Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью (стр. 8 )

Сравнение схем можно продемонстрировать на графиках для различных значений cL. Точное решение обозначено V(t) и изображается сплошной линией, неявная схема соответствует un(k) и изображается крестиками, точки симметричной схемы us(k) изображаются кружками.

Рис. CL = 0.1.

Видно, что симметричная схема точнее. Еще лучше это видно при cL = 1.

Рис. CL = 1.

Однако при дальнейшем росте параметра преимущество переходит к неявной схеме.

Рис. CL = 10.

Для наглядности здесь точки симметричной схемы соединены пунктирной линией. Приведенные рисунки демонстрируют, что неявная схема во всем рассмотренном диапазоне изменения параметров обеспечивает пусть небольшую, но приемлемую точность, тогда как погрешность симметричной схемы сильно меняется.

Неявную схему выгодно применять, если рассматривается класс задач, у которых параметры могут изменяться в широких пределах. Особенно это относится к системам уравнений, роль параметра c при этом играют собственные числа матрицы системы. В частности, если собственные числа сильно различаются по величине, система уравнений называется жесткой. Для этих систем используются специальные подходы к конструированию методов решения. Соображения, которые при этом используются, отличаются по форме, но в сущности, сводятся к выбору схемы, обладающей, подобно неявной схеме, ограниченным коэффициентом потерь во всем диапазоне собственных чисел матрицы системы. Такую схему естественно назвать схемой с равномерной аппроксимацией.

Заметим, что подобные соображения можно использовать и для сравнения разностных схем для задач механики сплошной среды. При этом следует иметь в виду, что жесткость спектра оператора шага неограниченно растет при измельчении пространственной сетки. Однако, это происходит по разному. В задачах газодинамики обычно младшие собственные числа стремятся к нулю, а старшие остаются ограниченными. Это соответствует случаю 0 < cL < 1, что позволяет применять явные схемы и схемы повышенного порядка точности. В теплопроводности, напротив, встречаются задачи, где число Куранта, а вместе с ним и собственные числа могут принимать большие значения, в этом случае требование равномерной аппроксимации становится необходимым.

2.3. Специфические свойства разностных схем.

Выше мы рассмотрели основные свойства разностных схем: аппроксимацию, устойчивость и сходимость. Однако, при конструировании разностных схем зачастую приходится заботиться и о других свойствах. Это может быть связано с особенностями решения, которые необходимо сохранить, например, монотонность, принцип максимума. Наиболее типичным требованием такого рода является консервативность. Другие требования связаны с эффективностью машинной реализации. Наиболее важным здесь является принцип расщепления, предложенный и детально изученный . Метод прекрасно изложен в его книге [[33]].

2.3.1. Консервативность.

В первой главе мы видели, что дифференциальные уравнения механики сплошной среды выводятся из законов сохранения массы, импульса, энергии. В ряде случаев сохраняются и другие интегральные величины. Так, при счете теплопроводности сохраняется внутренняя энергия. При счете адиабатических газодинамических течений сохраняется энтропия. В химической кинетике обычно сохраняются некоторые комбинации концентраций реагентов. В численном счете зачастую нас интересуют не значения функций в отдельных точках, а интегральные значения импульса, средней плотности, энергии в отдельных областях или задаче в целом. В этом случае желательно, чтобы разностная схема также удовлетворяла некоторому аналогу законов сохранения. Замечено, что часто это приводит к увеличению точности решения и в отдельных точках. Мы рассмотрим понятие консервативности применительно к уравнениям теплопроводности и газовой динамики. Ниже будет показано, что используя схему расщепления по физическим процессам эти уравнения можно разделить, в результате чего исследовать (и программировать) отдельно. Для простоты ограничимся одномерным случаем.

Рассмотрим уравнение теплопроводности

Здесь R - плотность вещества, E - внутренняя (тепловая) энергия, κ - коэффициент теплопроводности, T - температура, источник тепла будем считать равным нулю. Энергия связана функциональной зависимостью с температурой и плотностью: E = E(R, T).

