Эконометрика: Учебно-методический комплекс по дисциплине (стр. 2 )

От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результативного признака подходят к фактическим данным .

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него значения фактора . На графике теоретические значения представляют линию регрессии (рис. 1).

Построение линейной регрессии сводиться к оценке ее параметров – и . Оценка параметров линейной регрессии может быть найдено разными методами. Можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию (см. рис.1). Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр определим как точку пересечения линии регрессии с осью , а параметр оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как , где - приращение результата , а - приращение фактора , т. е.

Рис. 1. Графическая оценка параметров линейной регрессии

Преобразуя формулу, получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров и :

Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые оценки параметров и . Информация, необходимая для расчета оценок параметров и , представлена в табл. 1.

Таблица 1

Расчетная таблица

№ предприятия	Выпуск продукции, тыс. ед. ()	Затраты на производство, млн. руб. ()
1 2 3 4 5 6 7	1 2 4 3 5 3 4	30 70 150 100 170 100 150	30 140 600 300 850 300 600	1 4 16 9 25 9 16	900 4900 22500 10000 28900 10000 22500	31,1 67,9 141,6 104,7 178,4 104,7 141,6
Итого	22	770	2820	80	99700	770,0

Система нормальных уравнений будет иметь вид

Решая ее, получим:

Запишем уравнение регрессии:

Различают два класса нелинейных регрессий:

- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

- регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

- полиномы разных степеней - ,

- равносторонняя гипербола - .

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

- степенная - ;

- показательная - ;

- экспоненциальная - .

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

Применение уже использованного метода для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

Таблица 2

Зависимость доходов предприятия от размера затрат на рекламу

Размер затрат на рекламу, тыс. руб,	Доход, млн, руб,
1 2 3 4 5	6 9 10 12 13	1 4 9 16 25	1 8 27 64 125	1 16 81 256 625	6 18 30 48 65	6 36 90 192 325	6,2 8,5 10,4 11,9 13,0
	50	55	225	979	167	649	50,0

По данным табл. система нормальных уравнений составит:

Решая ее методом определителей, получим:,, ,. Откуда параметры искомого уравнения составят: , а уравнение параболы второй степени примет вид

Поставляя в это уравнение последовательно значения , найдем теоретические значения

Среди класса нелинейных функций, параметры которых оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу: .

Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, т. е. на микроуровне, но и макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы и процентом прироста заработной платы :

Английский экономист , анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х гг. XX в. установил обратную зависимость процента прироста заработной платы от уровня безработицы.

Для равносторонней гиперболы вида заменив на , получим линейное уравнение регрессии , оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений составит:

3. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Вместе с тем исследователь никогда не может быть уверен в справедливости данного предположения. Для того чтобы иметь правильное представление о влиянии дохода на потребление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. Прямой путь решения такой задачи состоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Он приводит к планированию эксперимента – методу, который используется в химических, физических, биологических исследованиях. Поведение отдельных экономических переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. построить уравнение множественной регрессии

.

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функций издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. Множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественная регрессия – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с отбора факторов и выбора вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано с природой взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включать в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости: районы могут быть проранжированы).

2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Пусть у=а+б1х1+б2х2, тогда

Таблица

Расчет параметров множественной регрессии

№п/п	Х1	Х2	у	Х1у	Х1х2	Х21	Х13	Х12х2	Х12у
1	1	11	28
2	2	14	24
3	3	11	26
4	4	12	29
5	5	18	27
итого

4. СИСТЕМА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

При использовании отдельных уравнений регрессии в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменение во всей системе взаимосвязанных признаков. Отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на результат. Именно поэтому в последние десятилетия в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой называемых структурными уравнениями. Так, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ.

При оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции.

Модель национальной экономики включает в себя систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, а также тождество доходов и т. д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций.