Основы теории статистики (стр. 4 )

Кабель	11	12	13	14	15	12	16	17	19	20	21	15
Площадь	20	30	40	45	33	34	37	46	22	21	27	28

Вариант 9

Таблица 1

Кабель	40	50	60	70	55	56	54	49	48	47	43	49
Площадь	100	110	130	140	145	115	120	125	106	108	109	90

Таблица 2

Кабель	40	50	60	70	55	56	54	49	48	47	43	49
Площадь	80	92	100	88	95	97	98	88	84	83	81	86

Задание 3

Интервальные оценки

Средней ошибкой выборки называется величина

где - среднее квадратичное отклонение средней выборки , а — среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности; n - объем выборки.

Как и раньше, будем предполагать, что генеральная совокупность и случайная величина средней выборки распределены по нормальному закону и Тогда, воспользовавшись формулой из теории вероят­ностей для отклонения средней выборки от ее математического ожида­ния (средней генеральной), можем записать

Число называют точностью оценки, а - мерой точности выборки. Равенство называют формулой доверительной вероятности.

Покажем теперь, что величина средней генеральной находится в интервале с вероятностью р. Так как формулу можно записать в виде

Отсюда следует, что неизвестная величина средней генеральной содержится в интервале с вероятностью, равной р. Этот ин­тервал называют доверительным интервалом для средней генеральной .

По известной вероятности р можно определить значение аргумента функции Лапласа и наоборот, по значению аргумента можно найти вероятность р. Для удобства записи вводят обозначение

Доверительный интервал среднего квадратичного отклонения ге­неральной совокупности можно построить на основании - распределе­ния (которое будет рассмотрено ниже). Ограничимся лишь указанием этого интервала:

где - исправленная статистическая дисперсия выборки, которая опреде­ляется формулой Индекс n-1 означает число степеней свободы, а - заданный уровень вероятности. Если под понимать вероят­ность ошибки, то знаменатели соответственно запишутся:

Заметим, что распределение несимметричное, поэтому оценивае­мый параметр находится не в середине доверительного интервала.

Иногда для нахождения доверительного интервала, содержащего не­известный параметр с заданной вероятностью , пользуются точно­стью оценки Считая, что признак X генеральной совокупности распределен по нормальному закону, составляют случайную выборку (по­вторную или бесповторную) объема n из этой совокупности и находят ис­правленную статистическую дисперсию .

Полагая, что

и раскрывая модуль внутри скобок, получаем

Введя обозначения доверительный интервал для среднего квадратичного генеральной совокупности можно записать как:

(S(1-q), S(1+q)).

Неизвестную величину можно представить как функцию от и n.

Задача

Из группы делается случайная выборка А в табл.1 (вариант - послед­няя цифра зачетной книжки). Найти выборочное и исправленное средние квадратичные отклонения и S, а также 95%-е доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии веса всех студентов в группе.

Распределение веса студентов в группе нормальное. Результаты случайной выборки приведены в табл. 2 (вариант – последняя цифра зачетной книжки).

Таблица 1

Вариант	А
0	20
1	20
2	10
3	15
4	60
5	20
6	50
7	25
8	15
9	15

Таблица 2

Вес студентов, кг	Количество (частота)
Вариант 0
140	7
148	2
145	5
150	6
Вариант 1
718	2
716	4
720	9
725	5
Вариант 2
650	1
643	1
645	5
648	3
Вариант 3
300	3
308	4
320	6
310	2
Вариант 4
510	10
520	10
525	15
525	25
Вариант 5
700	4
721	3
730	7
715	6
Вариант 6
300	10
310	10
315	15
310	15
Вариант 7
160	8
150	5
154	2
155	10
Вариант 8
120	5
125	5
124	2
123	3
Вариант 9
81	9
83	1
84	4
82	1

Задание 4

Мода

Модой называют величину признака, которая чаще всего встречается в исследуемой совокупности. Для вариационного ряда это будет варианта, имеющая наибольшую частоту. Например, если надо узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, размер обуви, пользовавшийся наибольшим спросом у потребителей, и т. д., то в таких случаях используют понятие моды. Если несколько соседних значе­ний ряда имеют наибольшую частоту, то модой является их среднее арифметическое. Если две или более несмежных вариант ряда имеют разные наибольшие частоты, то говорят, что вариационный ряд является бимо­дальным или полимодальным. Бимодальные распределения указывают на качественную неоднородность совокупности по исследуемому признаку.