Рассмотрим в качестве примера одномерную сферически симметрическую задачу. Построим пространственную сетку с узлами ri. Определим энергию ячейки

В скобках здесь стоит объем ячейки (в расчете на один стерадиан). Энергию всей задачи или отдельной области можно определить как суммарную энергию входящих в нее ячеек. Нам нужно сконструировать разностную схему таким образом, чтобы изменение этой энергии на каждом шаге по времени в точности равнялось притоку тепла за счет потоков на границе области. Так как число ячеек в области может быть любым, то схему нужно конструировать так, чтобы это свойство выполнялось для каждой ячейки. Для этого схему естественно строить в виде:

Изменение энергии ячейки определяется потоками тепла на ее границах, пропорциональных площади границы и градиенту температуры. Здесь остается еще произвол в том, как аппроксимировать градиент температуры по пространственной переменной, с какого шага по времени его брать. В случае нелинейной зависимости энергии от температуры возникает проблема выбора метода (обычно итерационного) нахождения температуры. Все эти вопросы могут решаться по разному, но консервативность схемы обеспечивается в любом случае с точностью до погрешностей округления и независимо от точности итераций для температуры и погрешности аппроксимации схемы. Важно то, что теперь для любой области, то есть любого числа подряд идущих ячеек, суммарное изменение энергии выражается через потоки только на границах этой области. Действительно, из вида формулы следует, что потоки на общей границе двух соседних ячеек равны по величине и противоположны по знаку и, следовательно, при суммировании все внутренние потоки уничтожатся. Это свойство и является основополагающим при конструировании консервативных схем. Схемы с такого рода взаимоуничтожающимися потоками иногда называют дивергентными. Правильнее их было бы называть постинтегральными, так как они по сути аппроксимируют интегральные законы сохранения. Взаимоуничтожающиеся члены можно назвать контурными, так как они соответствуют контурным интегралам в законах сохранения.

Свойство консервативности может до известного предела компенсировать плохую аппроксимацию или ее отсутствие и даже недостатки диффузионной модели относительно модели переноса излучения. Представим себе, что мы рассчитываем тепловую волну, движущуюся с конечной скоростью. Допустим, что поток тепла на границе области задан точно. Тогда, если мы в силу плохой аппроксимации или неточности модели занизим, к примеру, скорость тепловой волны, то это приведет к ошибке в значении функции: в силу закона сохранения температура за фронтом окажется завышенной. Это приведет к завышению градиента температуры в разностном решении и соответствующему увеличению скорости распространения тепла. Тем самым происходит саморегуляция численного решения. Выше мы уже отмечали, что в задачах ядерной физики потоки энергии, переносимой излучением, очень велики и свойство консервативности совершенно необходимо для правильного описания процесса.

В газодинамике можно рассматривать несколько законов сохранения. Во-первых, это закон сохранения массы. В лагражевых сеточных методиках сохранение массы не представляет труда. Достаточно сохранять во времени массу каждой счетной ячейки, что обычно и предполагается при конструировании разностной схемы. В эйлеровых методиках или при использовании подвижных сеток необходимо пользоваться тем же подходом, что в теплопроводности: изменение массы ячейки выражать через потоки массы на ее границах. Тогда убыль массы одной ячейки компенсируется точно таким же ростом массы соседней ячейки. Несколько сложнее обстоит дело в методах частиц. Обычно частицы считаются материальными корпускулами и их массы сохраняются в течении счета. Это приводит к представлению, что закон сохранения массы автоматически выполняется. Но реально в уравнениях газодинамики используется не масса, а плотность. Поэтому нужно смотреть, как в методе вычисляется плотность вещества и закон сохранения массы правильнее трактовать, как сохранение интеграла плотности по фиксированному лагранжеву объему. Такой интеграл не всегда равен сумме масс частиц в этом объеме. Подробнее мы об этом поговорим во второй книге.

