Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью (стр. 3 )

Рис. Давление в волне сжатия, t =25.

В связи с этим пересечение характеристик называют иногда градиентной катастрофой. Решение в этот момент становится разрывным и перестает удовлетворять дифференциальным уравнениям. Образующаяся конфигурация называется ударной волной. Из сказанного ясно, что волны сжатия являются, как правило, кратковременным эпизодом, а в основном сжатие осуществляется в ударных волнах, которые мы и рассмотрим подробнее на примере той же одномерной задачи.

Пусть в бесконечной трубе в правой половине x > 0 задан неподвижный идеальный газ с параметрами R0, p0, C0. На границе x = 0 зададим постоянное давление p. В случае p < p0 образуется волна разрежения, мы рассмотрим случай p > p0. Так как давление разрывно, то ударная волна формируется сразу, промежуточная фаза волны сжатия здесь отсутствует. Ударная волна представляет собой ступеньку, двигающуюся вправо с некоторой скоростью D. В данной задаче (плоский одномерный случай, постоянные параметры) скорость волны также является постоянной. Параметры вещества на фронте ударной волны меняются скачком, поэтому дифференциальные уравнения здесь неприменимы, необходимо пользоваться законами сохранения.

Рассмотрим закон сохранения массы. Для упрощения выкладок будем считать, что сечение трубы имеет единичную площадь. Выделим участок трубы длиной Dx. За время Dt = Dx / D, пока ударная волна идет по этому участку, левый конец участка сдвинется на uDt = uDx/D, правый остается неподвижным. В результате плотность можно определить из соотношения R(Dx - uDx/D) = R0Dx, или

Импульс, который приобретет выделенный участок за это время, равен (p-p0)Dt = (p-p0)Dx/D, разделив его на массу R0Dx, получим скорость

Напомним, что значение p мы считаем заданным, тогда два полученных уравнения содержат три неизвестных: R, u, D. Казалось бы, что систему уравнений можно замкнуть, добавив уравнение состояния в барической форме. Однако, это не так: барическое уравнение справедливо для изэнтропических процессов, а в ударной волне энтропия, как мы увидим, меняется. Таким образом необходимо пользоваться калорическим или температурным уравнением состояния и рассчитывать изменение энергии. Работа на левом конце выделенного участка трубы равна puDt = puDx/D, на правом равна нулю, масса участка равна R0Dx, так что закон сохранения энергии можно выразить в виде:

Добавляя сюда уравнение состояния, получим замкнутую систему для определения R, u, D, E. Перепишем ее в преобразованном виде, включив уравнение состояния идеального газа:

Первые три уравнения назваются соотношениями Гюгонио, они определяют скачкообразное изменение плотности, скорости и энергии на фронте ударной волны. Мы рассматривали случай, когда ударная волна определяется давлением, можно также задать скорость вещества u или скорость фронта D, волна однозначно определится приведенными уравнениями и в этих случаях.

Из двух последних уравнений, исключая E, можно получить связь давления с плотностью:

Это соотношение называют ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио. Сравним ее с изэнтропой, или, как ее еще называют, адиабатой Пуассона:

Прежде всего, они имеют разный смысл. Адиабата Пуассона описывает согласованное изменение плотности и давления в едином процессе сжатия частицы. Адиабата Гюгонио, напротив, представляет множество точек, отвечающих множеству различных процессов сжатия в ударных волнах разной интенсивности. Сравним теперь величину давления, которое достигается при изэнтропическом и ударно-волновом сжатии до одинаковой плотности. На рисунке приводятся графики адиабат Пуассона Pp и Гюгонио Ph для воздуха (g = 1.4). Видно, что давление выше при ударном сжатии. Это означает, что при одинаковой плотности в этом случае выше энергия, что подтверждает высказанное ранее утверждение о росте энтропии в ударной волне. Отметим еще одну особенность ударной адиабаты. В приведенной выше формуле знаменатель обращается в ноль при R/R0 =h. Следовательно, давление стремится к бесконечности, когда плотность приближается к этому значению. Это означает, что существует предельное сжатие, выше которого газ нельзя сжать при сколь угодно большом давлении. Для воздуха h = 6, для одноатомного газа h = 4. Сильнее газ можно сжать или последовательностью нескольких ударных волн, или адиабатически. Типичный численный расчет ударной волны представлен на рисунке.

