Математическое моделирование воздействия импульса давления на трехслойную систему, лежащую на упругом основании

УДК 519.17

доц., к. ф.-м. н.

Московский государственный горный университет

Математическое моделирование воздействия импульса давления на ТРЕХСЛОЙНУЮ СИСТЕМУ, ЛЕЖАЩУЮ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Mathematical modeling IMPACT PULSE PRESSURE three-layer system for ELASTIC FOUNDATION

Рассматривается воздействие импульса давления P на свободную поверхность левого слоя, результатом которого является нестационарный процесс деформирования среды в слоях в соответствии с граничными условиями. Характерной особенностью быстро изменяющегося импульса давления является создаваемый им волновой процесс распространения возмущения. Свободная поверхность третьего слоя соединена с упругой средой, реакция которой характеризуется коэффициентом жесткости К.

│-L1-│---L2-- │-L3-│

-->│. . .│ % % │. . .│-\/\/\-|

-->│. . .│ % │. . .│-\/\/\-|

P(t) -->│. . .│ % % │. . .│-\/\/\-|

-->│. 1.│ 2 │. 3 .│ 4

-->│. . .│ % % │. . .│-\/\/\-|

-->│. . .│ % │. . .│-\/\/\-|

К

Рис. 1. 1, 3 - слои упругого материала, 2 - слой пьезоматериала, 4 - упругое основание.

Импульс давления предполагается равномерно распределенным по границе левого слоя, т. е. Р = Р(t). В силу указанных допущений реакция системы на импульс характеризуется величинами, равномерно распределенными в плоскостях, параллельных торцам. Направим ось ортогонально левому торцу системы слева направо. Начало отсчета пусть лежит на левом торце. Пусть левый слой имеет индекс - 1, средний – 2, правый - 3 - рис.1. Динамический процесс в среднем слое описывается математической моделью плоских электроупругих волн на основе линейной теории пьезоэлектричества [1]. Крайние слои считаются упругими, изотропными. Искомыми являются перемещения элементов среды 1-го,2-го,3-го слоев, и напряженность электрического поля во 2-м слое.

В рамках линейной теории пьезоэлектричества рассмотрим продольные плоские электроупругие волны в пьезоэлектрическом слое с перемещениями - , и напряженностью электрического поля - . Фазовая плоскость волн параллельна свободной границе слоя ( плоскость ) и распространяется вдоль оси - оси симметрии высшего порядка пьезоэлектрика, которая перпендикулярна границе. Волны создаются импульсом давления , действующим на свободную границу системы; правая граница лежит на упругом основании с коэффициентом жесткости . Условия отсутствия заряда на границах и внутри пьезослоя позволяют свести задачу к волновому уравнению

, где (1)

с последующим вычислением напряженности электрического поля по формуле

(2)

Решение уравнения (1) со смещениями границ пьезослоя - (где- толщина j-го слоя ) строится на основании интеграла Даламбера в виде сумм бегущих и отраженных волн, где суммыподлежат определению [2],[3] .

Аналогичные ограничения, наложенные на динамические процессы в слоях 1 и 3 приводят к волновым уравнениям относительно перемещений

, (3)

где - скорости продольных волн в левом и правом слоях.

Решение уравнений (3) представляется суммами для и для ,описывающими бегущие и отраженные волны [3].

Реализация граничных условий для нормальных напряжений :

;и условия непрерывности напряжений на границе слоев приводит к системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно функций , со сдвинутым аргументом, которая решается численно методом Рунге-Кутта. Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрика и напряженность электрического поля получается линейной интерполяцией накопленных массивов ,

Литература.

1. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. – М. : Изд-во иностр. ит., 1952.

2. , , Короткина конструкции о преграду при больших скоростях. /В кн.: Современные вопросы физики и приложения: Всесоюзная конференция (Москва, 15-17 апреля, 1984 г.). – М.: Изд-во АН СССР, 1984. – С. 56.

3. Шерстов моделирование воздействия импульса давления на пьезоэлектрический слой лежащий на упругом основании. / В кн.: Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2003. – С.54-56.

Аннотация.

В рамках линейной теории пьезоэлектричества рассмотрена математическая модель, описывающая воздействие импульса давления на пьезоэлектрический слой, заключенный между двумя упругими изотропными слоями, один из которых лежит на упругом основании.

The article is devoted to the propagation of a normal plain waves in a metal - piezoelectric-metal sandwich layer, lying on the elastic basis. The mathematical method for mechanical and electric fields calculation have been offered.

Ключевые слова.

математическая модель, слои, импульс давления, параметры модели, волновое уравнение

mathematical model, layers, pressure pulse, parameters of the model, the wave equation