Второй закон сохранения в газодинамике связан с импульсом. По сути импульс ячейки равен интегралу по объему ячейки от произведения плотности на скорость вещества. В тех случаях, когда мы оперируем с непрерывными восполнениями сеточных функций (как в методе конечных элементов) импульс определяется однозначно. Для сеточных функций, заданных в дискретных точках, импульс также естественно определяется, если плотность и скорость заданы в одних точках. Однако, в тех (наиболее распространенных) схемах, где плотность и скорость определены в различных точках пространственной или временной сетки, определение импульса ячейки неоднозначно. В лагранжевых схемах типа КРЕСТ обычно импульс связывают с узлом, а не с ячейкой. Для этого определяют массу узла как сумму половинок масс прилегающих ячеек. В лагранжевой методике эти массы постоянны. Тогда импульс узла Mi можно определить как произведение его массы и скорости. Консервативность схемы можно обеспечить следующей формой аппроксимации уравнения движения, роль контурных членов здесь играет давление:

Опять таки неважно, как аппроксимируется давление, с какой точностью оно считается. Для консервативности существенно только то, чтобы для соседних узлов давление в точке между ними считалось одинаково и входило в соответствующие уравнения с разными знаками. Суммируя выражения для соседних точек мы получаем, что изменение импульса области определяется только давлением на ее границах. Правда, положение границы, если это не граница с вакуумом, определяется с точностью до полячейки, что требует некоторого уточнения, но на этой детали мы не будем останавливаться. Заметим, что в одномерных задачах применительно к импульсу консервативность принято рассматривать для плоского случая. В случае цилиндрической или сферической симметрии нельзя говорить о сохранении импульса без учета сил, действующих на боковые поверхности ячейки. Нечто подобное мы рассматривали в первой главе и вводили тогда понятие плоской массы. В двумерных осесимметричных задачах закон сохранения импульса рассматривается для одной из компонент скорости - параллельной оси.

Сложнее дело обстоит с законом сохранения энергии. Полная энергия вещества состоит из кинетической и внутренней, которые в большинстве схем считаются в разных точках как по времени, так и по пространству. Поэтому нужно определить сначала, что такое полная энергия ячейки. Возьмем схему типа квазиКРЕСТ, у которой все величины определены в одни и те же моменты времени. Среднее значение квадрата скорости ячейки определим как полусумму квадратов скоростей ее узлов. Тогда для плоского одномерного случая на сетке с шагом h энергию ячейки можно представить в виде

Роль контурных членов в уравнении энергии играет работа на границах ячейки, то есть в узлах. Определим давление в узле как полусумму давлений в прилегающих ячейках, тогда консервативную схему можно записать в виде:

Мы не фиксируем временные индексы у давления и скорости, схема будет консервативна в любом случае.

В реальном счете нам нужно знать не полную энергию, а внутреннюю - она нужна для счета давления с помощью уравнения состояния. Для этого можно вычислить кинетическую энергию и вычесть ее из полной. Другой подход заключается в пребразовании уравнения энергии подобно тому, как мы в первой главе делали это для дифференциальных уравнений. Предположим, что разностное уравнение движения имеет вид

Массу ячеек m=Rh считаем постоянной, тогда массы узлов тоже равны m. Умножая левую часть уравнения на полусумму скоростей с нижнего и верхнего временного шага, получим уравнение для кинетической энергии узла:

Взяв полусумму таких выражений для двух соседних значений индекса можно получить уравнение для кинетической энергии ячейки. Вычитая его почленно из уравнения для полной энергии, получим уравнение для внутренней энергии:

Уравнение выглядит несколько громоздко, но оно позволяет решать газодинамическую задачу, не используя в явном виде полной энергии, но обеспечивая для нее закон сохранения. Уравнение может получиться еще более громоздким, если выразить, к примеру, кинетическую энергию ячейки через квадрат средней скорости узлов. Однако, оно всегда будет аппроксимировать уравнение для внутренней энергии.