Рис. Ударная волна в воздухе.

Здесь изображен расчет ударной волны, образовавшейся в результате приложения давления 1 ГПа на левом конце трубы. За 3 мкс волна прошла несколько больше 90 мм, так что скорость фронта ударной волны порядка 30 км/сек. Скорость газа за фронтом видна на графике, она составляет примерно 25 км/сек.

Рассмотрим теперь слабую ударную волну. Прежде всего, непосредственным дифференцированием легко убедится, что производные ¶p/¶R в точке R = R0 на адиабатах Пуассона и Гюгонио совпадают. На адиабате Пуассона ¶p/¶R = C2 , посмотрим, что представляет собой прозводная на адиабате Гюгонио. Пусть возмущение плотности в ударной волне мало: DR = R - R0= eR0. Из первого уравнения Гюгонио тогда следует uR = D(R - R0) = eR0. С точностью до малых первого порядка это означает, что u = eD. Подставляя это значение во второе уравнение Гюгонио, получим Dp = p - p0= eR0 D2 = D2DR. Таким образом, эта производная равна ¶p/¶R = D2. В результате мы получаем, что скорость слабой ударной волны близка к скорости звука.

Более детальный анализ показывает, что скорость любой ударной волны, не только слабой, больше скорости звука перед фронтом и меньше скорости звука за фронтом волны. Тем самым для слабой волны скорость волны близка к любой из этих скоростей звука.

Мы рассмотрели плоские ударные волны. Кривизна фронта волны приводит к тому, что параметры за фронтом изменяются во времени и в пространстве. Типичной является сферическая волна, образующаяся при взрыве симметричного или просто малого заряда. Скорости за фронтом такой волны направлены по радиусу, поэтому при движении газа за фронтом происходит его расширение в угловом направлении. В результате давление газа падает, а так как его скорость звука больше скорости фронта, то возмущение давления достигает фронта и приводит к ослаблению ударной волны. Таким образом, фугасное действие взрыва уменьшается с расстоянием, что мы и видим на практике. Понятно, что в сходящейся ударной волне параметры волны должны, напротив, усиливаться. Количественный расчет подобных процессов играл основополагающую роль на начальных этапах разработки атомного оружия.

В заключение отметим, что разрывные решения, соответствующие ударным волнам, представляют собой математическую модель в рамках также математического понятия идеального газа. В реальных газах имеется вязкость, которая размазывает ударный фронт на малую, но конечную ширину. Градиенты физических величин на фронте велики, но конечны. Почему в таком случае мы предлагаем пользоваться моделью идеального газа? Дело в том, что в газах ширина фронта имеет размер порядка величины пробега молекул, то-есть в плотных газах порядка расстояния между молекулами. Но в модели механики сплошной среды мы выбираем масштаб разрешения (размер частиц среды) много больше этого расстояния, считая параметры частицы усредненными величинами большого числа молекул. Тем самым, мы вынуждены пренебрегать деталями более мелкого масштаба, что естественно приводит к рассмотренным моделям.

1.4.5.Контактная граница.

В однородной среде ударные волны и волны разрежения представляют собой те фрагменты, из которых складывается решение многих типичных задач. Однако, в реальных конструкциях обычно имеется несколько физических областей, состоящих из различных материалов. Границы между областями мы будем называть внутренними, их также называют контактными. В математической литературе термин контактная граница иногда употребляется в более широком смысле, но мы не будем на этом останавливаться.

На контактной границе некоторые параметры (плотность, скорость звука и др.) разрывны, у других, как мы увидим, разрывны производные. Это означает, что дифференциальные уравнения газодинамики не применимы к расчету контактных границ. Существует два способа обойти эти трудности: использование интегральных законов сохранения или задание внутренних граничных условий. Мы рассмотрим подробнее второй способ.

