Основы геофизики (стр. 14 )

; ; .

Тогда

; . (VII.22)

Подставим полученное выражение (VII.22) в (VII.20):

Учитывая, что , после подстановки в последний интеграл получаем:

.

Итак, для вертикальной составляющей Dz вертикального тонкого пласта имеем:

. (VII.23)

Решая аналогичным образом интеграл (VII.21), получаем выражение для горизонтальной составляющей DH:

. (VII.24)

При x = 0, DH = 0, , т. е. график Dz имеет максимум над центром пласта и ассимтотически стремится к нулю при удалении от кромки пласта (рис. 48).

График DH имеет минимум под центром пласта и два смещенных экстремума – положительный и отрицательный с ассимтотическим стремлением к нулю вдали от кромки пласта (рис. 48).

Рис. 49. К определению магнитного поля пласта большой мощности

Поле изодиан Dz тонкого пласта имеет изометрическую, вытянутую вдоль простирания пласта форму. Вектор DH направлен к осевой линии пласта.

§4. Магнитное поле

вертикального толстого пласта

Если вертикальный пласт имеет ширину l, большую глубины его залегания h, (l > h), то такой пласт можно аппроксимировать пачкой тонких пластов (рис. 49).

Интегрируя выражение для Dz и DH, полученные для тонкого пласта (VII.23) и (VII.24) по всей ширине l (вдоль оси x), найдем значения поля вертикальной и горизонтальной составляющих магнитного поля для пласта большой мощности:

; . (VII.25)

Оба интеграла табличные и легко вычисляются:

.

Применив известные формулы преобразования:

,

получим:

; (VII.26)

. (VII.27)

Формулы (VII.26) и (VII.27) справедливы в том случае, если продольные размеры пласта больше, чем глубина залегания верхней грани. В этом случае влиянием нижней грани можно пренебречь. Графики, показывающие ход кривых Dz и DH для толстого пласта, приведены на рис. 49.

Приведенные кривые Dz и DH представляют собой сумму кривых Dz и DH для бесконечного числа тонких пластов, на которые можно разбить пласт. Поэтому они мало отличаются и по форме и по амплитуде от кривых для тонкого вертикального пласта (рис. 48, с. 185), и лишь в плане аномалия Dz будет иметь большую ширину по сравнению с тонким пластом.

§5. Магнитное поле горизонтального цилиндра

Поле цилиндра эквивалентно полю бесконечного числа вертикальных магнитных диполей, центры которых расположены на оси цилиндра. Магнитный потенциал V в точке Р земной поверхности (ось x ) от элемента цилиндра равен (рис. 50):

Рис. 50. К определению магнитного поля горизонтального цилиндра

(VII.28)

где

.

Для нахождения потенциала V по всей длине цилиндра нужно выражение (VII.28) проинтегрировать в бесконечных пределах:

.

Поскольку двойной интеграл определяет площадь поверхности сечения цилиндра

,

а второй интеграл нами уже был решен в §3, где он был равен

,

то для потенциала цилиндра имеем:

. (VII.29)

Дифференцируя полученное выражение по h и x найдем вертикальную и горизонтальную составляющие Dz и DH магнитного поля цилиндра:

; (VII.30)

. (VII.31)

Графики функций Dz и DH приведены на рис. 50.

§6. Магнитное поле уступа

Рис. 51. К определению магнитного поля уступа

Уступ – это вертикальный контакт двух различных пород, сильно различающихся по намагниченности (рис. 51). Это может быть сброс вдоль линии разлома, контакт кристаллических и осадочных пород и т. п.

Отнесем нижнюю кромку центра в бесконечность. Тогда положительные магнитные массы будут сосредоточены на поверхности правой плоскости уступа в виде тонкой намагниченной пластины (простран­ственная задача) или намагниченной нити (плоская задача, см. рис. 51).

Разобьем уступ на бесконечно большое количество тонких вертикальных слоев длиной dx. Тогда магнитная масса элемента слоя будет:

.

Значения Dz вертикальной и DH­ горизонтальной составляющей такого тонкого слоя мы уже определяли в §3:

; .