Для исследования свойств полученного уравнения можно найти первое дифференциальное приближение и сравнить его с законом термодинамики. Если остаточные члены дифференциального приближения могут быть отрицательными, то это вызывает убывание энтропии, появление отрицательных температур и другие счетные феномены. Отметим случай, когда полученное уравнение существенно упрощается. Если в контурных членах скорость взять в виде полусуммы скоростей с нижнего и верхнего временного слоя, то уравнение приобретает вид:

В этом уравнении еще есть свобода в выборе временного индекса у давления. Если взять его с верхнего слоя, то аппроксимация будет первого порядка, причем главный член в дифференциальном приближении имеет вид (если его отнести к правой части)

Он всегда неотрицателен, так что энтропия не убывает (но может медленно расти). Такая схема консервативна по полной энергии и дает разумные, несколько завышенные, значения внутренней энергии. Избыточность энтропии можно регулировать за счет уменьшения шага по времени. Это лучше, чем занижение энтропии, такими схемами лучше не пользоваться.

На практике разностную схему чаще всего строят применительно к уравнению для внутренней энергии. После этого возникакет вопрос, сохраняет ли она полную энергию. Для ответа нужно проделать выкладки в обратном порядке и посмотреть, будет ли консервативным уравнение для полной энергии. Выкладки могут быть очень громоздкими, но делать их необходимо, так как при этом выясняется не только консервативность схемы, но и определяется форма разностной аппроксимации энергии. Для некоторых схем, например, выясняется, что кинетическую энергию нужно брать в виде unun+1/2. Она может быть при таком определении отрицательной, но попытка определить ее как нибудь иначе приводит к нарушению консервативности. Таким образом, знать, что схема консервативна, недостаточно, нужно еще знать соответствующую аппроксимацию.

Консервативность по энергии конкретных схем рассматривалась в частности в [[34]],[28],[[35]]. Глубокий анализ проблемы дан в работе [[36]].

2.3.2. Расщепление по физическим процессам.

Для расчета газодинамических задач удобно пользоваться явными схемами. Задачи типа рассмотренного выше взрыва в воздухе, для которых предпочтительнее неявные схемы, относительно редки. Для счета теплопроводности в ядерных задачах, напротив, применимы только неявные схемы. Что делать, если нужно считать газодинамику с теплопроводностью?

Как рассказывал мне , первая программа для расчета одномерных газодинамических задач с теплопроводностью была взята на объект из ИПМ, из отдела . В ней была использована неявная схема по всем переменным и, поскольку в каждой точке сетки нужно было определять вектор неизвестных величин (предположительно u, R, T), применялась векторная прогонка. Это требовало обращения и хранения в памяти матриц третьего порядка, что было затруднительно и неэкономично. "Свою" для института программу написал , который (по тем же воспоминаниям) работал в то время с лаборанткой , помощь которой он очень ценил. Для счета газодинамики им была разработана схема КРЕСТ, уравнение энергии решалось с помощью скалярной прогонки. Фактически счет шага распадался на два этапа. На первом этапе решались уравнения

На втором этапе находилась температура из уравнения энергии

и производился расчет уравнений состояния:

При этом, правда, использовался частный вид уравнений состояния, позволяющий в уравнении энергии выразить в явном виде энергию и давление через температуру. Программа обладала высокой точностью и экономичностью.

В 1962 году, работая над концепцией комплекса СИГМА, я предложил разбить эти этапы по другому. На первом этапе решать полную систему газодинамики без теплопроводности (для простоты я привожу ее для одномерного случая):

На втором этапе предполагалось рассчитывать теплопроводность в "неподвижном" веществе

и считать давление. Такой подход преследовал в первую очередь технологические цели. Предстояла большая работа, которую необходимо было выполнить в кратчайшие сроки. Методики счета были не вполне ясны, их предстояло уточнять в процессе работы. В этих условиях мне представлялось важным разбить программу на максимально независимые блоки и поручить их разработку и совершенствование отдельным группам разработчиков. Попутно ставилась цель ослабить зависимость методики от вида уравнения состояния.

