Основы численных методов для газодинамики с теплопроводностью (стр. 4 )

Для многих ВВ, таких как тротил, гексоген, давление имеет четко выраженный максимум в зоне фронта, так называемый химпик. Наличие химпика объясняют тем, что ВВ сжимается в ударной волне до определенной плотности, а затем при быстром энерговыделении плотность не успевает измениться и в результате растет давление. В этом объяснении не учитывается тот факт, что одновременно с энерговыделением изменяется само вещество: ВВ переходит в ПД. Будут ли ПД при одинаковой с ВВ плотности и большей энергии иметь большее давление, зависит от их уравнений состояния. У многих ВВ химпик, тем не менее, наблюдается и давление в нем превышает давление в точке Жуге на%.

Параметры детонационной волны можно определить из системы уравнений, подобных уравнениям Гюгонио. Поскольку сами параметры внутри фронта и за фронтом меняются, то в отличие от случая ударной волны необходимо решить, что такое значение параметра за фронтом. Однозначного решения можно добиться, взяв за основу значения в точке Жуге. К законам сохранения нужно добавить уравнения состояния, включая выражение для скорости звука и соотношение, определяющее точку Жуге. Это соотношение отражает стационарность волны. Если ширина фронта не изменяется, то точка Жуге движется со скоростью фронта D. Точки, находящиеся левее точки Жуге по определению не влияют на зону фронта. Это означает, что наклон характеристик, определяемый суммой скорости вещества и скорости звука, меньше наклона траектории фронта, определяемого скоростью фронта. В точке Жуге это неравенство обращается в равенство, что и определяет эту точку.

В законе сохранения энергии нужно учесть выделившуюся энергию, которую мы обозначим через Q. В результате получается замкнутая система, не требующая, в отличие от случая ударной волны, дополнительного параметра.

Система содержит 6 уравнений и 6 неизвестных, что лишний раз подтверждает, что стационарная детонационная волна является самоподдерживающимся образованием и не зависит от граничных условий.

Мы рассмотрели стационарную волну. В реальных задачах детонация не сразу выходит на установившийся режим. Если инициирование производится очень сильным импульсом, например, подрывом более мощного ВВ, то детонационная волна получает подпитку энергии и ее параметры, в том числе и скорость, будут завышенными. Если размер инициирующего заряда невелик, то он вскоре расширится, подпитка основного заряда прекратится и, как только соответствующая характеристика догонит фронт детонации, параметры в нем начнут падать и постепенно выйдут на стационар. Еще разнообразнее режимы инициирования слабым импульсом. При очень слабом воздействии по ВВ идет ударная волна, не вызывающая химических реакций и детонация не наступает. При несколько более сильном инициирующем импульсе детонация возникает сразу, но ее параметры могут быть ниже стандартных, однако постепенно также выходят на нормальный уровень. При промежуточных значениях импульса иногда наблюдается режим, так называемой вторичной детонации. Вначале детонация является достаточно слабой и в зоне фронта ВВ выгорает не полностью. В ряде случаев такая детонация со временем затухает. Но если разгрузка вещества за фронтом идет достаточно медленно, то догорание ВВ за фронтом может привести к тепловому взрыву, образовавшаяся при этом ударная волна догоняет фронт детонации и усиливает его. Далее детонационная волна распространяется уже в обычном виде. Еще один режим наблюдается, когда сгорание ВВ в зоне фронта происходит не полностью, но параметры волны быстро растут со временем. В этом случае резкий рост давления может вызвать образование ударной волны, идущей назад. Эта волна, она называется ретонационной, дожигает несгоревшее ВВ за фронтом первоначальной детонации.

Параметры детонации зависят также от кривизны фронта, расходящиеся волны являются более слабыми, сходящиеся - более сильными. Поскольку кривизна фронта со временем может меняться, то параметры являются также непостоянными. Так в расходящейся сферической волне (типичный случай при точечном инициировании) параметры волны, вначале заметно заниженные, постепенно растут и приближаются к параметрам плоской волны. В сходящейся детонационной волне параметры изначально завышены и растут со временем, теоретически стремясь к бесконечности в точке фокусировки волны (реально бесконечному росту препятствует вязкость).

