6), на котором указываются номера полигонов, обозначенные римскими цифрами и номера ходов.

Вначале нумеруют замкнутые полигоны, а затем достроенные полигоны.

Рис. 6- Схема нивелирной сети с достроенными полигонами

3 Во всех полигонах задаётся стрелкой направление обхода полигонов, которое

может быть по ходу часовой стрелки или против хода часовой стрелки, но одинаковым для всех полигонов.

Направления превышений по достроенным пунктирным линиям между исходными пунктами берутся произвольно и вычисляются значения этих превышений:

hист. III = Hкон – Hнач = HM52 – HM53 = –3,699;

hист. IV = HM143 – HM52 = –2,517.

Полученные превышения подписываются на схеме другим цветом.

4 По всем полигонам подсчитываются невязки в сумме превышений, придерживаясь следующих правил:

- если направление превышения h совпадает с направлением обхода полигона, то знак у превышения h сохраняется;

- если не совпадает, то знак h меняется на противоположный.

Невязки подсчитываются в мм:

fhI = – h2 + h4 – h3 = – 3,010 – 1,601 + 4,621 = + 0,010 м = + 10 мм;

fhII = +h4 + h6 – h4 = +0,644 – 2,245 + 1,601 = 0 м;

fhIII = hIII + h2 – h1 = –3,699 + 3,101 + 0,681 = – 0,008 м = –8 мм;

fhIV = h7 – h5 + hIV = 3,153 – 0,644 – 2,517 = – 0,008 м = –8 мм.

5 Для дальнейших уравнительных работ вычисляются периметры полигонов и допустимые невязки по формулам:

[L]I = L2 + L4 + L3 = 4,3 + 5,5 + 6,3 = 16,1 км;

[L]II = L4 + L5 + L6 = 5,5 + 1,4 + 2,5 = 9,4 км;

[L]III = L1 + L2 = 1,4 + 4,3 = 5,7 км;

[L]IV = L5 + L7 = 1,4 + 2,2 = 3,6 км.

(21)

где L, км = [L]j – периметр полигона;

j = 1, 2, …, r полигонов.

Если полученные невязки по абсолютной величине меньше предельных, то можно приступить к уравниванию сети.

6 Система нормальных уравнений коррелат, составленная для данной сети включает в себя количество уравнений равное числу избыточных уравнений и имеет следующий вид:

[paa]k1 + [pab]k2 + [pac]k3 + [pad]k4 + fhI = 0;

[pab]k1 + [pbb]k2 + [pbc]k3 + [pbd]k4 + fhII = 0; (22)

[pac]k1 + [pbc]k2 + [pcc]k3 + [pcd]k4 + fhIII = 0;

[pad]k1 + [pbd]k2 + [pcd]k3 + [pdd]k4 +fhIV = 0.

где pi – обратный вес результата измерений (превышения), который вычисляется по формуле:

(23)

a, b, c, d – коэффициенты при поправках системы условных уравнений поправок;

k1, k2, …, kr – коррелаты, дополнительные множители Лагранжа, вводимые искусственно в процессе перехода от системы условных уравнений поправок к системе нормальных уравнений коррелат.

6 При вычислении коэффициентов при коррелатах пользуются следующими правилами:

- квадратичные коэффициенты приравниваются периметрам соответствующих полигонов. Соответствие просматривается по буквам: a – соответствует первому полигону, b – второму, c – третьему, d – четвёртому. Для удобства вычислений на схеме (рис. 6) в каждый полигон записывается своя буква.

Итак, квадратичные коэффициенты соответственно равны:

[paa] = [L]I = 16,1;

[pbb] = [L]II = 9,4;

[pcc] = [L]III = 5,7; (24)

[pdd] = [L]IV =3,6;

- неквадратичные коэффициенты равны длине линии между соответствующими полигонами со знаком «–». Если общей линии нет, то коэффициент равен 0. Таким образом:

[pab] = –LI, II = –5,5;

[pac] = –LI, III = –4,3;

[pad] = –LI, IV = 0; (25)

[pbc] = –LII, III = 0;

[pbd] = –LII, IV = –1,4;

[pcd] = –LIII, IV = 0.

7Система нормальных уравнений коррелат в численном виде выглядит следующим образом:

16,1×k1 – 5,5×k2 – 4,3×k3 + 0×k4 + 10 = 0;

–5,5×k1 + 9,4×k2 + 0×k3 – 1,4×k4 + 0 = 0; (26)

–4,3×k1 + 0×k2 + 5,7×k3 + 0×k4 – 8 = 0;

0×k1 – 1,4×k2 + 0×k3 + 3,6×k4 – 8 = 0.