На внешней границе достаточно задать одно граничное условие, обычно давление или нормальную компоненту скорости. На внутренней границе необходимо задавать два условия, например, те же давление и нормальную скорость. Однако, сами условия носят в некотором смысле более мягкий характер: если на внешней границе задается само значение величины, то на внутренней постулируется только равенство рассматриваемых величин по обе стороны границы. Непрерывность давления при переходе через границу следует из закона сохранения импульса, на качественном уровне понятно, что бесконечно тонкий слой вещества около границы приобрел бы бесконечную скорость, если бы разрыв давления сохранялся в течение конечного времени. Непрерывность нормальной скорости означает сохранение сплошности вещества, в реальных задачах иногда возможно расслаивание областей или образование трещины в однородном веществе, однако, такие ситуации требуют особого подхода, в общем случае мы будем считать оба граничных условия выполненными.

Наличие контактных границ вносит существенное разнообразие в картину течений. Рассмотрим, например, прохождение ударной волны через границу двух веществ. Будем считать, что волна идет слева направо по неподвижному фону и дошла до границы первой (левой) области и второй. Скорость вещества за фронтом волны выражается из закона сохранения импульса: u = (p - p0)/( R 0D).В случае слабой волны знаменатель приближенно можно заменить величиной, которая называется акустической жесткостью материала g = R0C0. Если материал второй области является более жестким g2 > g1,то скорость во второй области в момент выхода волны окажется меньше, чем в первой области. Материал первой области начнет тормозиться о границу, давление в нем будет возрастать, и в первой области сформируется отраженная ударная волна, идущая от границы назад. По второй области при этом пойдет ударная волна с тем же самым повышенным давлением. Между этими ударными волнами сформируется область постоянного течения. Легко понять на основе подобных рассуждений, что в случае перехода ударной волны в менее жесткую область g2 < g1 в первой области назад пойдет волна разрежения, а во второй области сформируется несколько ослабленная ударная волна. Между ними так же формируется область постоянного течения. Для сильных ударных волн картина качественно не изменяется, только акустические жесткости, особенно, когда они близки, не могут служить надежным критерием для выбора того или иного сценария. Окончательный результат определяется, как правило, численным расчетом.

Картина взаимодействия волны разрежения с контактной границей носит сходный характер. Вперед всегда движется волна разрежения, назад от более жесткой области отражается волна разрежения, от менее жесткой - ударная волна.

Свободные границы можно рассматривать как предельный случай контактной границы: жесткую стенку - как границу с бесконечно жестким материалом, свободную поверхность - как границу с веществом бесконечно малой жесткости. Картина взаимодействия тогда отвечает общему сценарию. Ударная волна отражается от жесткой стенки ударной волной, от свободной поверхности - волной разрежения. Волна разрежения отражается от жесткой стенки волной разрежения, от свободной поверхности - ударной волной.

Дополняет список типовых фрагментов задачи взаимодействия волн друг с другом. Типичной является конфигурация ударных волн, идущих в одном направлении. Так как скорость звука за фронтом первой волны больше скорости этой волны и меньше скорости второй волны, то вторая волна, если успеет, догонит и поглотит первую. В точке догона параметры волны меняются, особенно сильно меняется плотность. Если обе волны были сильными, сжатие вещества до точки встречи могло достигать квадрата предельного сжатия, а после догона - только однократного. Волна разрежения, следующая за ударной волной, также догоняет ее, так как движется со скоростью звука за фронтом ударной волны. В момент догона давление на фронте ударной волны начинает падать и волна с течением времени ослабевает.

Встречные ударные волны формируют две волны, распространяющиеся в разные стороны от точки встречи. Между ними образуется область постоянного течения. Давление при этом возрастает по сравнению с давлением в более сильной из исходных волн. Встречные волны разрежения также формируют волны, расходящиеся от точки встречи. В системе координат, связанной с этой точкой, скорости вещества направлены в разные стороны, что является наиболее типичной причиной разрушения материала и образования трещин.