Для нахождения этих компонентов в случае уступа необходимо проинтегрировать Dz и DH в пределах от 0 до ¥ вдоль оси x:

; . (VII.32)

Оба интеграла табличные и легко находятся:

. (VII.33)

Над уступом (x = 0) , вдали от него:

; (VII.34)

. (VII.35)

Максимум DH будет располагаться над уступом (рис. 51).

§7. Интерпретация магнитных аномалий

Анализируя полученные в предыдущем параграфе формулы для Dz, DH и V и соответствующие им графики, нетрудно увидеть, что тела различной формы нередко создают весьма сходные магнитные аномалии. Это обусловливает неоднозначность количественных решений обратной задачи магнитометрии в целом и геологической интерпретации магнитных наблюдений в частности. Тем не менее в ряде случаев удается оценить размеры и глубину залегания верхней, а иногда и нижней кромки магнитовозмущающих тел. При этом для упрощения вычислений приходится чаще всего исходить из предположения о вертикальном намагничении тел.

Определение элементов залегания вертикального стержня бесконечной длины. Изометрические аномалии Dz и DT одного знака (см. рис. 46, с. 183) являются указанием на то, что глубина залегания нижнего края намагниченного тела весьма значительна, а поперечные размеры тела примерно соответствуют размерам и конфигурации изодианам или изолиний DT. Для интерпретации таких аномалий можно использовать формулы для вертикального стержня бесконечной длины:

(VII.36)

Откуда легко определить глубину до верхней кромки:

. (VII.37)

Так как величина IS обычно неизвестна, то удобнее пользоваться другой формулой:

, (VII.38)

где Dzi – текущее значение кривой Dz на пикетах профиля.

Для отношения (VII.38) можно рассчитать таблицы, из которых легко определить xi/h.

	0,8	0,5	0,25
	0,4	0,75	1,2

Например, на абсциссе x1/2, где величина

, . (VII.39)

По полученным таким образом значениям h и Dzmax можно оценить величину . Если же интенсивность намагничивания I известна, например, по определениям на образцах (), то можно вычислить площадь верхней кромки намагниченного тела:

. (VII.40)

Определение элементов залегания намагниченного шара. Интенсивная положительная изотермическая аномалия, вокруг которой располагается слабая отрицательная аномалия (см. рис. 47 на с. 184), свидетельствует о том, что нижняя кромка намагниченного тела залегает на сравнительно небольшой глубине. Для интерпретации таких аномалий можно использовать формулы для шара:

; .

При x = 0 получаем , откуда нетрудно определить глубину над центром шара:

. (VII.41)

При известном I можно оценить радиус шара и примерный объем намагниченного тела:

; ; . (VII.42)

Определение элементов залегания тонкого пласта бесконечной длины. Вытянутые аномалии одного знака свидетельствуют о большой глубине залегания нижней кромки намагниченного тела, форма которого, очевидно, близка к вертикальному пласту бесконечного простирания (см. рис. 48 на с. 185). Для Dz и DH имеем выражение:

; ,

Решая оба уравнения относительно h, получим:

. (VII.43)

Произвольно беря xi и соответствующие им значения Dzi и DHi, легко определяем глубину залегания верхней кромки пласта. Если кривые Dz и DH были действительно обусловлены такой формой тела, то все h, рассчитанные в нескольких точках профиля x, совпадут с небольшим разбросом. В противном случае этот разброс будет велик.

Интерпретацию можно производить также, пользуясь лишь кривой Dz. Решая совместно два уравнения, полученные для Dzmax и любого текущего значения Dzi

, ;

получим:

. (VII.44)

В точке профиля, где , h = x1/2, т. е. абсциссе этой точки. Если по образцам или каким-либо иным способом определена интенсивность намагничивания I, то по полученным значениям h и I можно оценить ширину намагниченного тела:

. (VII.45)

Зная Dz и h, легко определить намагниченность:

. (VII.46)

Графические способы интерпретации. В отличие от рассмотренных выше аналитических способов определения параметров геологического объекта, где для расчетов используются лишь отдельные экстремальные значения аномалий, в графических способах реализуется большая часть аномальной кривой Dz, DH или DT. Это повышает точность интерпретации, что с учетом относительной простоты операций вычисления h делает графические способы предпочтительнее аналитическим.