При взаимодействии детонационной волны с преградой из более жесткого материала, например, металлической давление возрастает. Это обусловлено тем, что вещество за фронтом детонационной волны (также, как в ударной волне) движется вслед за фронтом, при взаимодействии с жесткой преградой оно тормозится, сжимается и давление возрастает.

В двумерных и трехмерных расчетах на детонацию оказывают влияние также боковые поверхности. Типичной является задача распространения детонации по цилиндрическому заряду в направлении оси цилиндра. Боковая разгрузка в таком заряде начинается сразу за фронтом ударной волны, то есть внутри зоны химической реакции. Это приводит к уменьшению детонационных параметров вблизи боковой поверхности цилиндра. В частности, уменьшается скорость фронта вблизи поверхности по сравнению со скоростью на оси цилиндра. В результате возникает кривизна фронта. На рисунке приведена типичная картина распространения детонации в цилиндре.

Рис. Давление детонации в цилиндре.

Видно, что фронт имеет определенную кривизну и параметры в нем неоднородны. Кривизна фронта приводит к дополнительному уменьшению параметров. В результате при определенных условиях детонация может прекратиться. Срыв детонации, очевидно, зависит от того, что уменьшение ее параметров до некоторого уровня, недостаточного для самоподдержания процесса, происходит во всем сечении цилиндра, включая ось, таким образом, срыв зависит от диаметра цилиндра. Соответствующий диаметр, ниже которого детонационная волна затухает, называется критическим. Для тротила он примерно (в зависимости от технологии изготовления ВВ) равен 8 мм, для гексогена - 3 мм. На рисунке диаметр тротилового цилиндра составляет 10 мм, срыв детонации не происходит, но давление на оси цилиндра ниже, чем в химпике для цилиндра большого диаметра (порядка 28 ГПа). Еще ниже давление вблизи поверхности цилиндра, где сказывается боковая разгрузка.

указывал, что порядок величины критического диаметра можно получить, сопоставляя время прихода влияния от границы на ось (радиус, деленный на скорость звука) с временем детонации (ширина детонационного фронта, деленная на его скорость). Отсюда следует, что критический радиус по порядку величины должен быть равен ширине фронта. Более точная оценка требует учета кривизны фронта и, возможно, других менее очевидных факторов. Казалось бы, что критический диаметр можно получить из численных расчетов, однако, дело обстоит в точности наоборот. Значение критического диаметра легко измеряется в эксперименте и используется затем для подгонки эмпирических параметров макрокинетики.

Вернемся теперь к кинетике. Для счета газодинамики совместно с детонацией в систему уравнений газодинамики нужно добавить уравнение макрокинетики и в уравнении энергии учесть соответствующую добавку:

Кроме того, в уравнении состояния необходимо учесть зависимость от F, либо задать два уравнения состояния - для ВВ и ПД и определить способ счета их смеси с массовыми концентрациями F и 1-F. Эти детали мы рассмотрим в следующей книге (если она будет) в связи с конкретными комплексами. Если в задаче кроме ВВ присутствуют инертные материалы, то для них можно задать j = 0 и считать всю задачу в единой методике.

Рассмотрим способы задания скорости реакции. Как мы отмечали раньше, для возбуждения реакции ВВ необходимо сообщить ему дополнительную энергию, чтобы превысить потенциальный барьер реакции. Тем самым функция j должна быть равна нулю, если энергия ВВ ниже некоторого критического значения Ek и положительна при E > Ek. Если речь идет о детонации, то-есть возбуждении реакции с помощью ударной волны, то вместо критической энергии можно использовать критическую плотность или критическое давление, так как все термодинамические величины связаны между собой адиабатой Гюгонио и уравнением состояния. На практике чаще используют критическое давление, так как оно легче определяется в эксперименте. Заметим, что при создании единообразной методики расчета возбуждения реакции при ударном и адиабатическом сжатии выбор контрольной величины и ее критического значения может оказаться достаточно трудным. К примеру, задача перехода горения в детонацию является очень сложной, правда, не только по этой причине.

Простой способ определения скорости реакции выражается следующим образом:

При счетной реализации это означает, что частица на одном временном шаге превращается в ПД, если давление в ней превысило критическое. Простота модели выражается, в частности, в том, что не нужно считать уравнение состояния смеси. В этой модели ширина детонационного фронта равна нулю, поэтому нельзя рассчитать критический диаметр и учесть другие приграничные эффекты. Тем не менее, правильно считается штатная детонация, огибание преград, учитывается влияние кривизны фронта.

