Синтез и моделирование цифровых управляющих систем с двойной шкалой времени (стр. 2 )

, (1.23)

, (1.24)

где в качестве нулевого приближения принимается:

Аналогично получают рекуррентные формулы для определения QБ, QМ:

, (1.25)

, (1.26)

где в качестве начального приближения использовано:

Уравнение (1.22) можно решать и алгебраически (не итерационно), поскольку параметры матриц QБ, QМ входят в них линейно.

1.4. Достаточные условия наличия разнотемповости

Проверка производится с использованием леммы, устанавливающей нижнюю границу величины зазора между спектрами собственных чисел медленного и быстрого субпроцессов. Для ее использования исходное уравнение (1.1) должно быть представлено в виде

, (1.27)

где m – малый скалярный параметр. Если x1[s] и x2[s] считаются по физическим соображениям разнотемповыми, то в качестве m можно выбрать

(1.28)

В (1.27) значение j, 0 £ j £ 1 определяется из условия

.

Если используется Б-преобразование, то для того чтобы объект (1.1) обладал свойством ДШВ, достаточно, чтобы малый параметр m удовлетворял условию

, (1.29)

При выполнении (1.29) существует единственная матрица РБ размерности n2 ´ n1, норма которой удовлетворяет условию

. (1.30)

Спектр собственных чисел s(A11 – A12PБ) является подмножеством спектра s(А), последний является объединением спектров следующих матриц:

.

Выполнение условий (1.29) гарантирует сходимость итерационной процедуры определения РБ по (1.23).

Если используется М-преобразование, то условие, аналогичное (1.29), имеет вид:

, (1.31)

где остальные параметры – как в (1.29).

Если m удовлетворяет (1.31), то существует единственная матрица РМ размерности n1 ´ n2, норма которой удовлетворяет условию

. (1.32)

Спектр собственных чисел s(A11+PМA21) является подмножеством спектра s(A), последний является объединением спектров следующих матриц:

.

1.5. Последовательность расчета параметров при использовании метода ДШВ для моделирования динамики сложного процесса

1. В зависимости от формы исходных «физических» уравнений (1.1) выбрать способ их преобразования к модели с сепаратными быстрой и медленной составляющими. Например, при А12 = 0 удобнее Б-преобразование, при А21 = 0 – М-преобразование.

2. Привести исходную запись (1.1) в форму (1.27), определить численные значения m, j,

3. Проверить наличие свойства ДШВ в модели объекта (с использованием условия (1.28) при Б-преобразовании либо (1.30) при М-преобра-зовании). При подтверждении наличия данного свойства метод ДШВ применим; в противном случае также остается возможность получения удовлетворительного результата (поскольку условия (1.29) и (1.31) достаточные), но работоспособность метода следует проверять экспериментально.

4. При использовании Б-преобразования определить последовательно РБ (по (1.21а) либо по итерационной процедуре (1.23)), затем QБ (по (1.22а) либо итерационной процедуре (1.25)). При использовании М-преобразования определить РМ (по (1.21б) либо (1.24)), затем QМ (по (1.22б) либо (1.26)). Несмотря на то, что (1.21а) и (1.21б) имеют несколько решений, соотношения (1.30), (1.32) позволяют выбрать единственное допустимое.

5. Рассчитать параметры АМ, АБ, ВМ, ВБ по формулам, приведенным в табл. 1.

6. Провести моделирование отработки ненулевого начального состояния при нулевых управлениях u1, u2 в исходном объекте (1.1) и в модели с сепаратными составляющими (1.2); установить номер такта s*, начиная с которого динамику объекта можно характеризовать только медленной составляющей, т. е. с заданной точностью положить:

.

На интервале k ³ s* для моделирования динамики может быть использована модель пониженного порядка

,

где– задано, k ³ s*.