Одним из таких способов является так называемый способ касательных, реализующий в первом приближении связь ширины аномалии с глубиной залегания намагниченного тела. В первоначальном варианте, предложенном , определение глубины залегания верхней кромки магнитовозмущающих тел проводилось следующим образом:

. (VII.47)

Рис. 52. К определению глубины залегания верхних кромок намагниченных тел методом касательных

Значения x1, x2, xґ1 и xґ2 видны из рис. 52.

Эта формула дает весьма приблизительную оценку h для тел, близких к вертикальному пласту большой мощности (l ³ 2h), нижняя кромка которого не оказывает влияние на величину потенциала V.

В общем виде формула Грачева имеет вид:

, (VII.48)

где k – коэффициент, зависящий от формы тела. У Грачева k = 1, однако дальнейшие исследования показали, что для различных форм намагниченных тел коэффициент k сильно различается:

– для монополя k = 0,859;

– для цилиндра k = 0,650;

– для уступа k = 0,318 и т. д.

Формула (VII.48) получается из выражения (Гладкий, 1967):

, (VII.49)

где DHmax находится при помощи касательной (рис. 53).

. (VII.50)

Рис. 53. К определению горизонтальной производной по вертикальной составляющей DZ

Подставляя это значение в равенство (VII.49), получим (VII.48).

Более точный вариант способа касательных разработан , показавшим необходимость учета изменения мощности и глубины кромки.

В способе Пятницкого аномалия аппроксимируется пятью касательными. Проекции отрезков ломаной линии касательных на ось x и xґ связаны с глубиной и относительной мощностью магнитовозмущающих тел следующими соотношениями:

(VII.51)

Вычисление глубины h и средней намагниченности Iср. производится по формулам:

; . (VII.52)

Коэффициенты K1 и K2 находятся из таблицы, рассчитанной для идеальных аномалий.

Таблица VII.1

Коэффициенты для определения глубины и намагниченности
возмущающих тел способом

0	3,14	6,28	4,0	2,01	3,45
0,5	2,90	5,70	4,5	1,94	3,23
1,0	2,70	5,32	5,0	1,87	2,94
1,5	2,54	4,94	5,5	1,81	2,62
2,0	2,40	4,54	6,0	1,75	2,28
2,5	2,28	4,32	6,5	1,70	2,04
3,0	2,18	3,90	7,0	1,64	1,77
3,5	2,08	3,70	7,5	1,60	1,52

Определение глубины залегания нижних кромок намагниченных тел. Расчет глубины залегания нижних кромок намагниченных тел позволяет в ряде случаев судить о тепловом режиме верхней мантии и земной коры океанических областей, так как намагничивание не может происходить при температуре выше точки Кюри, т. е. порядка 600°С. Вместе с тем методика определения глубины залегания нижних кромок разработана еще недостаточно.

Для вертикальных пластов ограниченной мощности используется эмпирическая формула , предложенная в 1961 году:

, (VII.53)

где h1 – глубина до верхней кромки, рассчитываемая по одной из формул, рассмотренных выше; h2 – глубина до нижней кромки; l – полумощность вертикального пласта; xmin – абсцисса точки, где Dz = Dzmin. Смысл этих величин хорошо виден из приведенного ниже рисунка (рис. 54). Формула верна для . Для наклонных пластов и косого намагничивания формула Булиной дает большие ошибки.

Показателем влияния нижней границы намагниченных тел является наличие у аномалии Dz (DТ) краевых минимумов, расстояние между которыми зависит от глубины залегания нижней кромки магнитовозмущающих тел. Именно этот физический смысл и заложен в способе Булиной.

Рассмотренные аналитические и графические методы интерпретации магнитных аномалий Dz и DH пригодны также и для интерпретации кривых DТ. При обработке магнитометрических материалов необходимо учитывать вариации геомагнитного поля.

Рис. 54. К определению глубины залегания нижних кромок намагниченных тел методом

§8. Связь гравитационного и магнитного потенциалов

Представляет интерес сопоставить гравитационные и магнитные поля, создаваемые одними и теми же геологическими объектами, и выяснить имеется ли между ними какая-либо связь.

