Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью (стр. 1 )

Памяти

Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью

Москва 2002 г.

Предисловие.

В 1960 – 72 годах я работал в ФЯЦ, первое время в отделе нестандартных задач. Занимался разработкой и счетом задач линейной алгебры и систем нелинейных уравнений. В 62 году предложил мне организовать новый отдел для создания двумерной программы расчета изделий нового типа, разработанных им совместно с . Работе придавалось большое значение, формированием отдела занимался лично . Текущие вопросы быстро и доброжелательно решал начальник отделения . Благодаря этому мне удалось привлечь в отдел моих друзей и (так же, как и я, аспирантов выдающегося математика и педагога ). Удалось отобрать очень сильных молодых специалистов. На первом этапе решающий вклад внесли , , немного позднее – , и другие.

Через два года нам удалось создать программу СИГМА и сосчитать на машине М-20 первые задачи, в частности, изделие, которое было использовано для создания искусственного озера в Казахстане. Впервые на двумерном расчете была подтверждена работоспособность термоядерного инициатора. В 1967 г. была создана программа для БЭСМ-6. При этом уделялось внимание автоматизации расчетов. Были разработаны проблемно-ориентированные языки для ввода начальных данных (в частности, работы с геометрическими объектами) и управления счетом. Большой вклад в эту работу внес .

Я руководил отделом до конца 60-х годов, затем занялся переносом излучения, в 72 г. перешел на работу в Ростов, позже – в Дзержинск. Впрочем, привлекал меня к консультациям и в эти периоды.

В 2000 г. предложил мне написать эту книгу. При этом он исходил из следующих соображений.

Для разработки крупного программного комплекса требуется понимание физических моделей, используемых в этом комплексе, знание математических методов, особенно, теории разностных схем, умение создавать эффективные алгоритмы, умение программировать счетные блоки и интерфейс, знание особенностей компьютера. Как правило, совокупностью всех этих знаний обладает коллектив разработчиков, состоящий из специалистов разного профиля, однако желательно, чтобы все они, а особенно руководитель, в достаточной мере владели материалом смежных областей. Предлагаемый курс ориентирован, прежде всего, на то, чтобы дать основные представления, необходимые для комплексного подхода к разработке программ. Дополнительную специализацию, например, в теории разностных схем или машинной графики можно получить по соответствующей литературе, которая сейчас имеется в достаточном количестве.

Второй аспект данной книги связан с инициативой . В силу ряда причин экономического и организационного порядка в последнее время нарушился процесс естественного "изустного" способа передачи опыта старшего поколения молодежи. Между тем, подобный способ сыграл, например, в моем профессиональном росте очень важную роль. В первые месяцы работы во ВНИИЭФ я сидел в комнате с и . Темперамент последнего приводил к тому, что заметную часть времени у нас занимали разговоры общего характера, о чем я ни сколько не жалею. Так со слов В. Подвального я легко и без всякого напряжения уяснил для себя, чем программа "массового" счета должна отличаться от обычной программы. Это сыграло большую роль, когда нам вскоре пришлось работать над комплексом Сигма. Так же легко я узнал у , что такое прогонка и как ее запрограммировать. Приятно вспомнить разговоры с , и многими другими. Особое место, конечно, занимают разговоры с , у которого я получил всего несколько, но очень содержательных консультаций. Многому я научился во время совместного счета задач у , , и других физиков. С удовольствием вспоминая это общение, я постарался придать данному курсу основные черты устного обучения - простоту изложения, фиксацию внимания на основных понятиях, пропуск непринципиальных деталей.

В тех случаях, когда необходим выбор между наглядностью и строгостью изложения, я предпочитаю первое, учитывая, что в настоящее время литературы по вычислительной физике достаточно и читатель легко найдет недостающие детали. Мне лично нравятся книги Зельдовича-Райзера [[1]] и Рождественского-Яненко [[2]]. Моя цель состоит в том, чтобы дать общую картину тех проблем, которые встают перед разработчиком или пользователем газодинамических программных комплексов.

В первой книге рассмотрены основные понятия механики сплошной среды и численных методов. Конкретные комплексы, а также проблемы программной организации вычислений будут рассмотрены в следующей книге, там же мы остановимся подробнее на вопросах точности и эффективности математических алгоритмов, а также учете специфики отдельных, в частности, многопроцессорных машин.