7. Как показывает опыт расчетов, приближение к точной модели (1.1) может быть значительно улучшено, если в качестве выбрать агрегированный сигнал

,

где СМ определяется по (1.20). В силу соотношений двойственности при использовании М-преобразования начальные условия корректируются для быстрой составляющей

,

при этом

.

Быстрая составляющая рассматривается как квазиустановившаяся (получается из (1.18) или (1.19) в предположении, что хБ[k] = 0 " k ³ s*) – т. е. в одной из следующих форм:

; (1.33)

В (1.33) полностью пренебрегают зависимостью х2[s] от начального состояния (она имеет значение лишь при 0 £ s < s*).

8. На интервале 0 £ s < s* ввести более детальную временную шкалу (для более точного моделирования x2[s]) из условия:

,

где DT1 – интервал дискретизации, выбранный для моделирования медленной составляющей (и объекта (1.1) в целом). Пересчитать параметры быстрой модели с учетом нового интервала дискретизации.

§ 2. Направления развития метода ДШВ для дискретных систем

Обзор достигнутого уровня методологии моделирования разнотемповых процессов позволил выявить необходимость проведения дополнительных исследований. В частности, остались неизученными следующие позиции:

1. Не разработана детальная методика использования свойства разнотемповости процессов в объекте для моделирования [16] и синтеза систем управления.

2. Не введены соотношения, позволяющие рассчитывать параметры моделей процессов в разных шкалах времени, в связи с чем методика моделирования дискретных разнотемповых процессов не доведена до уровня, позволяющего ее использовать в задачах анализа и синтеза алгоритмов для цифровых систем, используемых для управления объектами в непрерывном времени.

3. Отсутствует аппарат описания разнотемповых процессов с учетом внешних (в частности, управляющих) воздействий. Подмена этого аппарата рассмотренными в [8, 13, 76] задачами отработки ненулевых начальных условий не позволяет получить приемлемую точность декомпозиции процесса на быструю и медленную составляющие.

4. Не введены показатели и критерии, позволяющие оценить точность приближенного описания процессов с разнотемповыми составляющими в разных шкалах времени.

5. Недостаточно выявлены перспективы использования эффектов разнотемповости для усовершенствования алгоритмического обеспечения существующих локальных регуляторов без усложнения их технической структуры.

6. Не разработаны методы учета особенностей разнотемповых процессов для синтеза субоптимальных алгоритмов.

Вклад в решение этих вопросов составляет содержание данной книги. Перечислим основные направления выполненных исследований:

1. Разработка методики моделирования дискретных систем с разнотемповыми составляющими в двух шкалах времени, ориентированной на применение в цифровых управляющих системах (гл. 1, § 3).

2. Исследование эффективности метода ДШВ при моделировании дискретных объектов с ненулевыми управляющими воздействиями (гл. 1, § 3).

3. Разработка показателей качества, позволяющих проводить оценку результатов процесса декомпозиции модели объекта на медленный и быстрый субпроцессы (гл. 2, § 2).

4. Синтез цифровых «двушкальных» регуляторов для объектов с разнотемповыми составляющими. Оценка эффективности таких алгоритмов при изменяющемся задающем воздействии (гл. 2, § 1).

5. Разработка подхода к оценке эффективности метода ДШВ с позиций использования ресурса времени, высвобождающегося в цифровой управляющей системе за счет применения моделей разнотемповых процессов пониженного порядка (гл. 2, § 2).

6. Упрощение процедуры синтеза законов управления разнотемповыми процессами методом АКОР за счет использования двух шкал времени. Предлагаемый подход позволяет получить хорошее приближение к качеству оптимальной системы, синтезированной методом АКОР без использования упрощений. Субоптимальные управляющие воздействия представляются в виде суммы составляющих, каждая из которых рассчитывается методом АКОР для медленного и быстрого субпроцессов автономно, в разных шкалах времени (гл. 3, § 2).

7. Исследование возможности восстановления неизмеряемых компонент вектора состояния для систем управления с разнотемповыми составляющими с использованием фильтра Люенбергера пониженного порядка (гл. 3, § 3).