8Нормальные уравнения коррелат решаются методом последовательного исключения неизвестных или по программе «Alisa». В данном примере значения коррелат получились следующие:

k1 = –0,2153;

k2 = +0,2176;

k3 = +1,241; (27)

k4 = +2,307.

После выполненных вычислений делается контроль решения, путём подставления найденных коррелат kj в каждое уравнение. Если коррелаты найдены верно, то в правой части должны быть «0» в пределах ошибок округления величин k1, k2, k3, k4.

9По найденным коррелатам вычисляются поправки в измеренные превышения.

Для несмежных сторон, то есть сторон, принадлежащих только одному полигону (стороны 1, 3, 6 и 7, см. рис. 5) поправки вычисляются по формуле

ni = ± Li × kj, (28)

где kj – коррелата полигона, в который входит сторона (каждому полигону соответствует своя коррелата: I – k1, II – k2, III – k3, IV – k4);

Li – длина стороны в км;

«+» – плюс перед формулой ставится тогда, когда направление превышения h совпадает с направлением обхода полигона;

«–» – минус, когда направления не совпадают.

n1 = – L1 × k3 = –1,4 × 1,241 = –2;

n3 = – L3 × k1 = –6,3 × (–0,2153) = +2; (29)

n6 = + L6 × k2 = +2,5 × 0,2176 = +1;

n7 = + L7 × k4 = +2,2 × 2,307 = +5.

Поправки вычисляют до целых миллиметров.

Для смежных сторон, то есть сторон, принадлежащих двум полигонам (стороны 2, 4 и 5, см. рис. 2) поправки вычисляются по формуле:

(30)

В скобках сначала пишется коррелата того полигона, в котором направление обхода полигона совпадает со стрелкой превышения данной стороны, а вычитается коррелата того полигона, в котором направления не совпадают.

n2 = L2 (k3 – k1) = 4,3 [1,241 – (–0,2153)] = +6,3;

n4 = L4 (k1 – k2) = 5,5 [(–0,2153) – 0,2176] = –2; (31)

n5 = L5 (k2 – k4) = 1,4 (0,2176 – 2,307) = –3.

Контролем правильности вычисления поправок по каждому полигону служит равенство

[n]j = – f h j. (32)

Поправки складывают с учётом направлений, то есть если направление обхода полигона совпадает со знаком превышения, то поправка берётся со своим знаком, если не совпадает, то поправка берётся с противоположным знаком. Для данной сети контроль выполняется следующим образом:

I полигон: n4 – n3 – n2 = –f h I –2 – 2 – 6 = –10;

II полигон: n5 + n6 – n4 = –f h II –3 + 1 + 2 = 0; (33)

III полигон: n2 – n1 = –f h III +6 + 2 = +8;

IV полигон; n7 – n5 = –f h IV +5 + 3 = +8.

Контроль должен выполняться точно. Если равенство не выполняется в пределах ±1 мм, то необходимо исправить одну из поправок.

10 Вычисление уравненных превышений и отметок узловых реперов рекомендуется выполнять в таблице 4.

Таблица 4

Ведомость вычисления отметок

№ репера

№ хода

№ исходных точек

Отметки исход-ных точек (м)

Превышения (м)

Поправки ni (мм)

Исправленные превышения (м)

Уравненные отметки (м)

Длина хода (км)

PV2

Рп12

161,431

157,732

–0,681

+3,010

–2

–0,683

+3,016

160,748

1,4

4,3

0,71

0,23

2,8

8,3

Рп14

143

157,732

155,215

+0,644

+3,153

–3

+0,641

+3,158

158,373

1,4

2,2

0,71

0,45

6,4

11,2

Рп13

160,748

157,732

158,373

–4,621

–1,601

–2,245

–2

–4,619

–1,603

–2,244

156,129

6,3

5,5

2,5

0,16

0,18

0,40

0,6

0,7

0,4

åPV2 = 30,5

Уравненные превышения вычисляют по формуле

hур i = hi + ni. (34)

При этом поправки в превышения выписываются в графу 6 таблицы 4 по правилу: если направление хода при вычислении отметки узлового репера совпадает с направлением стрелки превышения, поправка выписывается с тем знаком, с которым получена из уравновешивания, если не совпадает, то поправка выписывается с обратным знаком.

Так при вычислении отметки репера 12 направление хода 1 берётся от исходной марки 43 к Рп12, то есть совпадает со стрелкой превышения h1, поэтому поправка выписывается со своим знаком –2; направление хода 2 от марки 52 к реперу 12 тоже совпадает с направлением стрелки превышения h2 и поправка будет +6 и т. д.

Контролем уравнительных вычислений является совпадение уравненных отметок узловых точек, вычисленных по разным ходам.