Более полные модели учитывают ширину фронта. Как всегда, при создании модели встает вопрос о выборе аппроксимационной функции для описания некоторой, чаще всего неизвестной, физической зависимости. Для этого необходимо выбрать форму аппроксимационной функции и ввести в эту форму несколько параметров. Варьируя параметры затем добиваются близости аппроксимационной функции к исходной. Если исходная функция неизвестна, близость, естественно, оценивается по некоторым наблюдаемым характеристикам. Выбор формы аппросимации и числа параметров связаны между собой: если форма отражает характер поведения исследуемой зависимости, то параметров требуется немного и их подбор упрощается. При формальном подходе, например, часто используемой полиномиальной аппроксимации, число параметров возрастает, а сами параметры (коэффициенты полинома) зачастую не имеют определенного физического смысла.

Достаточно общей формой описания скорости химических реакции является модель Аррениуса. Ее можно использовать и для расчета детонации. Уравнения в этом случае имеют вид:

Модель, помимо критического давления, содержит два новых параметра: коэффициент a и энергию активации Ea. С помощью первого параметра легко добиться нужной ширины фронта в стационарной волне, а вторым можно регулировать ослабление или усиление волны в зависимости от кривизны фронта. Разумеется, поскольку параметры влияют друг на друга, подгонка требует нескольких итераций. В целом модель позволяет описать большинство типичных случаев распространения детонационных волн. В частности, она дает возможность моделировать критический диаметр [[7]].

Следующий уровень сложности модели учитывает неоднородность ВВ. Критический уровень давления на самом деле намного ниже того барьера, за которым должна начинаться реакция разложения. Объясняется это тем, что в реальном ВВ всегда присутствуют поры, границы зерен и другие неоднородности, которые вызывают концентрацию энергии при сжатии ВВ ударной волной. Именно в этих, так называемых, горячих точках возникают первые очаги реакции. Далее реакция рапространяется на весь объем между горячими точками. Механизм распространения не вполне ясен, некоторые объясняют его распространением фронтов горения, другие - повышением давления в горячих точках и образованием вторичных ударных волн, возможен также механизм теплового взрыва. Соответственно этому существуют различные детализации модели детонации, все они, на мой взгляд, при удачном подборе параметров обеспечивают примерно одинаковую точность. Я остановлюсь на так называемой двухстадийной модели, сформулированной (НИИМаш) в начале 80-х годов. Модель возникла в результате обсуждений, организованных в нашем отделе . Существенно, что Григорьевым была предложена также методика эксперимента и способ его обработки, дающий значения параметров модели. Модель была также использована для анализа реакций, у которых вторая стадия идет с поглощением тепла [[8]].

Двухстадийная модель в общем виде может быть представлена в виде:

Здесь функция a моделирует мгновенное раложение части ВВ за фронтом ударной волны. Процент разложившегося ВВ зависит от интенсивности волны. По смыслу это слагаемое должно представлять собой d - функцию, но в численной реализации оказалось удобным размазать ее на часть фронта детонации. Второе слагаемое моделирует разложение ВВ в пространстве между горячими точками, разложение продолжается и при падении давления ниже критического. В качестве аргумента здесь указана энергия частично разложившегося ВВ, но можно брать и степень разложения 1-F. Двухстадийная модель удовлетворительно описывает различные детонационные процессы, в том числе указанные выше возможные режимы возбуждения детонации.

Однако … и у нее есть недостаток. Она не отражает уменьшение чувствительности ВВ, если его подвергнуть предварительному сжатию до давления, ниже критического. При этом происходит сокращение числа пор, уменьшение их размеров, возможно, выгорание части пор. В результате возбуждение детонации требует более сильного вторичного воздействия. Усложнение модели, очевидно, требует учета числа пор, их размера, динамики. Все это возможно, но после добавления недостающих деталей, вероятно, найдется задача, которую снова не удасться решить. В результате мы в какой-то момент придем к тому, с чего начали - к микрокинетике.

Я хочу подчеркнуть, что огрубив по необходимости с самого начала описание процесса, мы не можем от конкретной модели требовать чрезмерной детализации, каждая модель может соответствовать определенному кругу задач. Это замечание относится не только к детонации. Более подробно о детонации (и не только о ней) стоит прочитать в книге [[9]], а также монографии с соавторами [[10]].