§ 3. Методика моделирования дискретных систем управления по методу ДШВ

Описание методики проведено по следующей схеме:

-  кратко аннотируются этапы расчета (п. 3.1);

-  вводится необходимый формальный аппарат для каждого этапа.

Проверка методики проведена на двух примерах. Первый (рассмотрен в данном параграфе, п. 3.2) иллюстрирует положения методики применительно к абстрактному многомерному процессу, без упрощения формальных соотношений. Второй (рассмотренный в § 4) направлен на решение конкретной прикладной задачи (моделирование переходных процессов в электродвигателе постоянного тока). Этот пример иллюстрирует возможность упрощения формальных (матричных) соотношений методики применительно к распространенным объектам второго порядка, поскольку разнотемповые субпроцессы в таких объектах описываются в скалярах.

3.1 Методика моделирования систем с разнотемповыми процессами

1. Общие положения. Конечная цель моделирования – определить, могут ли различия в инерционности субпроцессов в объекте, выявленные интуитивно, обеспечить приемлемую точность представления субпроцессов в различных шкалах времени с соответствующим понижением порядка (уровня сложности) модели объекта в системах управления.

Содержательно методика состоит в следующем. Вначале осуществляется сепарация (разделение) медленной и быстрой составляющих на независимые субпроцессы способом, аналогичным описанному в § 1. Затем проводится диагностирование наличия существенно разнотемповых субпроцессов либо по соотношениям, аналогичным (1.29), либо по факту сходимости итерационных процедур расчета матричных коэффициентов (PБ, QБ) (1.23), (1.25) или (PМ, QМ) (1.24), (1.26).

В случае подтверждения наличия таких субпроцессов определяются параметры шкал времени для описания медленной и быстрой составляющих, т. е. рассчитывается дискрета отсчета быстрого времени в зависимости от заданного значения дискреты отсчета медленного времени и определяется число тактов медленного времени, на которых целесообразно учитывать собственную динамику быстрого субпроцесса.

Вводится неравномерный ритм работы управляющей системы: временные интервалы, в течение которых собственной динамикой быстрого субпроцесса можно пренебречь без заметных потерь точности, отсчитываются с дискретой медленного времени; в моменты инициирования свободной составляющей быстрого субпроцесса (т. е. при резких изменениях задающих воздействий или возмущений) происходит переход к отсчету с дискретой быстрого времени.

Вводятся модели пониженного порядка для описания медленной и быстрой динамики. Модель для описания медленных динамических процессов (ее размерность соответствует размерности вектора состояния медленного субпроцесса) ориентирована на представление медленного субпроцесса и вынужденной составляющей быстрого субпроцесса. Последняя обусловлена влиянием медленного субпроцесса, управляющими воздействиями и внешними возмущениями. Потери точности связаны с представлением вынужденной составляющей быстрого субпроцесса как безынерционной.

Ниже (как в данной, так и в остальных главах) используется следующий прием построения модели пониженного порядка для описания медленных компонентов вектора состояния.

Запишем вместо (1.1) модель объекта в форме, явно показывающей взаимодействие субпроцессов:

Считая, что в медленном времени можно пренебречь свободной динамикой быстрого субпроцесса, приближенно оценим вынужденную (медленную) составляющую быстрого субпроцесса как результат безынерционного слежения за медленной составляющей и управляющим воздействием. Для этого заменим второе уравнение статическим, т. е. вместо

запишем:

.

Из последнего соотношения определим оценку вынужденной составляющей быстрого субпроцесса:

,

где , Е – единичная матрица размерности n2 ´ n2 (предполагается, что обратима).

Замена динамического описания быстрого субпроцесса статическим (алгебраическим) уравнением позволяет приближенно представить динамику в медленном времени моделью

.

Отметим, что в опубликованных работах [12...15] не учтено влияние управляющих воздействий.

