МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. ёва»
Типовая расчетная работа по теме:
«Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
и методические рекомендации к ней
для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
ТР
Тема: Дифференцирование функции. Построение графиков функций
Теоретические вопросы:
1. Понятие производной. Геометрический смысл производной.
2. Производные от основных элементарных функций.
3. Производные сложных функций.
4. Дифференцирование функций, заданных параметрически, неявно. Логарифмическое дифференцирование.
5. Признаки возрастания, убывания функции на отрезке.
6. Необходимое условие экстремума.
7. Достаточные признаки существования экстремума.
8. Достаточные условия выпуклости и вогнутости.
9. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.
10. Асимптоты графика функции.
Расчетные задания
Задание 1. Продифференцировать данные функции.
1.1 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.2 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.3 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.4 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
7) 
; 8) 
.
1.5 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.6 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.7 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.8 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.9 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.10 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.11 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.12 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.13 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.14 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.15 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.16 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) ;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
1.17 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.18 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.19 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.20 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.21 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.22 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.23 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.24 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.25 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) ; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
Задание 2. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики.
2.1 1) 
; 2) 
.
2.2 1) 
; 2) 
.
2.3 1) 
; 2) 
.
2.4 1) 
; 2) 
.
2.5 1) 
; 2) 
.
2.6 1) 
; 2) 
;
2.7 1) 
; 2) 
.
2.8 1) 
; 2) 
.
2.9 1) 
; 2) 
.
2.10 1) 
; 2) 
.
2.11 1) 
; 2) 
.
2.12 1) 
; 2) 
.
2.13 1) 
; 2) 
.
2.14 1) 
; 2) 
.
2.15 1) 
; 2) 
.
2.16 1) 
; 2) 
.
2.17 1) 
; 2) 
.
2.18 1) 
; 2) 
.
2.19 1) 
; 2) 
.
2.20 1) 
; 2) 
.
2.21 1) 
; 2) 
.
2.22 1) 
; 2) 
.
2.23 1) 
; 2) 
.
2.24 1) 
; 2) 
.
2.25 1) ; 2) 
.
Методические рекомендации к ТР
Для полного исследования и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:
1) указать область определения функции;
2) найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;
4) исследовать функцию на монотонность и экстремум;
5) определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции;
7) произвести необходимые дополнительные вычисления;
8) построить график функции.
Пример. Провести полное исследование функции 
и построить ее график.
Исследуем данную функцию по указанной схеме:
1) 
.
2) 
при 
, 
при 
.
3) 
и 
- точки пересечения графика функции с осями координат.
4) 
- вертикальная асимптота, причем:
,
.
Находим наклонные асимптоты 
:
.
- уравнение наклонной асимптоты.
5) 
; 
; 
- критические точки.
В интервале 
, функция возрастает; в интервале 
, функция убывает; в интервале 
, функция убывает; в интервале 
, функция возрастает.
- точка максимума, 
- точка минимума
.
.
В интервале 
, кривая выпукла на этом интервале; в интервале 
, кривая в этом интервале вогнута. Так как при функция не определена, то точка перегиба отсутствует.