Когда я рассказывал эту и другие основные концепции комплекса СИГМА на одном из совещаний (возможно, это была квартальная конференция), я неожиданно получил резкое возражение. предупредил, что такая схема разбиения приведет к тому, что газодинамические возмущения будут распространяться с адиабатической скоростью, что равносильно потере аппроксимации. Мне трудно было сразу возразить, так как я основывался тогда на физических соображениях. Но так как речь шла о финансировании проекта, выделении ставок, помещения, машинного времени, пришлось быстро написать методическую программу, которая продемонстрировала, что типичное возмущение (волна разрежения) движется в условиях высокой теплопроводности с изотермической, а не адиабатической скоростью. Проект удалось отстоять. Несколько позднее я понял, что эта концепция укладывается в методологию схем расщепления, разработанную . Эта методология является, на мой взгляд, одним из тех китов, на которые опирается современная вычислительная математика.

Идею расщепления можно понять на простом примере. Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y). Если на плоскости задана траектория x=x(t), y=y(t), то малое приращение функции вдоль траектории (дифференциал) можно выразить через приращения координат:

Разностное уравнение можно записать в виде

Счет можно разбить на два этапа, это и будет схема расщепления:

Здесь вводится промежуточное значение функции f n+1/2 (в терминологии - значение на дробном шаге). На первый взгляд схему расщепления можно трактовать как обычный программистский прием. На самом деле смысл ее значительно глубже. Даже в этом простейшем случае значение производной по y можно вычислять на дробном шаге (при x=xn+1). Это несколько меняет результат (не обязательно в лучшую сторону), но определенно изменяет сам алгоритм. Ниже мы рассмотрим пример, когда изменение алгоритма принципиально. Обоснование схемы расщепления в данном случае сводится к ссылке на свойства непрерывно дифференцируемых функций (от функции f это нужно потребовать). В случае уравнений, содержащих дифференциальные или интегральные операторы, нужно привлекать методы функционального анализа, об этом можно прочитать в книге , на которую мы уже ссылались [33].

2.3.3. Расщепление по направлениям.

Мне кажется, полезно вспомнить ту обстановку, в которой появилась идея расщепления. Первые ядерные изделия имели такие размеры, что по словам моего одноклассника конструктора Славы Дичина в корпус изделия можно было въехать на полуторке (была тогда такая грузовая машина). В конце 50-х годов появилась схема и , позволившая резко уменьшить габариты изделий. Отработка и оптимизация конструкций, основанных на этой схеме, требовала проведения двумерных расчетов газодинамики с теплопроводностью. Не случайно задача разработки такой методики была поставлена перед всеми ведущими коллективами математиков, связанных с ядерной проблемой. Сложность задачи была связана с малым размером памяти существовавших машин и, в некоторой степени, с их недостаточным быстродействием.

При счете двумерной газодинамики использовались явные схемы, что позволяло в оперативной памяти размещать несколько, обычно три, строки сетки со всеми сеточными функциями и проводить для средней строки все необходимые вычисления. Число обменов было умеренным - пропорциональным числу строк и расчеты, хотя и занимали несколько десятков часов машинного времени, были доступны. Принципиально сложнее обстояло дело с теплопроводностью, которая требовала применения неявных схем. Идея расщепления позволяла (в схематическом изложении) двумерное уравнение

свести к двум одномерным (в разностном виде):

Все необходимые переменные для соответствующей строчки или столбца можно разместить в оперативной памяти и решить полученную систему прогонкой. С точки зрения организации программы удобнее выполнить сначала все прогонки для строк (выйти на дробный шаг), затем выполнить все прогонки для столбцов (закончить счет целого шага).

Схема расщепления по направлениям была реализована в программе ТИГР [[37]]. Впервые в начале 60-х годов была продемонстрирована принципиальная возможность решать задачи такого рода. К сожалению, до реальных производственных расчетов дело в то время, по-видимому, не дошло. В оперативной памяти данные размещались, но из внешней памяти их нужно было считывать попеременно либо строками, либо столбцами. Для этого была разработана программа транспонирования матриц во внешней памяти. Это требовало большого числа обменов, что при недостаточной надежности машин того времени (М-20) делало расчеты затруднительными. Реально методика ТИГР начала применяться на машинах БЭСМ-6, у которых оперативная память была уже значительно больше, что позволило укрупнить блоки транспонируемых матриц и уменьшило число обменов.