1.5.3.Упругопластичность.

Теория упругости широко используется для описания напряжений в деталях машин, строительных конструкциях и т. п. Характерной чертой большинства технических приложений теории упругости является малость деформаций, что определяет использование соответствующего математического аппарата. Изменение состояния тела под действием нагрузки характеризуется векторами смещений. В каждой точке вектор смещения соединяет начальное и конечное (в динамических задачах - текущее) положение точки. Если все векторы смещения одинаковы, то тело просто сместилось, поэтому деформация определяется различиями векторов. Так удлинение стержня определяется разностью векторов смещения его концов. Локальная деформация в данной точке определяется пространственными производными вектора смещений. Совокупность пространственных производных вектора образует, как известно, тензор второго порядка, который называется тензором деформаций. Соответствующие напряжения также описываются тензором второго порядка - тензором напряжений. Связь между тензором напряжений и тензором деформаций определяется законом Гука.

Нам важно в этой методологии отметить следующее. Использование тензорного аппарата предполагает малость как деформаций, так и напряжений, и возможность ограничиться первыми производными, то-есть линейными функциями. В динамических задачах с интенсивными нагрузками это не так. Более того, как свидетельствуют полосы скольжения на шлифах деформированного материала, поле вектора смещений разрывно, то-есть не дифференцируемо. Казалось бы, что использование в этих условиях тензорного аппарата напоминает поведение пьяного матроса, который потерял бумажник в переулке, а ищет его на площади: "здесь светлее". Нужно, однако, к этому относиться философски. Мы уже видели, что в турбулентном течении мы не можем аккуратно рассчитать мелкие вихри, но их влияние можно приближенно учесть через увеличение эффективной диффузии. Модель макрокинетики не описывает многих особенностей детонации, но вводя в нее некоторые детали можно добиться удовлетворительного совпадения для какого-то класса задач. Так и тензорный аппарат не может претендовать на адекватность в задачах с большими деформациями, но при добавлении некоторых деталей для каждого класса задач можно добиваться какого-то подобия эксперименту. Нужно только не относиться слишком серьезно к различным выкладкам и обоснованиям, понимая, что в основе уже лежат неправомочные допущения. Конечным критерием применимости той или иной модели должно служить не ее обоснование, а сравнение с практикой (материализм!).

Остановимся на некоторых деталях, которые позволяют сделать теорию упругости более приспособленной к задачам с интенсивными нагрузками. Прежде всего, в динамических задачах, когда счет идет шагами по времени, можно считать не полную деформацию, а ее изменение на шаге. Это изменение можно считать малым и тогда применение закона Гука (он тоже выражает линейную зависимость) для определения приращений напряжений является оправданным. В математической форме это сводится к тому, что уравнения записываются не для напряжений, а для их производных по времени и последние выражаются не через деформации, а через скорости деформации, то есть в конечном счете пространственные производные скорости вещества. Таким образом, снимается проблема нелинейности относительно времени. Нелинейность по пространственным переменным в значительной мере может быть учтена с помощью разделения тензора напряжений на шаровую и девиаторную часть:

Здесь d - символ Кронекера, равный единице для совпадающих индексов и нулю для разных. Напряжение s представляется в виде давления p, не зависящего от направления, и девиатора S, характеризующего сдвиговую часть напряжений. Знак минус учитывает принятые представления считать напряжения положительными при растяжении, а давление - при сжатии. Поскольку давление является скалярной функцией, то для него могут быть использованы сложные нелинейные зависимости. Девиатор остается линейной функцией, но в задачах физики взрыва он представляет обычно малую добавку к давлению. Действительно, величина девиатора в статических задачах имеет порядок ГПа, в динамике она может кратковременно возрастать на порядок, тогда как давление взрыва обычных ВВ составляет десятки ГПа, при ядерном взрыве оно больше еще на несколько порядков. Это в какой-то мере оправдывает применение тензорного аппарата в динамических задачах. Впервые, по-видимому, роль такого разделения отметил и использовал М. Уилкинс [[11]].