Модель для описания быстрых динамических процессов (ее размерность соответствует размерности вектора состояния быстрого субпроцесса) ориентирована на представление свободной составляющей быстрого субпроцесса. Потери точности связаны с отсутствием учета изменений медленной составляющей в интервале времени, на котором рассматривается свободная составляющая быстрого субпроцесса.

В моменты изменений режима работы объекта (вызываемых, например, ступенчатым изменением задающего воздействия или возмущения) начинается отсчет дискрет быстрого времени t = 0, 1, … , tmax. Здесь tmax – число тактов таких, что при t > tmax динамику свободной составляющей быстрого субпроцесса можно считать завершившейся. Значения управляющего воздействия uM[s], «ответственного» за медленные процессы xM[s], так же как и значение вектора состояния медленного субпроцесса х1[s], считаются постоянными. Может быть введено управляющее воздействие uБ[s,t], «ответственное» за динамику свободной составляющей (этот прием использован в гл. 2 и 3 для синтеза составных управлений u[s,t] = uM[s] + uБ[s,t]. Для моделирования динамики свободной составляющей быстрого субпроцесса используется модель с понижением порядка до размерности n2 быстрого субпроцесса:

.

Количественная оценка потерь точности из-за понижения порядка моделей объекта и введения двух шкал времени производится путем сопоставления динамических процессов в системах управления с моделями пониженного порядка и двойной шкалой времени с динамическими процессами в системах с моделями полного порядка и равномерной шкалой времени, отсчитываемой с быстрой дискретой. Вводятся показатели, подлежащие расчету при этом сопоставлении.

В завершение проводятся вычислительные эксперименты, в ходе которых уточняются параметры управляющей системы с ДШВ.

2. Этапы, предусмотренные методикой моделирования систем с разнотемповыми процессами.

Этап 1. Определение соотношений между параметрами, моделирующими процесс в объекте в различных шкалах времени: вводится механизм, позволяющий рассчитать параметры модели объекта при изменении дискреты отсчета непрерывного времени.

Этап 2. Сепарация составляющих вектора состояния объекта и определение соотношения между дискретами отсчета медленного и быстрого времени: проверяется применимость введения упрощенных моделей пониженного порядка и двойной шкалы времени для моделирования процессов в объекте. Определяется малый параметр m, связывающий дискрету отсчета быстрого времени dt с заданной дискретой медленного времени Dt соотношением dt = m×Dt.

Этап 3. Моделирование динамики системы с помощью метода двойной шкалы времени: вводятся модели пониженного порядка для описания медленного и быстрого субпроцессов; производится сравнение динамики исходной модели полного порядка с ее приближением моделями пониженного порядка на системе введенных показателей точности.

3. Пояснения к этапу 1. Определение соотношений между параметрами, моделирующими процесс в объекте в различных шкалах времени. Для того чтобы получить соотношения, позволяющие описать процессы в одном и том же объекте в разных шкалах времени, необходимо ввести механизм порождения множества моделей с различными дискретами отсчета времени из некоторой единой модели. Будем полагать, что порождающая модель задана в непрерывном времени и описывается линейным дифференциальным уравнением в терминах пространства состояний

, (1.34)

где x(t) – вектор состояния объекта размерности n ´ 1, в котором можно выделить составляющие с существенно различными инерционными характеристиками; u(t) – вектор управляющих воздействий размерности r ´ 1; A, B – параметры объекта непрерывной модели (матрицы размерности n ´ n и n ´ r соответственно).

Предполагаем, что объект (1.34) устойчив и что собственные числа матрицы А имеют существенные различия, отражающие наличие быстрого и медленного субпроцессов.

Механизм порождения множества K дискретных моделей, связанных с исходным описанием (1.34), введем так, чтобы выполнялось следующее условие:

в точках отсчета s = 1, 2, … произвольно заданных дискрет времени продолжительностью qk значения переменных состояния xDk[s] в каждой k-й дискретной модели, kÎK, должны совпасть с соответствующими значениями переменных состояния порождающей модели x[s×qk].