Сопоставим между собой гравитационный (V) и магнитный потенциалы (U):

; (VII.54)

. (VII.55)

Дифференцируя (VII.54), получим:

, (VII.56)

откуда:

. (VII.57)

Из выражения (VII.55) имеем:

(VII.58)

(так как cosQ = 1 при Q = 0, считаем намагниченность пород вертикальной, т. е. приведенной к магнитному полюсу). Здесь

+ z2.

Найдем частные производные от правой части выражения (VII.57):

; (VII.59)

(так как , что следует из (VII.54)).

Далее:

; (VII.60)

. (VII.61)

Подставим (VII.59, VII.60, VII.61) в (VII.58):

. (VII.59)

Введем единичный вектор , совпадающий с вектором намагниченности ,

. (VII.62)

Тогда выражение (VII.59) можно переписать в виде:

. (VII.63)

Это выражение называется уравнением Пуассона. Оно устанавливает связь между гравитационным и магнитным потенциалами. В частности, из соотношения (VII.63) следует, что магнитный потенциал равен произведению гравитационного потенциала, умноженного на коэффициент , который для каждой данной аномалии будет величиной постоянной, т. е.

. (VII.64)

§9. Трансформации потенциальных полей

При геофизических, гравимагнитных исследованиях, например в океане, измерительный комплекс аппаратуры помещается либо на корабле, либо в приповерхностном слое воды. Аномалиеобразующие тела залегают в толще земной коры на различных уровнях подо дном океана. Поэтому все измерения, производимые фактически с поверхности воды, как бы удалены от объектов в верхнее полупространство на расстояние, равное глубине океана в точке наблюдения. Аналогичная ситуация возникает при наблюдениях на суше, когда поверхность кристаллического фундамента, где сосредоточены основные аномалиеобразующие массы, отделена от поверхности наблюдения осадочной толщей. Такое удаление от источников аномалий, конечно, ослабляет наблюдаемые на поверхности потенциальные поля и ухудшает их разрешающую способность.

Попытки улучшить информацию путем наблюдений с приборов, буксируемых вблизи поверхности дна, хотя и дают положительные результаты, однако ввиду сложности и высокой стоимостью технического исполнения не выходят за рамки экспериментов. К настоящему времени разработан целый арсенал методов, позволяющих решить этот вопрос аналитически, используя лишь наблюденные значения Dz (DT) или Dg. Наиболее употребительными методами преобразования потенциальных полей являются осреднение, аналитическое продолжение (трансформация) поля в верхнее или нижнее полупространство, вычисление высших производных потенциала.

Поле аномалий Dg и DT, взятое, например, вдоль некоторого профиля, представляет чаще всего довольно сложную кривую. Она отражает суперпозицию взаимного влияния различных тел, расположенных на разных уровнях в земной коре.

Удаляясь или приближаясь к аномальным массам, мы будем тем самым ослаблять или усиливать те или иные аномалии, потому как в общем виде величина потенциала обратно пропорциональна расстоянию до возмущающего объекта:

.

Гравитационный и магнитный потенциалы являются гармоническими функциями, т. е. слабо меняющимися при малых приращениях аргумента и дважды дифференцируемые. Однако, строго говоря, магнитный потенциал не вполне отвечает этому требованию, так как в знаменателе имеет квадрат расстояния (r2), а не первую степень (r), как у гравитационного потенциала.

Согласно теореме Гаусса о среднем значении гармонической функции, она обладает важным свойством: будучи заданной на плоскости и на сфере, гармоническая функция может быть определена в любой точке пространства. Иными словами, значение гармонической функции, например, в центре круга равно интегральному среднему ее значения на окружности (плоская задача).

При этом оказывается, что при пересчете поля в верхнее и нижнее полупространства наиболее сильно изменяется поле от небольших по размерам объектов, расположенных близко к поверхности. Поле от глубоко расположенных крупных геологических объектов мало подвержено изменению при трансформациях. Пересчитывая поле Dg или DT вверх, мы в значительной степени исключаем влияние локальных структур и подчеркиваем поле, вызванное действием крупных региональных объектов.

С другой стороны, пересчитывая наблюденное поле в нижнее полупространство, например на уровень кристаллического фундамента, мы в значительной мере усиливаем интенсивность локальных аномалий, вызванных близко расположенными к поверхности небольшими объектами.