Казалось бы, что при указанном соотношении шаровой и девиаторной части напряжений последней можно вообще пренебречь. Однако, девиаторная часть даже в этих условиях в некоторых задачах играет существенную роль. Рассмотрим, например, удар компактного цилиндрического ударника из ВНЖ по стальной преграде. Скорость ударника 800 м/сек. На следующих рисунках приведены картины давления на момент 1 мкс при счете в упругопластической и газодинамической постановках.

Рис. Картина давления в упругопластическом расчете.

Рис. Картина давления в газодинамическом расчете.

Видно, что давления сравнимы, но уже в этот момент картина начинает различаться. На более поздней стадии роль сдвиговых напряжений становится определяющей. Приведем распределение скоростей на момент 20 мкс, когда пробитие можно считать завершенным.

Рис. Скорость в упругопластическом расчете.

Рис. Скорость в газодинамическом расчете.

Видно, что отличаются как скорости, так и форма ударника и преграды. В заключение приведем еще фракцию разрушения, характеризующую сохранившиеся части преграды и ударника в упругопластическом расчете (в газодинамике она не считается).

Рис. Разрушение в упругопластическом расчете.

Напомним некоторые понятия тензорного исчисления. Компоненты напряжения зависят от системы координат и изменяются при повороте осей. Однако, давление, определяемое средним значением диагональных элементов:

p = - (s11 + s22+ s33)/3,

как доказывается, не зависит от системы координат. Такие величины называются инвариантами. В модели упругопластичности нам понадобится еще один инвариант девиатора тензора напряжений, который называется интенсивностью напряжений:

По совпадающим индексам здесь, как обычно, подразумевается суммирование. Интенсивность напряжений по величине близка к максимальному сдвиговому напряжению.

Система уравнений, определяющая движение вещества с учетом упругопластичности близка при такой постановке к системе газодинамики, но содержит некоторые добавочные члены и уравнения. Мы приведем ее для двумерного случая, плоского (n=0) или осесимметричного (n=1):

Уравнение неразрывности не изменилось. В уравнениях движения добавились члены, учитывающие сдвиговые напряжения. Добавились уравнения, определяющие изменение девиатора напряжений под влиянием поля скоростей, коэффициент m обозначает модуль сдвига и является параметром материала. В выражении для интенсивности напряжений учтен тот факт, что Szz=-Sxx-Syy. В уравнениях присутствует также скорость релаксации напряжений h, об этом мы поговорим позже. В уравнении энергии учитывается переход части упругой энергии сдвига в тепловую энергию при релаксации напряжений. Сама энергия сдвига мала и ей можно пренебрегать, однако, ее длительная генерация с последующим переходом в тепловую энергию в некоторых задачах может оказаться заметной.

В уравнениях для напряжений, вообще говоря, должны присутствовать поправки Яумана. Они отражают изменение компонент тензора при вращательном движении. Однако, в интересующих нас задачах, особенно осесимметричных, вращение фрагментов материала как твердого целого не наблюдается. Если же вращение является проявлением пластической деформации, то оно сопровождается очень быстрой релаксацией напряжений, в результате чего старые напряжения забываются и слабо влияют на текущие значения напряжений. Вообще, тензорная модель настолько груба, что учет мелких поправок представляется излишним.

На рисунках ниже приводится расчет формирования ударного ядра из метаемой ВВ стальной сферической оболочки (слева). В центре - форма и (цветовой палитрой) распределение скорости ядра при счете с поправками Яумана, справа - то же без учета этих поправок. Результат во втором случае даже несколько ближе к эксперименту, хотя отличия укладываются в пределы, наблюдаемые при вариации счетной вязкости и других счетных параметров. Видно, что роль поправок мало существенна, хотя поворот оболочки в процессе формирования составил порядка 90 градусов.

Рассмотрим теперь релаксацию напряжений. Пока напряжения малы, они при отсутствии роста деформаций могут сохранять свои значения неограниченно долго. Такие деформации принято называть упругими. По мере роста напряжений достигается предел, за которым начинается пластическое течение. Этот предел не должен зависить от системы координат, поэтому его не следует связывать с отдельными компонентами тензора напряжений или его девиатора. Естественно его связать с инвариантами этих тензоров. Один из простых и достаточно хорошо подтверждающийся в эксперименте критерий Мизеса связывает начало пластической деформации с интенсивностью напряжений:

Пороговое значение называется пределом текучести и является параметром материала. Другой, физически более понятный, критерий Треска связывает предел текучести с максимальным сдвиговым напряжением. В динамических задачах критерий Треска не дает ощутимого преимущества в точности, но несколько сложнее в численной реализации, так как требует вычисления максимального собственного числа матрицы.