Мне хочется вспомнить слова моих учителей о том, что истинно крупного математика отличает способность обобщить результат, исследовать его в наиболее абстрактной форме. Данный пример, когда у из конкретной задачи родилось расщепление по направлениям, а затем возникла общая теория расщепления и слабой аппроксимации, является наглядной иллюстрацией такого подхода.

2.3.4. Расщепление по областям.

Я уже говорил о той обстановке, которая сложилась в начале 60-х годов со счетом двумерной газодинамики с теплопроводностью. Я в то время работал в отделе и занимался в основном задачами решения систем линейных и нелинейных уравнений, задачами аппроксимации (применительно к экспериментам и его сотрудников). В какой-то момент уговорил меня заняться двумерной программой и организовал для этой цели отдел. Было оговорено время (порядка года), когда мы могли думать и не выдавать результатов. Ключевая проблема, как я говорил, заключалась в необходимости разместить данные в ограниченной оперативной памяти. В одну из ночей мне пришла идея сыграть на разнородности используемых материалов. В физике часто исследование упрощается при замене больших величин бесконечными. Так, ударную волну легче исследовать, если считать крутизну фронта бесконечной. В книге "Физики шутят" по этому поводу даже приводится задача: рассмотреть поведение величины p12 при 12→∞.

В реальных задачах легкие материалы обычно чередуются с тяжелыми. При этом в легких областях теплопроводность намного выше, чем в тяжелых. Я рассмотрел случай, когда легкую область можно рассматривать как изотермическую (то есть с бесконечным коэффициентом теплопроводности). Как в этом случае можно считать задачу, состоящую из двух областей - легкой и тяжелой? Очевидно, что в качестве граничного условия для легкой области нужно задать поток тепла. Результатом расчета должна стать новая температура (определяемая из закона сохранения: нужно посчитать количество тепла, поступившего в область за время шага и разделив на теплоемкость области, получить приращение температуры). Ясно, что результат мало изменится, если теплопроводность в реальной задаче будет большой, но не бесконечной. Важно, что градиент температуры должен быть малым и температура около границы будет близка к средней по области. Как считать тяжелую область? Ясно, что из изотермической области в качестве ее характеристики можно взять только температуру, ничего другого просто нет. Эту температуру следует задать в качестве граничного условия для тяжелой области. В реальной задаче можно взять близкую к ней температуру рядом с границей. Так возникла идея несимметричных граничных условий на внутренних границах - в одну сторону поток, в другую - температура. Исследование [24] показало, что схема должна быть устойчивой. Это открыло путь к программированию. Основное ограничение заключалось в том, что область должна была целиком размещаться в оперативной памяти. Для не слишком подробных сеток это оказалось приемлемым. Расщепление по областям оказалось необременительным и в части обменов, что позволило рассчитать ряд важных задач уже на М-20, а на БЭСМ-6 наладить серийный счет. В последующем разработал технику спектрального анализа для исследования внутренних граничных условий, что позволило, в частности, рассмотреть условия смешанного типа.

Заключение.

В этой книге мы рассмотрели основные понятия вычислительных методов применительно к задачам механики сплошной среды. В основном мы ограничивались одномерными задачами.

Двумерные задачи, в частности, комплексы СИГМА, ЧАС, ТЕМП предполагается рассмотреть во второй книге. В какой-то мере я старался осветить историю появления и развития основных идей и методов. Многие подходы сейчас устарели. Стремительный рост производительности и, особенно, памяти вычислительных машин требует применения новых методов, дает возможность уточнения моделей. Такие решения, как разбиение на области с целью экономии памяти, сейчас неинтересны. Однако идеи живут, такое разбиение может оказаться полезным в алгоритме для многопроцессорной машины, у которой каждый процессор имеет свою быструю память, а доступ к общей памяти затруднен. Кроме того, на чем-то надо учиться, я приводил те примеры, которые мне ближе. Сейчас на мой взгляд на первый план должны выходить эйлеровы методики, они проще, технологичней, а точности на современных машинах им должно хватать. Особенно перспективно сочетание сеточных методов, например, для описания течения газа, с методом частиц - для фотонов, нейтронов и т. п. В этом смысле наработки, сделанные в комплексе ТЕМП, могут быть интересны, хотя это только малый шаг в этом направлении. Но об этом в следующей книге.