Такой механизм реализуется с использованием аппарата матричных весовых функций [26,31], позволяющего рассчитать параметры AD­ и BD конкретной порожденной дискретной модели с интервалом дискретизации непрерывного времени Dt:

, (1.35)

удовлетворяющей введенному выше условию.

В (1.35) s – номер такта дискретного времени, s = 0, 1, … , N (N = tmax/Dt, значения tmax и Dt заданы).

Матрицы AD, BD параметров дискретной модели объекта (1.35) рассчитываются по следующим формулам:

где E – единичная матрица размерности n ´ n; MWF(Dt) – матричная весовая функция объекта, для расчета которой используется формула Лагранжа-Сильвестра [34]:

,

где li, lj – собственные числа матрицы A.

Если порождающая непрерывная модель обладает свойством разнотемповости и устойчивости, то оба эти свойства сохранятся и в дискретной модели, поскольку значения переменных состояния дискретной и непрерывной моделей в точках отсчета дискретного времени совпадают точно.

4. Пояснения к этапу 2. Сепарация составляющих вектора состояния объекта и определение соотношения между дискретами отсчета медленного и быстрого времени. Предположим, что в порождающей модели (1.34) присутствуют субпроцессы с различными инерционными свойствами. Тогда в порожденных дискретных моделях вида (1.35) сохранится это же свойство. Однако без проведения расчетов нельзя установить, достаточны ли различия в инерционности субпроцессов для того, чтобы можно было использовать свойство разнотемповости для упрощения описания объекта.

Представим матрицы АD и ВD в дискретной модели (1.35) в блочной форме; соответственно вводится блочная форма для вектора состояния:

,

где X1[s] – вектор размерности n1´1, соответствует медленному субпроцессу; X2[s] – вектор размерности n2´1, соответствует быстрому субпроцессу.

Уравнение (1.35) запишем в форме, отражающей взаимодействие субпроцессов:

(1.36)

Из (1.36) видно, что быстрая и медленная составляющие взаимно влияют друг на друга (через матрицы и ).

В быстрой компоненте выделим две составляющие: вынужденную (обусловлена влиянием медленной компоненты X1[s] и управляющим воздействием u[s]) и свободную (определяется начальными условиями). Для того чтобы определить, насколько быстро завершается динамика свободной составляющей и можно ли на время ее завершения считать медленную составляющую неизменной, требуется исключить вынужденную составляющую из быстрой компоненты. Для этого преобразуем дискретную модель (1.36) к форме (1.2) с сепаратными составляющими с использованием метода, предложенного в [12] и описанного в § 1.

Выполняются следующие действия:

1. Оценивается значение параметра m по нормам диагональных блоков AD22 и AD11 матрицы в (1.35)

.

Данный параметр должен удовлетворять условию m <<1, но это условие является только качественным.

2. Тестируется найденное значение m на принадлежность диапазону, определяемому по (1.29). Если тест дает положительный результат, то субпроцессы можно рассматривать как разнотемповые и вводить модели пониженного порядка и двойную шкалу времени для их описания. Поскольку условия (1.29) – только достаточные, то по факту выхода значения m за диапазон не следует делать немедленный вывод о неприменимости подхода к понижению порядка моделей процесса на основе метода ДШВ. Дополнительные возможности диагностики разнотемповости предоставляются при расчете параметров, позволяющих рассматривать медленную и быструю составляющие как сепаратные. Для этого:

а. Рассчитываются параметры матриц декомпозиции PБ и QБ с использованием Б-преобразования по формулам (1.23) и (1.35). Расчет проводится итеративно. Факт сходимости итерационного процесса расчета матриц PБ и QБ к константным матрицам и скорость сходимости можно контролировать по следу матриц.