В. Загускин.

PS. С предложением написать эту книгу ко мне обратился , с которым мы на протяжении многих лет дружили и сотрудничали. Он собирался написать приложение, посвященное спектральным методам исследования внутренних граничных условий, а также выступить в качестве редактора моей части текста. К сожалению, неожиданный уход его из жизни прервал эти планы. Книга не отредактирована, и я приношу извинения читателю за возможные опечатки, особенно в формулах. Работу над второй частью книги я также пока не начинал.

В. Загускин. 11.06.2008

. 1

Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью.. 1

Глава 1.Механика сплошной среды. 6

1.1.Математические аспекты. 9

1.1.1.Координаты. 9

1.1.2.Размерность задачи. 10

1.2.Уравнения механики сплошной среды. 12

1.2.1. Закон сохранения массы. 12

1.2.2. Закон сохранения импульса. 14

1.2.3. Закон сохранения энергии. 16

1.2.4.Траектория лагранжевой точки. 17

1.2.5.Замыкающие уравнения. 17

1.3.Газодинамика. 18

1.3.1.Законы сохранения в газодинамике. 19

1.3.2.Уравнение энергии. 20

1.3.3.Одномерные и двумерные задачи. 21

1.3.4.Уравнения состояния. 24

1.3.5.Краевая задача. 28

1.4.Типичные газодинамические задачи. 31

1.4.1.Акустическое приближение. 31

1.4.2.Характеристики. 33

1.4.3.Волна разрежения. 36

1.4.4.Ударная волна. 45

1.4.5.Контактная граница. 53

1.5.Сопутствующие процессы. 56

1.5.1.Турбулентность. 57

1.5.2.Детонация. 63

1.5.3.Упругопластичность. 77

1.5.4.Теплопроводность. 87

Глава 2. Разностные схемы. 95

2.1. Дискретизация. 96

2.1.1. Сеточные функции. 97

2.1.2. Аппроксимация функций. 98

2.1.3. Аппроксимация уравнений. 101

2.2. Свойства разностных схем. 103

2.2.1. Аппроксимация. 104

2.2.1.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение. 105

2.2.1.2. Уравнение теплопроводности. 108

2.2.1.3. Уравнения газодинамики. 109

2.2.2. Устойчивость. 113

2.2.2.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение. 114

2.2.2.2. Уравнение теплопроводности. 118

2.2.2.3. Прогонка. 123

2.2.2.4. Уравнения газодинамики. 126

2.2.2.5. Предиктор-корректор. 130

2.2.3. Сходимость. 133

2.2.4. Первое дифференциальное приближение. 137

2.2.5. Искуственная вязкость. 143

2.2.6. Коэффициент потерь. 146

2.3. Специфические свойства разностных схем. 153

2.3.1. Консервативность. 153

2.3.2. Расщепление по физическим процессам. 160

2.3.3. Расщепление по направлениям. 163

2.3.4. Расщепление по областям. 165

Заключение. 167

Глава 1.Механика сплошной среды.

Во время работы во ВНИИЭФ и институте механики РГУ я привык к достаточно свободному режиму и, нужно сказать, все свои сколько-нибудь значимые результаты я получал дома или во время прогулок. Когда в 1980 г. я пришел в НИИМаш с его жестким режимом работы, для меня это оказалось непривычно. Поэтому через несколько месяцев, как только удалось сформировать отдел и получить первые необходимые результаты, я добился для себя библиотечного дня - среды. По мере достижения новых успехов я постепенно распространял свободный режим на своих ведущих сотрудников, после чего наш отдел в институте все чаще начали именовать не номером, как обычно, а "Отделом сплошной среды". Я не сопротивлялся, а ненавязчиво поправлял: "Отдел механики сплошной среды". Действительно, задачи, которыми мы занимаемся: детонации, газодинамики, упругопластичности и другие относятся к тем физическим моделям, которые принято называть моделями сплошной среды.