Приведенные типовые фрагменты часто могут служить основой для построения качественной картины течения. Количественные оценки лучше получать из численных расчетов. Тем не менее, приведем две простые оценки, которые часто используются. Рассмотрим отражение ударной волны от жесткой стенки. В падающей волне выполняется соотношение p1 - p0 = R0uD1.В момент выхода волны на жесткую стенку вещество начинает останавливаться и образуется отраженная волна, за фронтом которой скорость равна нулю. Если перейти к системе координат, в которой скорость перед фронтом волны равна нулю, то скорость за фронтом по модулю опять станет равной u. Тогда для отраженной волны получим соотношение p2 - p1 =RuD2. Если обе волны являются слабыми, то плотность здесь можно считать близкой к начальной, близки к скорости звука, а следовательно и друг к другу и скорости ударных волн. Но тогда p2 - p1 @ p1 - p0, p2 - p0 @ 2(p1 - p0). Иными словами, в слабой ударной волне при отражении от жесткой стенки избыточное давление удваивается. В сильной ударной волне рост давления более сильный, для идеального газа он составляет p2 - p0 @ (p1 - p0)(2+h), то есть для воздуха является восьмикратным.

Важно отметить, что знание типичных фрагментов течения (мы рассмотрели только наиболее важные из них) играет также существенную роль при анализе проведенных численных расчетов, позволяет часто отличить счетные феномены от физически обусловленных особенностей решения.

1.5.Сопутствующие процессы.

Приведенная газодинамическая модель позволяет решать широкий круг задач физики взрыва и соударения. Однако, в некоторых из них наряду с газодинамикой необходимо рассчитывать некоторые дополнительные процессы, важнейшие из них мы рассотрим в этом разделе.

1.5.1.Турбулентность.

Выше мы отмечали, что понятие сплошной среды основано на том, что детали, меньшие масштаба разрешения (размера частиц) не рассматриваются. Тем самым мы не учитываем неоднородность вещества на расстояниях между отдельными молекулами. Мы пренебрегаем вязкостью и связанной с ней шириной фронта ударной волны. Последние две величины определяются длиной свободного пробега молекулы, который имеет тот же характерный размер. В динамических задачах, которые мы рассматриваем, соотношение размера частиц и расстояния между молекулами составляет 5 - 6 порядков, поэтому мы и опускаем эти детали.

Иначе обстоит дело с турбулентностью. В газодинамических течениях при определенных условиях возникают вихри. Типичным является расчет конвективного течения в баке, одна из вертикальных стенок которого нагревается, а противоположная охлаждается. Если вязкость велика, то в баке формируется один вихрь, обтекающий нагретую стенку снизу вверх, а холодную сверху вниз. При меньшей вязкости этот вихрь распадается на несколько вихрей меньшего размера, часть из которых крутится в том же, а часть, возможно, в противоположном направлении. При еще меньшей вязкости образуется последователность вихрей все более мелкого размера. В динамической задаче на определенной стадии вновь зарождается крупный вихрь, затем он снова распадается и так далее. В результате в задаче возникает каскад вихрей разного масштаба, существующих одновременно и взаимодействующих между собой.

До определенного предела задачи такого рода укладываются в рамки модели газодинамики и могут рассчитываться по обычным программам. Рассмотрим, чем определяется этот предел. Изменение интенсивности вихрей определенного размера определяется тремя факторами. Во-первых, они получают энергию от вихрей большего размера. Самые крупные вихри в нашем примере получают энергию от стенок бака. Во-вторых, вихри отдают энергию более мелким вихрям. В-третьих, интенсивность вихрей убывает за счет вязкости, которая превращает кинетическую энергию вихрей в тепло. Роль вязкости возрастает с уменьшением размера вихря, поэтому вихри меньше определенного размера не могут развиваться и не играют роли в процессе. Предел применимости газодинамической модели, таким образом, определяется тем, что размер минимальных вихрей не меньше масштаба разрешимости задачи. Результат не зависит от того, что в газодинамической модели мы пренебрегаем вязкостью: важно лишь то, чтобы малые вихри, которые мы не можем считать, в физическом процессе также отсутствовали.