Пластическая деформация материала связана с проскальзыванием его слоев, что приводит к уменьшению напряжений. Проскальзывание чаще происходит на микроуровне: внутри кристаллов или на границах зерен, но иногда наблюдаются макроскопические линии сдвига. Сдвиг кристаллической плоскости как единого целого требует очень высокого напряжения, поэтому он реально осуществляется за счет дефектов структуры, так называемых дислокаций и других. Атом, находящийся рядом с дислокацией достаточно легко может поменять свое положение, при этом дислокация также сдвигается на одно межатомное расстояние. После этого перемещается второй атом и так далее. В итоге проскальзывает целый ряд атомов, что и приводит к релаксации напряжений. Следует отметить два обстоятельства, связанных с этим механизмом. Во-первых, в поликристалическом материале релаксация напряжений происходит в разных кристаллах в разных направлениях, что позволяет, усредняя ее по большому числу кристаллов, считать напряжение гладкой функцией и использовать тензорный аппарат. Во-вторых, движение дислокаций происходит с конечной скоростью, порядка скорости звука, что ограничивает и скорость релаксации напряжений. В результате в динамических задачах, где напряжения растут за счет деформаций и уменьшаются за счет релаксации, образуется неравновесное состояние, при котором напряжения могут заметно превышать предел текучести.

Изменение девиатора напряжений в результате релаксации в приведенной системе уравнений предполагается пропорциональным для всех его компонент. Это соответствует модели Максвелла и, конечно, не бесспорно. Заметим, что Френкель, рассматривая кинетическую теорию жидкости, отмечает, что нет принципиального различия между жидким и твердым состоянием. Рассмотрим для простоты выкладок чисто сдвиговое стационарное течение, в котором отлична от нуля только компонента скорости Vx. Выражая Sxy из предпоследнего уравнения и подставляя в уравнение для Vx, получим

Если считать здесь h и m константами, то уравнение совпадает с уравнением движения вязкой жидкости. В задачах с интенсивными нагрузками, где упругопластичность является небольшой добавкой к гидродинамике, ее вклад таким образом уподобляется роли вязкости. Это является дополнительным аргументом в пользу применения модели Максвелла, которая для жидкости имеет прочные обоснования.

Параметры релаксации зависят от текущего состояния вещества. Прежде всего, учитывается зависимость предела текучести от температуры. В квазистатических задачах зависимость задают в виде функции, обращающейся в ноль в точке плавления. В динамических задачах, как мы отмечали, резкого различия между твердым и жидким состоянием не должно быть, поэтому более подходящим является плавный переход аррениусовского типа:

Кроме того, в квазистатике учитывают зависимость предела текучести от деформации. Объясняется эта зависимость тем, что в процессе деформации растет число дислокаций, в результате они начинают мешать друг другу в своем движении, что и приводит к росту предела текучести. В задачах с интенсивными нагрузками обычно деформация частицы начинается с воздействия на нее ударной волны. При этом число дислокаций возрастает на несколько порядков и, тем самым, мгновенно меняется предел текучести. Дальнейшая деформация его уже мало меняет, поэтому предел текучести можно с хорошей точностью описывать константой. Эта константа, естественно, должна отличаться от статического предела текучести.

Скорость релаксации h зависит от величины напряжений. Опыт счета с комплексом ЧАС показывает, что ее можно аппроксимировать квадратичной функцией от интенсивности напряжений Y. Коэффициенты аппроксимации, естественно, являются параметрами материала.

Пластическая деформация при определенных условиях приводит к разрушению материала. Несмотря на чрезвычайную важность проблемы разрушения и многочисленные работы в этой области, всеобъемлющей и надежной модели в настоящее время нет. Существующие модели от глобальных, использующих энергетические критерии, до частных, типа модели Гриффитса роста трещины, применимы только для описания отдельных специфических задач. Понятно, что решение проблемы можно было бы искать на уровне межатомных взаимодействий, однако этот масштаб несовместим с масштабом разрешения механики сплошной среды. Математический аппарат, который перекидывал бы мостик между этими масштабами, подобно тому, как это делается в моделях турбулентности, вероятно, должен быть достаточно сложным и нелинейным по угловым переменным, что предполагает отказ от тензоров и других традиционных понятий классической механики.

