Векторная алгебра

Векторная алгебра

Определение:

Вектор – это направленный отрезок в плоскости или в пространстве.

Характеристики:

1) длина вектора

2) направление (луч).

Определение:

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение:

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают (↑↑) В противном случае они называются противоположно направленными (↑↓).

Определение:

Два вектора равны между собой, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Например,

Операции:

1. Умножение вектора на число

Если , то

ü  вектор коллинеарен вектору

ü 

ü  ↑↑ если l > 0

↑↓ если l < 0

У нулевого вектора направление произвольно

Свойства умножения на число

2. Сложение векторов

Правило параллелограмма:

 

Свойства сложения:

- такие векторы называются противоположными друг другу. Легко видеть, что

Совместные свойства:

Определение:

Углом между двумя векторами называется угол, который получается если эти векторы отложить от одной точки, 0 £ j £ p

3. Скалярное произведение векторов.

, где j - угол между векторами

Свойства скалярного произведения векторов:

1) (равенства имеют место в случае противоположной направленности и сонаправленности векторов соответственно)

2)

3)

Если ↑↑, то знак произведения положительный, если ↓↑то отрицательный

4)

5)

6) , то есть , или какой-либо из векторов равен нулю

7)

Применение векторов

1.

MN – средняя линия Доказать, что

Доказательство:

, вычтем из обеих частей вектор :

2.

Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны

Доказательство:

3. Дано:

Найти:

Решение:

Разложение векторов по базисам.

Определение:

Линейной комбинацией векторов (ЛКВ) называется сумма вида

(ЛКВ)

где l1, l2, … ls – произвольный набор чисел

Определение:

ЛКВ называется нетривиальной, если все li = 0, в противном случае она называется нетривиальной.

Следствие:

В нетривиальной ЛКВ есть хотя бы один ненулевой коэффициент lк ¹ 0

Определение:

Система векторов называется линейно независимой (ЛНЗ), если () = 0 Û все li ¹ 0,

то есть только тривиальная её ЛК равна нулю.

Следствие:

Нетривиальная ЛК линейно независимых векторов отлична от нуля

Примеры:

1) - ЛНЗ Û

2) Пусть и лежат в одной плоскости, тогда - ЛНЗ Û , неколлинеарны

3) Пусть , , не принадлежат одной плоскости, тогда они образуют ЛНЗ систему векторов

Теорема:

Если система векторов линейно независима, то хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.

Доказательство:

Þ Пусть () = 0 и не все lI равны нулю. Не теряя общности, пусть ls ¹ 0. Тогда , а это и есть линейная комбинация.

Ü Пусть

Тогда , то есть ЛЗ.

Теорема:

Любые 3 вектора на плоскости линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть даны вектора , возможны случаи:

1) Þ

2) неколлинеарен

Выразим через и : , откуда - нетривиальная ЛК.

Теорема:

Пусть - ЛЗ

Тогда любая «более широкая» система - ЛЗ

Доказательство:

Так как - ЛЗ, то существует хотя бы одно li ¹ 0, причем () = 0

Тогда и () = 0

Определение:

Система линейно независимых векторов называется максимальной, если при присоединении к ней любого другого вектора она становится линейно зависимой.

Определение:

Размерностью пространства (плоскости) называется число векторов в максимальной линейно независимой системе векторов.

Определение:

Базисом называется любая упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.

Определение:

Базис называется нормированным, если входящие в него векторы имеют длину, равную единице.

Определение:

Базис называется ортогональным, если все его элементы (векторы) попарно перпендикулярны.

Теорема:

Система ортогональных векторов всегда линейно независима (если там нет нулевых векторов).

Доказательство:

Пусть - система ортогональных векторов (ненулевых), то есть . Предположим, , умножим эту ЛК скалярно на вектор :

Первая скобка отлична от нуля (квадрат длины вектора), а все остальные скобки равны нулю по условию. Тогда l1 = 0. Аналогично для l2 … ls

Теорема:

Пусть М = - базис. Тогда любой вектор представим в виде:

где коэффициенты l2 … ls определяются однозначно (это координаты вектора относительно базиса М).

Доказательство:

1) = - ЛЗ (по условию базиса)

тогда - нетривиальна

а) l0 = 0 что невозможно, так как получится, что М – ЛЗ

б) l0 ¹ 0

разделим на l0

т. е. есть ЛК

2) Докажем от противного. Пусть - другое представление вектора (т. е. $ хотя бы одна пара ). Вычтем формулы друг из друга:

- ЛК нетривиальна.

Но по условию - базис Þ противоречие, то есть разложение единственно.

Вывод:

Всякий базис М определяет взаимно однозначное соответствие между векторами и их координатами относительно базиса М.

Обозначения:

М = - произвольный вектор

Тогда

Свойства отображения:

1.

2.

3. Пусть М – ортонормирован

тогда где и

Доказательство:

Пусть даны и

Пример:

- ортогональный