В тех случаях, когда необходимо учитывать вихри, размер которых меньше размера частицы, применяются модели турбулентности. Они разнообразны и мы рассмотрим только принципы построения таких моделей. В основе лежит, естественно, усреднение параметров вихрей в пределах частицы. В газодинамике скорости хаотического движения молекул характеризуются, как известно, средней кинетической энергией или с точностью до множителя температурой газа. Аналогично, в турбулентных моделях вводится понятие интенсивности турбулентных флуктуаций, которое выражает среднюю кинетическую энергию вихрей. На основе тех или иных гипотез, имеющих различный уровень строгости, выводится уравнение для расчета интенсивности. И, наконец, постулируется влияние интенсивности на основные параметры газодинамического течения. В задачах нашего типа это - турбулентная диффузия, обусловленная тем, что вещество не только перемещается в видимых больших вихрях, но и перемешивается мелкими невидимыми вихрями.

Наиболее распространенной является, так называемая, K-e модель турбулентности. Здесь K обозначает интенсивность, или плотность кинетической энергии турбулентных пульсаций, e - скорость диссипации этой энергии. Уравнения имеют вид:

В уравнениях присутствует источник G, обеспечивающий передачу энергии от осредненного течения к турбулентным пульсациям (в формуле для G предполагается суммирование по совпадающим индексам), а также турбулентная вязкость nt. Остальные коэффициенты являются константами. Обычная вязкость n обеспечивает передачу импульса между слоями газа за счет хаотического движения молекул, турбулентная вязкость обеспечивает тот же процесс с помощью вихрей.

Уравнения газодинамики при счете турбулентных течений должны содержать вязкие члены с коэффициентом nt. Они должны считаться одновременно с уравнениями турбулентности. Обе системы уравнений влияют друг на друга: в одну сторону через G, в другую - через nt. Иными словами, усредненное газодинамическое течение отдает часть своей энергии на генерацию вихрей, а те вызывают сглаживание скоростей и соответствующую диссипацию кинетической энергии.

Среди используемых моделей турбулентности K-e модель занимает промежуточное положение: она не слишком сложна и в то же время обеспечивает удовлетворительную точность при счете широкого класса задач. Более подробно с обоснованием этой и других моделей можно познакомиться в книге Монина - Яглома [[5]]. Я хочу остановиться на одной особенности, с которой я столкнулся при счете достаточно однородных течений в большой области. Качественно система уравнений в этом случае имеет вид:

Эта система чувствительна к малым возмущениям и может выходить на два устойчивых режима. В одном из них K мало и в силу малости первого члена в первом уравнении так и остается малым. В другом режиме K велико и под влиянием того же члена таким остается. Выход на тот или иной режим зависит от малых изменений физических или счетных параметров и, по-видимому, не имеет объективного характера. Избавиться от этого феномена удалось с помощью замены переменных. Я ввел новую функцию q = e/K - относительную скорость диссипации. Прямая подстановка этой функции в уравнения дает возможность в некотором смысле "разделить переменные". В последнее время я этим пользуюсь для построения удобной аппроксимации.

Можно также при выводе новых уравнений использовать эвристические соображения, подобные тем, что применяются при обосновании K-e модели. Тогда уравнения приобретают вид:

Эти уравнения, по-видимому, более устойчивы и при близких начальных значениях дают близкие решения.

В приведенном примере неоднозначность решения, по-видимому, связана с тем, что модель не совсем удачна. Однако, подобные ситуации в целом характерны для газодинамических задач. Само турбулентное течение является примером неоднозначного решения газодинамической задачи. При повторной реализации в эксперименте то же самое турбулентное течение может, сохраняя общие черты, заметно отличаться в мелких деталях. Неоднозначность может проявляться и в гладких течениях, существуют состояния, из которых решение может пойти по тому или иному пути. Подобное состояние системы называется точкой бифуркации.

