Эконометрика: Учебно-методический комплекс по дисциплине (стр. 3 )

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная () рассматривается как функция одного и того же набора факторов ():

Набор факторов в каждом уравнении может варьировать. Так, модель вида

также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что в ней набор факторов видоизменяется в уравнениях, входящих в систему.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.

Однако если зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений:

Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида:

где - производительность труда;

- фондоотдача;

- фондовооруженность труда;

- энерговооруженность труда;

- квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).

Наибольшее распространение в экономических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входит в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные () одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим.

5. ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

Изучение причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, является одной из самых сложных задач эконометрического моделирования. Применение в этих целях традиционных методов корреляционно-регрессивного анализа может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании. Каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию, циклические или сезонные колебания и случайную компоненту.

Предварительный этап такого анализа заключается в выявлении структуры изучаемых временных рядов. Если на этом этапе было выявлено, что временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержит циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержат только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна.

Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Обычно это осуществляется с помощью одного из методов исключения тенденции.

Предположим, что по двум временным рядам и строится уравнение парной линейной регрессии вида

= а + b•

Наличие тенденции в каждом из этих временных рядов озна­чает, что на зависимую и независимую переменные модели оказывает воздействие фактор времени, который непосредствен­но в модели не учтен.

6. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В эконометрике к числу динамических относятся не все моде­ли, построенные по временным рядам данных. Термин «динами­ческий» характеризует каждый момент времени в отдельности, а не весь период, для которого строится модель. Эконометрическая модель является динамической, если в дан­ный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени, т. е. если эта модель отражает динамику ис­следуемых переменных в каждый момент времени.

Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К моделям первого типа относятся модели ав­торегрессии и модели с распределенным лагом, в которых значе­ния переменной за прошлые периоды времени непосредственно включены в модель. Модели второго типа учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидае­мый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени . Этот уровень считается неизвестным и опреде­ляется экономическими единицами с учетом информации, кото­рой они располагают в момент ( - 1).

В зависимости от способа определения ожидаемых значений показателей различают модели неполной корректировки, адап­тивных ожиданий и рациональных ожиданий. Оценка парамет­ров этих моделей сводится к оценке параметров моделей авторегрессии.

При исследовании экономических процессов необходимо моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени Например, на выручку от реализации или прибыль компании текущего периода могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные компанией в предшествующие моменты време­ни. Величину l, характеризующую запаздывание воздействия фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а времен­ные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными.

Эконометрическое моделирование охарактеризованных процессов осуществляется с применением моделей, содержа­щих не только текущие, но и лаговые значения факторных пере­менных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида

является примером модели с распределенным лагом.

Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Например, потребление в момент времени формируется под воздействием дохода текущего и предыдущего периодов, а также объема потребления прошлых перио­дов, например потребления в период ( - 1). Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, кото­рые называются моделями авторегрессии. Модель вида

относится к моделям авторегрессии.

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предложении, что максимальная величина лага конечна:

Если в некоторый момент вре­мени происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии при переменной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 ед. свое­го измерения в некоторый фиксированный момент времени учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент совокупное воздействие факторной переменной на результат составит усл. ед., в момент (+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной в момент на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

Величину называют долгосрочным мультипликатором. Он по­казывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде ре­зультата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Пример. Интерпретация параметров модели с распределенным лагом.

По результатам изучения зависимости объемов продаж ком­пании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом (млн. руб.):

В этой модели краткосрочный мультипликатор равен 4,5. Это означает, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде. Под влиянием увеличения расходов на рекламу объем продаж компании возрастет в момент времени на 1 млн. руб., - на 4,5+ 3,0 = 7,5 млн. руб.,- на 7,5 + 1,5 = 9,0 млн. руб. Наконец, долгосрочный мультипликатор для данной модели составит: = 4,5 + 3,0 + 1,5 + 0,5 = 9,5.

В долгосрочной перспективе (например, через 3 месяца) уве­личение расходов на рекламу на 1 млн. руб. в настоящий момент времени приведет к общему росту объема продаж на 9,5 млн. руб.

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам.

Во-первых, текущие и лаговые значения независимой пере­менной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов.

Во-вторых, при большой величине лага снижается число на­блюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков. Это ведет к потере числа степеней сво­боды в модели.