В большинстве физических задач, особенно рассматриваемых в связи с расчетами, существует характерный масштаб задачи, обусловленный размерами изделия или счетной области. Чаще всего в технических приложениях - это метр или дециметр. Второй характерный размер - масштаб разрешения. В наших задачах мы обычно будем считать, что это миллиметр или его доля. Сама постановка задачи предполагает, что более мелкие детали нас не интересуют. В численной реализации соотношение масштабов определяется также возможностями компьютера. При использовании сеток, конечных элементов или частиц число этих частиц ограничено и, следовательно, они не могут быть очень мелкими. Модель механики сплошной среды предполагает, что частицы заполнены неким однородным веществом и его состояние с достаточной точностью может быть описано некоторыми средними значениями параметров. Между частицами может быть пустота типа зазоров или трещин, так что понятия сплошности и однородности относятся именно к частицам.

Одно и то же вещество в разных задачах может рассматриваться по разному. Так, течение газа удобно рассматривать в рамках механики сплошной среды, а константы его уравнения состояния можно определять из расчета сил межатомного взаимодействия. В этом случае, естественно, нужно рассматривать другие масштабы и другие уравнения.

Состояние частиц в механике сплошной среды характеризуется их положением в пространстве, скоростями, внутренними параметрами типа плотности и температуры и силами. Силы различают массовые (типа гравитации, магнитных и т. п.) и силы взаимодействия между частицами. Расчет задачи заключается в прослеживании изменения положения частиц и их состояния. В стационарных задачах состояние каждой частицы может изменяться, но вся пространственная картина течения остается неизменной. Нас будут интересовать в основном динамические задачи, где состояние задачи существенным образом изменяется во времени. Естественно, что и сама задача в этом случае рассматривается на определенном интервале времени.

Различные модели механики сплошной среды отличаются в основном рассматриваемыми параметрами и силами. В многофазных средах каждая частица может содержать несколько различных веществ. Это может быть существенным, например, если необходимо рассчитывать химические или ядерные реакции между компонентами. В тех случаях, когда в задаче присутствуют различные вещества, но они относятся к разным частицам, задачу принято трактовать как однофазную. В многофазных задачах выделяется случай многоскоростной среды, когда различные фазы в одной и той же частице могут двигаться с разными скоростями. Это наблюдается, например, при взрывном диспергировании мелких частиц порошка в воздухе. В модели сплошной среды мы не можем отслеживать отдельные частицы порошка, если они сами и расстояние между ними много меньше масштаба разрешения. В этом случае мы для каждого рассматриваемого дискретного объема рассчитываем усредненные параметры воздуха и его скорость, а также скорость, число частиц и другие параметры порошка. Другие отличия между моделями связаны с силами взаимодействия, так выделяют, в частности, газодинамику и упругопластичность, которыми мы в основном и будем заниматься.

1.1.Математические аспекты.

Физические модели механики сплошной среды используют разнообразный математический аппарат. В этом разделе мы рассмотрим некоторые основы, которые являются общими для интересующих нас физических задач.

1.1.1.Координаты.

Описание задачи механики сплошной среды сводится к заданию ее параметров, или, так называемых, зависимых переменных, в виде функций координат (независимых переменных). В динамических задачах независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве пространственных координат мы будем рассматривать декартовы (x, y, z), цилиндрические (x, y, j) и сферические (x, j, f). При этом роль радиуса в цилиндрическом случае будет играть y, а в сферическом - x.

Таким образом, распределение какой-либо величины, например плотности, задается функцией R(t, x, y, z). Частная производная

означает изменение во времени плотности в фиксированной точке пространства. В ряде случаев необходимо знать изменение во времени параметра фиксированной материальной частицы. Такая производная называется полной или материальной и складывается из изменения величины, например, плотности во времени и при сдвиге, если частица перемещается в пространстве. Обозначая компоненты скорости частицы Vx, Vy, Vz, мы получим выражение для полной производной:

Эти две трактовки производной называют также эйлеровым и лагранжевым описанием задачи. Заметим, что сами координаты имеют в обоих случаях один тот же смысл, хотя во втором случае их иногда называют локально лагранжевыми. Истинно лагранжевыми являются координаты t, X, Y, Z, где пространственные координаты (мы их обозначили заглавными буквами) являются декартовыми координатами частицы в начальный момент и остаются неизменными для данной частицы в течение всей задачи. Наряду с лагранжевыми координатами частицы в счете необходимо знать и ее текущие эйлеровы координаты, уметь вычислять производные Это представляется не очень удобным, поэтому в дальнейшем мы не будем ими пользоваться.

1.1.2.Размерность задачи.