За время работы в Ростове мне довелось слушать много докладов сотрудников и аспирантов на эту тему, но самое образное представление о бифуркации я получил на семинаре . Занятия проходили летом на берегу Днепра в одном из местных совхозов. Доклад о гидродинамической устойчивости делала Ольга Александровна Ладыженская. Изящная женщина в легкой белой блузке с косой ниже пояса рассказывала, что она любит, лежа в ванне и открывая пробку, придавать пальчиками ноги легкое возмущение воде и смотреть, как закрутится воронка: вправо или влево. Если Вы дополните эту картину подробностями, то представление о бифуркации запомнится надолго. Впрочем, подробности, возможно, другие, можно прочитать также в книге [[6]].

Отмечу несколько соображений, которыми можно руководствоваться при определении возможности пренебрегать турбулентностью. В динамических задачах решающую роль играет кратковременность процесса, в результате чего турбулентность не успевает развиться. Существенен также характер течения: отсутствие крупных вихрей и сдвиговых течений способствует тому, что мелким вихрям неоткуда черпать энергию. Наиболее надежной была бы оценка минимального размера вихрей на основе реальной вязкости, однако, сведения о вязкости в газах или величине сдвиговых напряжений в пластических течениях твердых тел при тех напряжениях, которые характерны для обычных или ядерных взрывов, не очень достоверны.

При совместном решении уравнений газодинамики и лучистой теплопроводности учет турбулентности иногда выявляет интересные эффекты. Несколько лет назад ко мне обратились знакомые физики из Ростова. Они разрабатывали систему мониторинга для контроля температуры железнодорожных цистерн. Предполагалось, что будет осуществляться фотографирование цистерн со спутника. Был выбран участок инфракрасного диапазона, в котором интенсивность излучения почти линейно зависит от температуры, так что более высокой температуре тела соответствует более темное изображение на негативной пленке.

На одной из пробных фотографий рядом с цистерной оказалось слегка затемненное округлое пятно, независимо было отмечено, что у этой цистерны перегрелась букса. Сама букса экранировалась цистерной и не была видна. Так возникла идея идентификации невидимых дефектов по их косвенным проявлениям (пятно на снимке). Первоначально предполагалось, что пятно является изображением нагретого воздуха и меня просили подтвердить это расчетом. Такое объяснение пришлось сразу отвергнуть: коэффициент внутреннего поглощения воздуха очень мал (пробег измеряется километрами) и собственное тепловое излучение нагретого облака размером в несколько метров чрезвычайно мало. Пришлось создавать целый программный комплекс, в котором считалось:

1.  Конвективное течение воздуха, генерируемое горячей буксой и отчасти теплой цистерной;

2.  Турбулентность в этом течении;

3.  Флуктуации температуры и плотности, вызванные турбулентностью;

4.  Рассеяние излучения от цистерны и буксы на флуктуациях плотности.

Оказалось, что основной вклад в изображение облака дает рассеянное излучение цистерны, вклад излучения буксы мал из-за ее малой поверхности, но зато высокая температура буксы вызывает турбулизацию течения. Расчетное изображение (цистерны и пятна), которое я отослал в Ростов, говорят, хорошо совпало по размеру, форме и даже степени черноты с фотографией. К сожалению, на этом пробном расчете работа и кончилась: по ряду причин фотографирование со спутника заменили установкой датчиков температуры на столбах вдоль полотна дороги. Впрочем, полученный опыт может оказаться полезным, возможно, что в задачах ядерной физики влияние турбулентности на пробег надо учитывать.

1.5.2.Детонация.

В газодинамических течениях могут протекать химические реакции между компонентами газовой смеси. Мы рассмотрим один тип реакций - превращение взрывчатых веществ (ВВ) в продукты детонации (ПД). Этот тип реакций характеризуется двумя особенностями: энерговыделением, обычно значительным, и высокой скоростью реакции. В результате реакция протекает в форме взрыва. Еще одно условие, которое стремятся обеспечить при разработке ВВ, заключается в том, чтобы продукты взрыва представляли собой газ. В этом случае ПД после взрыва многократно расширяются и их тепловая энергия переходит в работу или кинетическую энергию. Тем самым предопределяется применение ВВ для сжатия, метания, дробления, фугасного воздействия.