б. Если итерационный процесс (1.23) расходится, то следует сделать вывод о том, что различия в инерционности субпроцессов недостаточны для их использования при разработке моделей пониженного порядка на базе ДШВ, и отказаться от рассмотрения субпроцессов как разнотемповых. В противном случае, если итерационный процесс (1.23) сходится к константной матрице, то для следа матрицы PБ проверяется условие (1.30). Хотя это условие также только достаточное, но, как показывают расчеты для конкретных примеров, оно является менее жестким, чем (1.29). Если (1.30) выполняется, то можно рассматривать субпроцессы как разнотемповые и при невыполнении условия (1.29). Если же сходимость процесса (1.23) к константной матрице имеет место, но ее норма не удовлетворяет условию (1.30), то метод ДШВ, возможно, приведет к получению моделей пониженного порядка приемлемой точности, но окончательный вывод о приемлемости или неприемлемости метода можно будет сделать только по результатам моделирования.

в. По полученным значениям PБ и QБ рассчитываются параметры АМ, АБ, BM, BБ модели (1.2) с сепаратными составляющими по формулам, приведенным в табл. 1.

г. Тестируется правильность расчета матриц PБ и QБ: спектр собственных чисел матриц АМ, АБ должен быть объединением спектра собственных чисел исходной матрицы объекта AD.

д. Тестируется правильность декомпозиции вектора состояния на сепаратные разнотемповые субпроцессы. Основа тестирования – проверка выполнения соотношения (1.19), связывающего исходный вектор состояния с блочным вектором, компонентами которого являются вектора состояния сепаратных субпроцессов. Значения вектора состояния, полученные с помощью этого преобразования (xагрег[s]), должны быть равны значениям исходного вектора состояния (x[s]) для всех s = 0, 1, … (достаточно сопоставить значения для одного – двух тактов). Двойственный способ тестирования – использование (1.18) для оценки вектора сепаратных переменных xсепарат[s]. Значения вектора, полученного с помощью преобразования (1.18), должны совпадать со значениями xM[s] и xБ[s].

Таким образом, в результате выполнения этапа 2:

– либо будет сделан вывод о неприменимости подхода к упрощению модели процесса на базе метода ДШВ;

– либо будут получены параметры моделей, позволяющих оценить количественно время завершения переходных процессов для свободной составляющей быстрого субпроцесса и определить соотношение шкал быстрого и медленного времени по формуле dt = m×Dt.

5. Пояснения к этапу 3. Моделирование динамики системы с помощью метода двойной шкалы времени. Целью расчетов является определение качества аппроксимации объекта моделью пониженного порядка. Существо метода понижения порядка состоит в следующем:

1. Собственная динамика быстрой составляющей через несколько тактов медленного времени работы системы завершается, начальные условия для нее перестают сказываться на изменениях вектора быстрого субпроцесса.

2. После этого можно приближённо учитывать динамику только медленной составляющей. Быстрая составляющая при этом рассматривается как вынужденная, которая безынерционно отслеживает медленную составляющую и внешние воздействия. Это позволяет снизить размерность описания процесса до значения размерности медленной составляющей.

3. На начальном участке процесса, когда влияние начальных условий на динамику свободной компоненты быстрого субпроцесса ещё заметно, вводится более дробный интервал дискретизации (быстрая дискрета) и параметры модели процесса пересчитываются согласно этому интервалу, см. этап 1. На этом участке (так называемый пограничный слой, boundary layer) будем приближенно считать, что значение вектора состояния медленного субпроцесса не успевает измениться по сравнению с достигнутым к началу периода времени, на котором вводится быстрая дискрета. Поэтому медленную составляющую можно рассматривать как константный вектор. Это позволит снизить размерность модели процесса на начальном участке до размерности быстрой составляющей.

Выполняются следующие действия:

1. Рассчитываются процессы для медленной подсистемы.