В динамических задачах размерностью называют число пространственных координат, время как бы само собой подразумевается. Решение трехмерной задачи представляет значительные трудности, поэтому случаи возможного понижения размерности всегда вызывали интерес, особенно на первых машинах, производительность которых была недостаточной для трехмерного случая. Многие аналитические решения и оценки также получены для одномерных и двумерных задач.

Задачу можно считать двумерной, если все зависимые переменные не зависят от одной из пространственных координат, например, z. Обычно в таком случае равна нулю и компонента скорости Vz, хотя это не обязательно. Примером такой плоской двумерной задачи может служить удар бесконечного стержня плашмя о плоскую поверхность. Если координату z направить вдоль стержня, то решение не будет зависеть от этой координаты. Разумеется, в реальных приложениях стержень всегда имеет конечную длину, поэтому полученное решение (численное или аналитическое) можно применить лишь к средней части стержня, там, где не сказываются краевые эффекты. Нужно сказать, что плоские двумерные задачи встречаются сравнительно редко.

Напротив, широко распространены двумерные осесимметричные задачи, которые ставятся в цилиндрической системе координат и при этом решение не зависит от угловой координаты j. Обычно предполагается равенство нулю угловой скорости, но это так же не обязательно. Эти задачи точно, без тех натяжек, которые в плоском случае связаны с бесконечностью, позволяют рассчитывать определенные классы технических устройств.

Одномерные задачи в зависимости от используемой системы координат делятся на плоские, цилиндрические и сферические. В плоской постановке можно рассчитать, например, соударение тонких пластин, движение детонационной волны по заряду большого диаметра, движение невязкого газа в трубе. В цилиндрической постановке можно рассчитать разлет стенок трубки под действием мгновенной детонации находящегося в ней взрывчатого вещества. Все эти постановки обычно приближенны и не учитывают краевых эффектов. Сферическая постановка, напротив, часто бывает точной и позволяет рассчитывать, например, разлет или сжатие сферических слоистых систем, которые часто используются в технике. Иногда одномерные расчеты используются и для оценки работы устройств, близких к сферическим. Несколько, так называемых, секторных расчетов могут дать представление о работе изделия и в то же время они значительно экономичнее, чем полный двумерный или трехмерный расчет. Такая тактика была особенно распространена в первые годы машинного счета.

Иногда встречаются также нульмерные задачи, в которых решение зависит только от времени. Таким может быть, например, расчет химических реакций в однородной смеси, заполняющей сосуд. Если стенки сосуда теплоизолированы, то изменение температуры в результате реакции также происходит равномерно во всем объеме и решение не зависит от пространственных координат. Нульмерные задачи особенно просты как для численного решения, так и для аналитического исследования, что позволяет их применять для оценок в ряде случаев, когда решение слабо зависит от пространственных координат, но задача не является, строго говоря, нульмерной.

1.2.Уравнения механики сплошной среды.

Основой механики сплошной среды являются законы сохранения. Они выражают общие закономерности, присущие всем физическим моделям, отличия моделей проявляются в рассматриваемых величинах, силах, замыкающих уравнениях, например, уравнениях состояния. Не все законы сохранения используются явно. Например, нам не понадобится закон сохранения электрического заряда, так как силы электрического притяжения и отталкивания мы не будем учитывать. Мы рассмотрим три закона сохранения, используемых в наших моделях: массы, импульса и энергии.

Суть подхода заключается в том, что пространство задачи разбивается на некоторые ячейки, или частицы, произвольной формы. Ячейки могут быть неподвижными, то есть, эйлеровыми, или материальными, лагранжевыми. Рассматриваемая субстанция, например, масса ячейки, вообще говоря, меняется со временем. О сохранении субстанции можно говорить в том случае, если ее изменение в одной ячейке компенсируется изменением в соседних ячейках. В механике это связано, как правило, с тем, что изменение субстанции происходит за счет потока этой субстанции через границы ячейки. Таким образом, если две ячейки имеют общую границу, то количество, вытекшее через эту границу из одной ячейки, равно количеству, притекшему в соседнюю. Если на внешних границах системы поток отсутствует, то рассматриваемая величина в задаче сохраняется, что и определяет название этих законов.

1.2.1. Закон сохранения массы.