Реально используемые ВВ должны удовлетворять требованиям безопасности при хранении, перевозках, вибрации и т. п. В некоторых случаях предъявляются более жесткие требования, например, выдерживать перегрузки при ствольном метании снаряда. Все это означает, что ВВ должно обладать значительным энергетическим порогом, который надо преодолеть для запуска реакции. Начальный импульс для подрыва заряда ВВ берется от внешнего источника, это может быть нагрев, удар, взрыв специального инициирующего заряда. Подведенная энергия должна вызвать реакцию в прилегающем слое ВВ. Поскольку в этой реакции также выделяется энергия, то она может оказаться достаточной для инициирования следующего слоя и так далее - в конечном случае, взрыва всего заряда.

Существуют два механизма передачи энергии от прореагировавшего слоя к следующему - теплопроводность и ударноволновое сжатие. Соответственно процессы называют горением и детонацией, а вещества - порохом и, собственно, ВВ. Впрочем, такое разделение соответствует условиям штатного применения соответствующих составов, при определенных условиях порох может детонировать, а ВВ - гореть. Например, тротил спокойно горит в костре. Однако, если отток газов ограничен и давление растет, то горение может перейти в детонацию. Мы в дальнейшем будем рассматривать детонацию твердых ВВ, хотя некоторые рассматриваемые закономерности относятся и к газовым смесям, а также к процессу горения.

Типовые твердые ВВ имеют химический состав, описываемый формулой CaHbOcNd. Так, тротил - это C2H2 (NO2)3 CH3 , гексоген - C3H6O6N6. В результате распада этой молекулы и последующих химических реакций образуется смесь таких компонент, как углерод C, графит Cg, атомарные водород H, кислород O, азот N, молекулярные водород H2, кислород O2, азот N2, соединения CO, CO2, HO, H2O, HO2, H2O2, NO и другие. Между этими компонентами протекают реакции. Всего с учетом диссоциации выделяют порядка 20 значимых реакций. Все они являются двусторонними, то есть могут идти в ту или иную сторону. Скорости этих реакций сильно зависят от температуры и давления и при давлениях порядка десятков ГПа известны недостаточно. К тому же само давление рассчитать непросто, так как при плотности смеси порядка 2 г/см3 теоретические модели уравнений состояния смеси либо неприменимы, либо грубы, а экспериментальную зависимость давления от состава смеси получить, конечно, очень трудно. Возникают проблемы и при счете температуры. Все это делает мало перспективным расчет полной системы химической кинетики одновременно с расчетом течения газа. Следует, однако, подчеркнуть, что такой расчет позволил бы получать зависимость энерговыделения и химического состава конечной газовой смеси от условий расширения газов, а эти условия зависят от размера заряда, граничных условий и, вообще, могут отличаться для различных частиц одного заряда. В других моделях этими различиями пренебрегают.

Следует отметить еще одно обстоятельство, сильно осложняющее применение полной системы кинетики. Твердые ВВ неоднородны, они содержат поры, границы зерен, внутризеренные дефекты. Для увеличения степени безопасности к ВВ добавляют флегматизаторы типа парафина. Все эти неоднородности имеют размеры меньше масштаба разрешимости газодинамических задач. Поэтому их нельзя напрямую учесть в уравнениях кинетики. Необходимо вводить некоторые механизмы статистического усреднения, подобные тем, что используются в моделях турбулентности. Это еще больше усложняет и так непростую задачу. В результате в газодинамических комплексах полная система уравнений кинетики, насколько мне известно, пока не используется.