11 Оценка точности по результатам уравнивания (по поправкам ni) выполняется в графах 9,10 и 11 таблицы 4.

Веса измеренных превышений по ходам вычисляются по формуле

(35)

где Li – длина хода в км.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса m вычисляется по формуле

(36)

где P – вес превышения;

n - поправка;

n – число всех ходов;

k – число узловых реперов (неизвестных).

По вычисленной СКО единицы веса делается вывод.

Так как средняя квадратическая ошибка превышения, вес которого принят за единицу (Р = 1) при оценке точности по поправкам равняется средней квадратической ошибке по ходу длиной 1 км (L = 1 км), то допуском для III класса можно принять величину равную 5 мм на 1 км хода, а для IV класса – 10 мм на 1 км хода.

В контрольном примере СКО единицы веса получилась равной 2,8мм. Данная ошибка не превышает 5мм, следовательно данный ход соответствует по точности III классу нивелирования.

Лабораторная работа №11

Уравнивание теодолитного хода.

Работа №1.Обработка результатов полевых измерений.

Работа №2. Решение обратной геодезической задачи.

Работа №3. Уравнивание измеренных горизонтальных углов и вычисление дирекционных углов сторон теодолитного хода.

Работа №4. Вычисление приращений координат теодолитного хода.

Работа №5. Уравнивание приращений координат. Вычисление координат теодолитного хода

Лабораторная работа №12.

Вычислительные работы при создании высотного обоснования.

Работа №1. Обработка страницы журнала технического нивелирования.

Составление рабочей схемы нивелирного хода.

Работа №2. Уравнивание превышений. Вычисление отметок точек хода технического нивелирования

Лабораторная работа №13.

Составление плана участка местности по результатам нивелирования поверхности по квадратам.

Работа №1. Обработка журнала нивелирования поверхности.

Работа №2. Интерполирование горизонталей и составление плана участка

Лабораторная работа №14.

Обработка журнала тахеометрической съемки. Составление плана участка местности.

Работа №1. Обработка журнала тахеометрической съемки.

Работа №2 . Построение координатной сетки. Нанесение пикетов на план.

Работа №3. Интерполирование горизонталей. Составление плана участка местности.

Заключение

Понятие об уравнивании геодезических измерений

Рассмотрим задачу уравнивания геодезических измерений на элементарном примере. B

A С

рис.1.

Если измерить внутренние углы в треугольнике АВС с помощью теодолита, то в силу различных ошибок (центрирования над вершиной угла, совмещение штрихов, личной ошибки наблюдателя и т. п.) сумма углов a; b; g будет отличаться от 180°. Процесс приведения результатов геодезических измерений в соответствие с теорией назовём уравниванием.

Пусть из измерений: b= 30°01¢ ; b = 90°01¢ ; b = 60°01¢

S(b+b+b) = 180°03¢ (1)

В то время, как из теории известно, что S(b+b+b) должна быть равной 180°.

Разность между теоретической суммой углов и практической (т. е. полученной из измерений) даст величину угловой привязки:

¦ = Sb - Sb (2)

Для нашего примера:

¦= 180° - 180°03¢ =3¢ (3)

Допустимая величина невязки регламентируется инструкцией; если

¦≤ ¦то измерение выполнено качественно и можно продолжить выравнивание, если же условие не выполняется, необходимо проверить правильность вычислений, либо выполнить повторные измерения.

Для «простоты» считаем, что условие (3) выполнено. Приступаем к вычислению «поправок» в результате геодезических измерений поправка в угол обозначается через u и определяется по формуле:

u= -; где n – количество измеряемых углов (4)

Обязателен строгий контроль:

Su= -¦ (5)

Для нашего примера имеем:

u= - = -1¢

«Исправленный» угол найдём по формуле:

b = b + u (6)

(Поправка может иметь знак «-»). Первый исправленный угол будет равен: b= b + u = 30°01¢ - 1¢ =30°

Второй исправленный угол

b= b + u = 90°01¢ - 1¢ =90°

b13= b + u = 60°01¢ - 1¢ =60°

Сумма исправленных углов (b11+ b12+ b13 = 180°) равна 180 градусов, что соответствует теории.

Рассмотренный пример конечно не исчерпывает задач уравнивания, некоторые из них будут представлены в дальнейшем.

Понятие о теодолитном ходе.

При создании геодезического обоснования для производства топографических съёмок, прокладывают теодолитный ход или систему теодолитных ходов.

Теодолитный ход – это замкнутая или разомкнутая ломаная линия, вершины которой, соответствующим образом закреплён на местности и измеренное расстояние между ними либо левые угла поворота, либо правые.

Для начальной и конечной сторон хода известны так же прямоугольные координаты и дирекционные углы ;