, (1.37)

, (1.38)

где в отличие от (1.2), [см. § 1] учтены управляющие воздействия u[s] и введены матричные коэффициенты , , Е – единичная n2 ´ n2 матрица (предполагается, что матрица (E – AБ) обратима). Переменная x1_appr[s] приближенно соответствует «физической» медленной составляющей x1[s]. Аппроксимация x2_appr[s] динамики «физической» быстрой составляющей x2[s] сводится к безынерционному слежению (1.38) за изменениями медленной составляющей и управляющих воздействий.

2. Определяется число тактов, относящихся к «пограничному слою». Для этого рассчитываются и сравниваются реакции исходной модели процесса (1.35) и модели пониженного порядка (1.39) на ступенчатое изменение управляющего воздействия. Задается погрешность e > 0 аппроксимации процесса в целом только его медленной составляющей. Определяется номер такта, начиная с которого различия между реакциями укладываются в трубку допустимых расхождений ± e. Этот номер такта определяет границу, вне которой собственную динамику быстрого субпроцес-са можно не учитывать с точностью до e.

3. На участке пограничного слоя вводится быстрая шкала времени с дискретой dt = m×Dt и производится расчет параметров модели для быстрого времени (по формулам этапа 1). Модель пониженного (до размерности вектора состояния быстрого субпроцесса) порядка для приближенного описания быстрой составляющей в пограничном слое имеет вид:

, (1.39)

где A21_bound, A22_bound, B2_bound – параметры модели пониженного порядка в пограничном слое, рассчитанные по параметрам A и B, с учетом нового интервала дискретизации; t – такты отсчета дискрет быстрого времени; x1[s] – вектор состояния медленной составляющей, соответствующий началу отсчета быстрых дискрет, t = 0; u[t] – медленное управление, пересчитанное на шкалу быстрого времени.

4. Медленная составляющая в пограничном слое рассматривается приближенно как константа:

.

Для сравнения рассчитывается точное значение переменных состояния:

,

где Abound, Bbound – параметры модели объекта, пересчитанные с учетом интервала дискретизации dt.

5. Для оценки точности представления динамики (1.34) моделями пониженного порядка (1.37), (1.38) рассчитываются показатели для медленной (JM) и быстрой (JБ) составляющих медленной подсистемы:

,

где N – максимальное количество тактов дискретного времени; k – номер такта, начиная с которого рассчитываются показатели качества.

6. В пограничном слое для оценки точности аппроксимации медленной составляющей константой рассчитывается относительная погрешность:

7. В заключение производится сравнение погрешности аппроксимации быстрой составляющей статической (1.38) и динамической (1.39) моделью:

Эта позиция завершает расчеты по разработанной методике.

Далее позиции методики проверяются на двух примерах. Пример 1 (п. 3.2) специально рассчитан для абстрактного процесса 4-го порядка так, чтобы достаточное условие (1.29) для малого параметра m не соблюдалось. В этом примере иллюстрируется использование моделирования для подтверждения наличия свойства разнотемповости.

Пример 2 (§ 4) относится к прикладной задаче. В этом примере достаточное условие (1.29) оказалось выполненным, что позволило упростить расчеты.

3.2. Пример выполнения расчетов и моделирования по разработанной методике для объекта четвертого порядка с разнотемповыми составляющими

Для выполнения моделирования были разработаны специальные программные средства, реализованные на базе пакета программ для научных расчетов MathCAD-2001.

Перейдем к описанию результатов проверки методики на примере. Исходные данные приведены в приложении 1. Генерация параметров непрерывной модели была произведена с помощью специально разработанной процедуры получения матрицы А с заранее выбранным составом собственных чисел – так, чтобы собственные числа А в данном примере разделялись на 2 группы. Первая (действительные собственные числа l3 = – 0.021 и l4 = – 0.097) соответствует 2-мерному вектору медленно затухающего (апериодического) субпроцесса. Вторая группа (комплексная пара собственных чисел l1,2 = – 0.876 ± 0.168i) соответствует 2-мерному вектору быстро затухающего (колебательного) субпроцесса.