Закон сохранения массы особенно просто выглядит для лагранжевой частицы:

Масса частицы является некоторой интегральной величиной, в уравнениях механики обычно фигурирует плотность вещества, которую мы будем обозначать буквой R (употребляют также греческую букву r). С применением плотности закон сохранения массы запишется в виде:

Здесь интеграл от плотности берется по объему частицы. Подобная форма уравнений механики называется интегральной. Иногда удобнее пользоваться дифференциальной формой закона сохранения массы, ее называют также уравнением неразрывности. Возьмем частицу в виде малого куба со сторонами dx, dy, dz, параллельными осям координат. Тогда объем частицы V=dx×dy×dz. Изменение длины dx за время dt пропорционально разности скоростей на концах этого отрезка и равно dVx×dt. Возьмем дифференциал соотношения R×dx×dy×dz=const, выражающего закон сохранения массы:

dR×dx×dy×dz+R×dVx×dt×dy×dz+R×dx×dVy×dt×dz+R×dx×dy×dVz×dt=0.

Разделив на dx×dy×dz×dt, получим

Здесь используется обозначение дивергенции скорости, в декартовых координатах она равна:

Для эйлеровой частицы закон сохранения массы в интегральной форме выглядит несколько сложнее: необходимо учитывать поток массы через поверхность частицы. Обозначим через `n единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности частицы. Обозначим через Vn проекцию скорости на эту нормаль, проекция может быть вычислена с помощью скалярного произведения: Vn = (`V, `n ). Тогда поток массы через малую поверхность dS частицы равен R×Vn×dS, так что закон сохранения массы эйлеровой частицы приобретает вид:

Контурный интеграл здесь берется по поверхности частицы. Интересно также привести дифференциальную форму уравнения неразрывности, которая внешне очень похожа на лагранжеву:

Мы приводим эйлерову форму уравнений только для того, чтобы показать, чем она отличается от лагранжевой. В дальнейшем мы будем работать с лагранжевой формой законов сохранения.

1.2.2. Закон сохранения импульса.

Импульсом лагранжевой частицы называется произведение массы частицы на ее скорость. Импульс является векторной величиной, как и скорость. Изменение импульса обусловлено силами, действующими на частицу. Мы не будем в дальнейшем рассматривать массовые силы (типа гравитации), так как в наших задачах они не существенны. Впрочем, учет именно массовых сил наиболее прост. Рассмотрим поверхностные силы, с которыми частицы действуют друг на друга. Будем считать, что на малую поверхность dS действует сила `F(`n), зависящая от координат (что мы явно не указываем) и от единичного вектора `n нормали к поверхности, определяющего ориентацию этой поверхности в пространстве. Изменение импульса лагранжевой частицы определяется уравнением

Для того, чтобы этот закон был законом сохранения, достаточно, чтобы функция `F была кососимметричной: `F(-`n) = -`F(`n). Действительно, в этом случае на общую часть поверхности двух соседних частиц будут действовать силы, равные по величине и противоположные по направлению, что скомпенсирует суммарное изменение импульса этих частиц. В физике силы взаимодействия обладают этим свойством (вспомните Ньютона: действие равно противодействию).

В дифференциальной форме закон сохранения импульса мы приведем для случая, когда сила `F(`n ) является линейной функцией вектора `n. Линейная векторная функция векторного аргумента является, как известно, тензором. Не вдаваясь подробно в тензорное исчисление (см., например, [[3]]), укажем только, что эта функция определяется матрицей второго порядка с элементами Fxx, Fxy, …, Fzz. При этом, если компоненты вектора `F в декартовой системе координат обозначить через Fx, Fy, Fz, а компоненты вектора `n через Nx, Ny, Nz, то

Fx = Fxx×Nx + Fxy×Ny + Fxz×Nz,

Fy = Fyx×Nx + Fyy×Ny + Fyz×Nz,

Fx = Fzx×Nx + Fzy×Ny + Fzz×Nz.

Дифференциальная форма закона сохранения импульса при этом выглядит следующим образом:

Для эйлеровой частицы уравнения несколько усложняются, поскольку добавляется поток импульса через поверхность частицы, мы не станем на этом останавливаться, так как эти уравнения нам не понадобятся.

1.2.3. Закон сохранения энергии.