В. Загускин. 27.09.02

[1] , Райзер ударных волн и высокотемпературных явлений. Физматгиз, М., 1963, 632 с.

[2] , Яненко квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Наука, М., 1968, 592 с.

[3] Шилов и тензорный анализ. М., 1950, 264 с.

[4] , Яненко квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., Наука, 1968, 592 с.

[5] , Яглом гидромеханика. М., Физматгиз, 1965 ч.1, 640 с., 1967 ч.2, 720 с.

[6] Принципы современной математической физики. М., Мир, 1984, 381 с., пер с англ.

[7] и др. Расчет структуры детонационных волн. ПМТФ, 1971, № 3, с. 73-80.

[8] , Григорьев моделирование течения за фронтом при двухстадийной реакции. ФГВ, 1984, № 1, с. 48-51.

[9] Зельдович труды. Химическая физика и гидродинамика. М., Наука, 1984, 374 с.

[10] И др. Физика взрыва. Под ред. . М., Физматгиз, 1975, с. 704.

[11] Уилкинс упруго-пластических течений. В сб. Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, с. 212-263.

[12] и др. Программа ЧАС. Вычислительные технологии, т. 4, № 10, Новосибирск, 1995, с. 186-192.

[13] , Райзер ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Физматгиз, 1963, 632 с.

[14] Загускин методы решения плохо обусловленных задач. Ростов, изд. РГУ, 1976, 192 с.

[15] Загускин расчета задач механики сплошной среды. Ростов, изд. РГУ, 1979, 88 с.

[16] , Рябенький в теорию разностных схем. М., Физмагиз, 1962.

[17] Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972.

[18] Дьяконов методы решения краевых задач (тексты лекций) М., МГУ, вып. 1, 1971, вып. 2, 1972.

[19] Яненко в разностные методы математической физики (лекции для студентов НГУ), Новосибирск, НГУ, ч. 1,2, 1968.

[20] , Рябенький схемы. М., Наука, 1973.

[21] Дьяченко понятия вычислительной математики. М., Наука, 1972.

[22] Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М., Физматгиз, 1970, 564 с.

[23] , , Черноруцкий методы решения жестких систем. М., Физматгиз, 1979.

[24] , О счете уравнений теплопроводности и газовой динамики прогонкой по отдельным областям. ДАН, 163, N5, 1965, с. .

[25] , Локуциевский к книге и , Введение в теорию разностных схем. М., 1962.

[26] , , Халатников методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток. Тр. III Вс. матем. съезда, 2, 1956, с. 16.

[27] Харлоу метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В сб. Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, 384 с.

[28] Загускин расчета задач механики сплошной среды. Ростов, РГУ,1979.

[29] Шокин дифференциального приближения. Новосибирск, Наука, 1979, 222 с.

[30] Годунов метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Матем. сб., 19

[31] Von Neumann J., Ricthmyer R. D. A method for numerical calculation of hydrodinamic shocks. J. Appl. Phys. 21, 1949, 232-237.

[32] Загускин методы решения плохо обусловленных задач. Ростов, РГУ, 1976.

[33] Яненко дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1967, 196 с.

[34] О дивергентности схемы "крест" численного решения задач газодинамики. ЧММСС, т. 1,№5, Новосибирск, 1970.

[35] Попов консервативные разностные схемы. ЖВМиМФ,9,№4,1969,953-958.

[36] Куропатенко дивергентности с консервативностью разностных схем для уравнений газовой динамики. ВАНТ, вып. 2, 1990, 63-70.

[37] , , О применении метода расщепления для численного расчета движения теплопроводного газа в криволинейных координатах. Известия СО АН СССР, 1967, №8, вып.2, 74-82.