В комплексах ЧАС и ТЕМП (которые предполагается описать в следующей книге) мы используем простейшую модель[[12]], которая требует подгонки параметров для каждого нового класса задач. В этой модели рассчитывается рост пор при растяжении и сдвиге, а также задается критическая пористость материала, при достижении которой материал разрушается. Это позволят считать откольные разрушения и задачи типа выбивания пробки при соударении или взрыве компактного заряда на поверхности преграды.

1.5.4.Теплопроводность.

Под теплопроводностью понимают процесс передачи тепла от одних частиц газа к другим. Тем самымым мы не вкладываем в этот термин эффект переноса тепла из одной области в другую в результате движения самого газа, что наблюдается, например, в задачах конвекции. Этот эффект описывается уравнениями газодинамики.

Теплопроводность в газах обусловлена несколькими механизмами. При относительно низких температурах обмен энергией между горячим и холодным слоями происходит за счет диффузии молекул, переносящих соответственно большую или меньшую энергию флуктуаций скорости в соседний слой. Скорость такого процесса очень мала, подобную теплопроводность учитывают в квазистатических задачах. При высоких температурах, характерных для ядерного взрыва, определяющую роль играет лучистый перенос тепла.

Нагретое вещество излучает фотоны. Формально частота излучения может быть любой, но бо'льшая часть энергии приходится на интервал частот вблизи некоторого максимума. Максимум зависит от температуры. При комнатной температуре испускаются инфракрасные лучи, при температуре порядка 6000 C появлется красное свечение, при 20000 C - желтое (цвет лампочки накаливания), при 60000 C - спектр солнечного излучения. Далее спектр смещается в область рентгеновских лучей и затем g-лучей. По мере роста частоты растет энергия фотонов и их проникающая способность. Известно, что рентгеновские лучи лучше просвечивают материал, чем обычный свет, еще большим пробегом обладают g-лучи. В результате это приводит к тому, что при высоких температурах перенос энергии излучением становится интенсивным и начинает играть существенную роль в расчетах газодинамических задач.

Перенос энергии излучением определяется интенсивностью излучения I(r, W,n). Функция, помимо времени, в общем случае зависит от 6 переменных: трех пространственных координат, соответствующих вектору r - положению фотона, двух угловых переменных, определяющих единичный вектор W - направление движения фотона, и частоты света n. В двумерных динамических задачах число переменных сокращается до 5, в плоском одномерном случае - до 3. Интенсивность излучения имеет следующий физический смысл: величина I(r, W,n)dW dn представляет собой количество лучистой энергии, протекающей в единицу времени через единичную площадку, находящуюся в точке r и перпендикулярную к вектору W. При этом учитываются фотоны, находящиеся в угле dW и принадлежащие спектральному интервалу dn. Перенос излучения и его взаимодействие с веществом определяется следующей системой уравнений:

Первое уравнение определяет изменение интенсивности излучения, буквой c обозначена скорость света и первые два члена уравнения описывают изменение интенсивности вдоль траектории фотона. Третий член описывает поглощение излучения веществом, ct -коэффициент поглощения, зависящий от плотности и температуры вещества, а также частоты излучения. Первый член в правой части описывает новые фотоны, излучаемые нагретым веществом, Ip - интенсивность равновесного излучения, известная функция температуры и частоты. Интегралы в правой части описывают рассеяние излучения, первый определяет приход фотонов из других частот и других углов, второй - убыль фотонов. Коэффициент cc(n, l) называется коэффициентом рассеяния, он определяет скорость перехода фотонов частоты n в фотоны частоты l при взаимодействии с веществом, рассеяние мы считаем изотропным.

Второе уравнение определяет изменение энергии вещества за счет поглощения и испускания света. В правой части присутствует источник f, который при совместном счете переноса излучения с газодинамикой учитывает работу сжатия или расширения, а также, возможно, химические или ядерные реакции.

Сложность решения приведенной системы связана в первую очередь с ее размерностью. Поэтому построение менее точных, но более простых моделей связано в первую очередь с понижением размерности. Один из способов заключается в переходе от интенсивности излучения к плотности излучения