В-третьих, в моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков. Вышеуказанные обсто­ятельства приводят к значительной неопределенности относи­тельно оценок параметров модели, снижению их точности и по­лучению неэффективных оценок. Чистое влияние факторов на результат в таких условиях выявить невозможно. Поэтому на Практике параметры моделей с распределенным лагом проводят в предположении определенных ограничений на коэффициенты регрессии и в условиях выбранной структуры лага.

7. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛИЦИИ

Понятие "зависимости" случайных величин, которым пользуются в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия "зависимости" величин, которым пользуются в математике. Так, математик под "зависимостью" подразумевает только один тип зависимости - полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины Х и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одного из них, можно точно определить значение другой.

В теории вероятностей встречаются несколько с иным типом зависимости - вероятностной зависимостью. Если величина Y связана с величиной Х вероятностной зависимостью, то, зная значение Х, нельзя точно указать значение Y, а можно указать её закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина Х.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Т. о., функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай - полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости - от самой сильной до самой слабой.

Вероятностная зависимость между случайными величинами часто встречается на практике. Если случайные величины Х и Y находятся в вероятностной зависимости, то это не означает, что с изменением величины Х величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины Х величина Y имеет тенденцию также изменяться (возрастать или убывать при возрастании Х). Эта тенденция соблюдается лишь в общих чертах, а в каждом отдельном случае возможны отступления от неё.

Рассмотрим случайную величину Х, имеющую возможные значения Х1, Х2, ... , Хn с вероятностями р1, р2, ... , рn. нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные значения. Для этой цели обычно пользуются так называемым "средним взвешенным" из значений Хi, причем каждое значение Хi при осреднении должно учитываться с "весом", пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, если обозначить "среднее взвешенное" через М[X] или mx, получим

или, учитывая, что , то

.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Для непрерывной величины Х математическое ожидание, естественно, выражается не суммой, а интегралом:

,

где - плотность распределения величины Х.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Т. о., коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Для определения коэффициента корреляции имеется несколько методов. Однако мы приведем пример с использованием коэффициента корреляции смешанных моментов Пирсона, где

x	Y	x'	y'	x'y'	x'2	y'2
69,8	17,1	1,9	1,65	3,135	3,61	2,7225
69,5	16,9	1,6	1,45	2,32	2,56	2,1025
68,8	16,2	0,9	0,75	0,675	0,81	0,5625
67,5	14,8	-0,4	-0,65	0,26	0,16	0,4225
66,4	14,1	-1,5	-1,35	2,025	2,25	1,8225
65,5	13,6	-2,4	-1,85	5,76	5,76	3,4225
∑=679	∑=154,5			∑=12,855	∑=15,15	∑=11,055

Подставив полученные значения в формулу, получим

Т. е., коэффициент корреляции равен 0,9933, что говорит о высокой связи между данными показателями.

Задания на практические занятия по дисциплине Эконометрика

Согласно нормативу (2 часа практических занятий = 1 задача) за время проведения практических занятий со студентами необходимо решить 20 задач.

При рассмотрении однотипных задач решение прилагается только к одной из них.

Задача 1.

Провести корреляционно регрессионный анализ в зависимости выплаты труда от производительности труда для этого:

1. Построить поле корреляции и выбрать модель уравнения.

2. рассчитать парам. уравнения построить уравнение Тренда

3. Рассчитать выровненное значение результативного признака

4. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, сделать выводы.

5. Определить тесноту связи между изученными признаками.

6. Рассчитать коэффициент детерминации и эластичности.

№	y	х	yx	y	x	yx	y-y	A
1	23,6	70	1652	556,96	4900	24,96	-1,36	5,77
2	31,6	79	2496,4	998,56	6241	28,02	3,58	11,33
3	35,2	91	3203,2	1239	8281	32,1	3,1	8,81
4	27,1	94	2547,4	734,41	8836	33,12	-6,02	22,21
5	23,6	72	1699,2	556,96	5184	25,64	-2,04	4,45
6	25,7	81	2081,7	660,49	6561	28,7	-3	11,67
7	38,2	96	3667,2	1459,2	9216	33,8	4,4	11,52
8	17,8	45	801	316,84	2025	16,46	1,34	7,53
итог	222,8	628	18148,1	6522,5	51244	222,8	0	83,29
ср. зн	27,85	78,5	2268,51	815,31	6405,5
	6,3	15,59
	39,69	243,25

2.  Рассчитаем параметры уравнения a и b и построим уравнение Тренда