Прежде всего нужно отметить, что само слово энергия зачастую употребляется в разных смыслах. Можно говорить об энергии тела или частицы, а можно об удельной энергии, относящейся к единице массы. Мы будем употреблять слово энергия во втором значении. Далее, различают полную энергию W = Ek + E и ее составляющие: кинетическую энергию Ek и внутреннюю E. Кинетическая энергия Ek = 0.5 × (`V,`V) связана с движением частицы, привычный множитель m отсутствует, так как речь идет об удельной энергии. Внутреняя энергия E характеризует состояние вещества, ее в свою очередь рассматривают как сумму упругой энергии Eu, характеризующей потенциальную энергию взаимного расположения атомов или молекул вещества, и тепловой энергии Et, связанной со скоростью колебаний атомов и молекул. К тепловой энергии вещества в простых моделях может добавляться также энергия излучения, существенная при высоких температурах. В более сложных моделях вещество и излучение рассматривают отдельно.

Закон сохранения энергии относится к полной энергии W. Он выражает изменение энергии частицы за счет работы сил, действующих на поверхность частицы, и потока тепла через эту поверхность. Мы предполагаем, что поток тепла `q в данной точке является вектором, при этом величина потока через единичную площадку, нормальную к вектору `n, выражается скалярным произведением (`q,`n). В общем случае еще учитывается работа массовых сил, но мы их не рассматриваем. В результате закон сохранения полной энергии выражается следующим образом:

В дифференциальной форме уравнение энергии мы рассмотрим ниже применительно к конкретным моделям.

1.2.4.Траектория лагранжевой точки.

Каждая точка движущейся лагранжевой частицы в текущий момент времени имеет определенные координаты, например, декартовы x, y, z. Изменение этих координат определяется скоростью, в результате чего точка описывает траекторию, заданную системой уравнений:

Зная траектории всех точек лагранжевой частицы, мы можем проследить за ее перемещением, а также за изменением размера и формы частицы.

1.2.5.Замыкающие уравнения.

Расчет динамической задачи механики сплошной среды можно представить себе следующим образом. Разобьем рассматриваемое тело на некоторые частицы небольшого, но конечного объема. Допустим, что нам в начальный момент заданы все параметры вещества и действующие на него силы. Что нам нужно для того, чтобы определить состояние рассматриваемой системы через небольшой промежуток времени? Не вдаваясь в детали возможных алгоритмов, укажем возможную цепочку вычислений:

1.С помощью закона сохранения импульса, используя заданные силы, найдем изменение скорости;

2.По известной скорости с помощью уравнений траекторий найдем перемещение частиц и изменение их размера и формы;

3.С помощью закона сохранения массы найдем новую плотность;

4.С помощью закона сохранения энергии найдем новую полную энергию;

5.Зная изменение скорости, найдем изменение кинетической энергии и, тем самым определим новую внутреннюю энергию.

Для завершения цикла нам осталось определить новые значения сил, действующих на вещество. В различных физических моделях эти силы имеют различный характер, но сущность у них одна: они определяются через остальные параметры среды - плотность, внутреннюю энергию, скорость, деформацию (изменение формы). Соответствующие соотношения и носят общее название замыкающих уравнений, конкретный вид таких уравнений мы рассмотрим ниже применительно к отдельным моделям.

1.3.Газодинамика.

Газодинамика является моделью механики сплошной среды, в которой основной силой взаимодействия является давление. Особенность давления заключается в том, что эта сила действует равномерно во всех направлениях. Иными словами, величина давления не зависит от ориентации поверхности (вектора `n). Собственно в газах механизм давления связан с передачей частице среды импульса хаотического движения соседних молекул. Независимость давления от направления следует при этом из предположения о равновероятном распределении скоростей хаотического движения по направлениям. При этом предполагается, что давление является положительным, а сила направлена по нормали к поверхности внутрь частицы. Таким образом, сила, фигурирующая в законах сохранения импульса и энергии имеет вид

`F(`n ) = - p ×`n.

Давление в этой формуле обозначено буквой p.

Примерно такой же механизм определяет давление в жидкостях, однако, здесь помимо толчков хаотического движения молекул необходимо учитывать и силы притяжения молекул, в результате чего давление в растягиваемой жидкости может быть отрицательным. С этой оговоркой гидродинамику также можно отнести к кругу рассматриваемых нами задач. Более того, уравнениями газодинамики при интенсивных нагрузках можно описывать и поведение твердых тел. Упругие свойства металлов проявляются при нагрузках порядка 0.2 ГПа и ниже. Между тем, при детонации обычных взрывчатых веществ (ВВ) создаются нагрузки в десятки ГПа, еще большие нагрузки возникают при ядерных взрывах. Ясно, что в таких задачах модель газодинамики зачастую обеспечивает адекватное описание процесса. В тех случаях, когда учет упругих свойств необходим, мы будем пользоваться моделью упругопластичности, которую рассмотрим ниже.

Помимо давления в задачах газодинамики иногда учитывают вязкость. Механизм вязкости связан обычно с обменом импульсом между частицами, обладающими разными скоростями, в результате диффузии. Тем самым вязкость проявляет себя в основном в разреженных газах, где велик пробег молекул, либо в медленно текущих процессах. В динамических задачах с высокой интенсивностью нагрузок роль вязкости невелика и мы ее рассматривать не будем.

1.3.1.Законы сохранения в газодинамике.

С учетом специального вида сил взаимодействия законы сохранения в интегральной форме приобретают вид:

Приведем запись тех же законов в дифференциальной форме для декартовой системы координат:

1.3.2.Уравнение энергии.

Выше мы привели закон сохранения полной энергии в интегральной и дифференциальной форме. Рассмотрим закон изменения внутренней энергии. Напомним, что полная энергия W = Ek + E, где Ek - кинетическая, E - внутренняя энергия. Найдем изменение кинетической энергии. Для этого умножим левые части уравнений импульса соответственно на Vx, Vy, Vz и сложим. В результате получим:

Для внутренней энергии в результате будем иметь:

Используя уравнение неразрывности, получим окончательно:

Для случая, когда отсутствует теплопроводность, это уравнение интересно сравнить с третьим законом термодинамики:

Здесь через v обозначен удельный объем v=1/R. С учетом этого уравнение энергии выражает в отсутствии теплопроводности постоянство энтропии: dS=0. Фактически в газодинамических процессах энтропия не всегда остается неизменной, она может расти как за счет теплопроводности, так и за счет вязкости. Значительный рост энтропии происходит в ударных волнах, об этом мы подробно поговорим ниже.

1.3.3.Одномерные и двумерные задачи.

Мы уже отмечали, что одномерные и двумерные задачи играют важную роль в механике сплошной среды, особенно, при численном моделировании. Приведем поэтому в замкнутом виде полные системы уравнений для этих случаев.

Назовем показателем координатной системы (геометрии задачи) число c = 0, 1, 2 соответственно для плоского, осесимметрического (цилиндрического) и сферического случая. Приведем выражение дивергенции для одномерной задачи. Дивергенция представляет собой дифференциальный оператор, применимый к любому векторному полю, но нас будет интересовать в основном дивергенция скорости. Только в одномерных задачах мы будем использовать для обозначения скорости букву u вместо Vx. Дивергенция в этом случае имеет вид:

С учетом этих обозначений полная система уравнений газодинамики в одномерном случае имеет вид:

Система уравнений включает в себя, как мы видим, уравнение траектории, уравнение неразрывности, законы изменения импульса и энергии, а также два уравнения, которые относятся к числу замыкающих уравнений. Применительно к газовой динамике их принято называть уравнениями состояния. Уравнения состояния могут иметь различный вид, мы их рассмотрим отдельно.

В уравнении энергии опущен член, определяющий поток энергии `q. Об этом мы поговорим позже при рассмотрении модели теплопроводности. Приведенная система относится, таким образом, к обычной газодинамике (без теплопроводности).

Интересно отметить, что вид всех уравнений, кроме уравнения неразрывности, не зависит от показателя c системы координат. Для уравнений траектории, энергии и уравнений состояния это понятно, сложнее это объяснить для уравнения импульса. Действительно, из интегральной формы закона сохранения импульса следует, что изменение импульса частицы происходит под действием сил, действующих на поверхность частицы. Переход к дифференциальной форме уравнения обычно сводится к рассмотрению малой частицы, ограниченной поверхностями, на которых одна из координат имеет постоянное значение. В декартовых координатах такая частица имеет форму прямоугольного параллелепипеда, в цилиндрических - фрагмента кольца, в сферических - фрагмента шарового слоя. Тот факт, что ускорение не зависит при этом от формы частицы, не очевиден.