Противоположный подход состоит в использовании предельно простой модели детонации. Он предполагает, что скорость детонационной волны и параметры за ее фронтом (скорость вещества, плотность, энергия) известны и постоянны. Если счет, как обычно в динамических задачах, осуществляется шагами по времени, то мы можем из точки инициирования построить сферы (в двумерных задачах - окружности) радиусов D×tn-1 и D×tn, определяющие положение фронта на предыдущем и очередном шаге. Слою вещества, находящемуся между этими сферами приписываются необходимые значения параметров, а для частиц, продетонировавших ранее, расчет проводится по обычным газодинамическим уравнениям без энерговыделения. Частицы, находящиеся перед фронтом в счете не участвуют. Таким образом, в этой модели не требуется уравнение состояния ВВ, не возникает проблем расчета смеси ВВ и ПД. Осложнения, возникающие при огибании детонационной волной линзы или другого конструктивного элемента, можно обойти, если использовать принцип Гюйгенса. Для этого окружности проводятся не из точки инициирования, а из всех точек предыдущего положения фронта - радиусом D(tn- tn-1). Несмотря на предельную простоту такая модель позволяет проводить расчеты штатных изделий с приемлемой точностью. Основной недостаток модели связан с тем, что на самом деле скорость детонации и другие параметры не являются постоянными. Они зависят от кривизны фронта и от динамики процесса, волна с течением времени может усиливаться или затухать, вплоть до срыва детонации. Особенно важно учитывать подобные аспекты при расчете внешних воздействий на изделие при обосновании его безопасности или, напротив, оценки вероятности поражения.

Наиболее распространенной является промежуточная по сложности реализации модель макрокинетики. В этой модели рассматриваются лишь два вещества: ВВ и ПД и одна реакция - превращения первого вещества во второе. Массовая доля ВВ называется фракцией F, до начала реакции F=1, по окончании F=0. Уравнение реакции записывается в виде

Функция j представляет собой скорость реакции, знак минус соответствует направлению реакции от ВВ к ПД. Функция зависит от термодинамических параметров частицы и от текущего значения фракции. В этой модели необходимо использовать уравнения состояния ВВ и ПД, а также уметь рассчитывать уравнение состояния смеси. Мы вернемся к модели макрокинетики чуть позже, а сейчас рассмотрим особенности детонационных волн в сравнении с ударными волнами.

Напомним, что параметры стационарной ударной волны, идущей по неподвижному веществу, удовлетворяют системе уравнений:

Первые три уравнения называются соотношениями Гюгонио и выражают законы сохранения массы, импульса и энергии, четвертое - уравнение состояния. Четыре уравнения содержат пять неизвестных, поэтому для определения решения одно из переменных надо задать. В реальных условиях это можно реализовать, например, в виде поршня, движущегося с постоянной скоростью u. Между поршнем и ударной волной образуется зона постоянного течения.

Ударная волна расходует энергию: частично на повышение внутренней энергии газа при сжатии, частично на увеличение его кинетической энергии. Эту энергию она черпает от поршня. Заметим, что скорость звука за фронтом волны больше скорости фронта, что и обеспечивает возможность такой подпитки. Иначе обстоит дело с волной детонации. Энергия здесь выделяется непосредственно за фронтом и ее обычно хватает для поддержания движения фронта. Более того, часть выделенной энергии тратится на торможение газа, находящегося сзади области горения. В результате сзади формируется волна разрежения, скорость звука падает и на некотором расстоянии от волны образуется зона, которая уже не может влиять на фронт. Таким образом, граничное условие перестает играть роль и детонационная волна дальше движется в самоподдерживающемся режиме. Типичный профиль давления в плоской стационарной волне изображен на рисунке 3. Крестиком отмечена точка, в которой кончается зона влияния на фронт волны, эта точка называется точкой Жуге (Juge). В стационарной детонационной волне профиль, находящийся правее точки Жуге перемещается, не изменяя своей формы, левая часть профиля, напротив, может меняться. Зона от ударной волны и до точки Жуге считается зоной детонационного фронта, для твердых ВВ ширина этого фронта порядка миллиметра. Энерговыделение обычно заканчивается в зоне фронта. Однако, в некоторых ВВ, например с примесью алюминия, часть энергии выделяется за точкой Жуге, она не может влиять на детонационные параметры, но должна учитываться при оценке фугасного действия взрыва на больших расстояниях. Действительно, характеристики, идущие из левой области не догоняют детонационную волну, но могут догнать вышедшую из заряда ударную волну в воздухе или другой инертной среде.