Методические указания для студентов-заочников по проведению (стр. 2 )

Пример. Точка движется прямолинейно по закону ( выражается в метрах, −в секундах). Найти скорость и ускорение через 1 секунду после начала движения.

Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной по времени:

Отсюда (м/c).

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени:

и, следовательно, (м/c).

3. Задание для самостоятельной работы.

1.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = sin x в точке. 2.Составить уравнение касательной к кривой y = sin 3x в точке (; 0) .

3.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = 2(x – 9)2 + 12, в которой касательная параллельна .

4.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 5t + 1. Найти мгновенную

скорость и ускорение точки в момент времени t = 5c.

5.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке .

6.Составить уравнение касательной к кривой y = cos 3x в точке (;0).

7.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = (x – , в которой касательная параллельна .

8.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 4t - 5. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 2c.

9.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = tg x в точке.

10.Составить уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке ( ;).

11.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = ln 3x - x, в которой касательная параллельна .

12.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t2 + 3t + 2. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 3c.

13.Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = ctgx в точке .

14.Составить уравнение касательной к кривой y = cos 2x в точке (; ).

15.Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =6(x – 1)2 + 5, в которой касательная параллельна .

16.Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 + 8t + 10. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 1c.

Список литературы

1.  “Математика для техникумов” (стр. 188-217)

2. Т. Лисичкин, “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные задания. Москва, 1987г (стр. 52-61)

Практическое занятие № 2.

Тема: Вычисление дифференциала функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.

1. Цель: Выработка навыков вычисления дифференциала функции. Выработка навыков вычисления приближенных значений функций.

2. Пояснения к работе:

2.1 Краткие теоретические сведения

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции , линейно зависящая от приращения аргумента .

Дифференциал обозначается символом . По определению, .

В частности, при получим или , т. е. дифференциал аргумента равен его приращению.

Тогда ., т. е. дифференциал функции в точке равен произведению производной в точке на дифференциал аргумента. Отсюда , так что выражение, которое мы раньше считали цельным символом, теперь можно рассматривать как дробь, равную отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, так же как и нахождение производной.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Находим дифференциал данной функции:

Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции:

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала найдем производную данной функции:

Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции:

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функции связано с дифференциалом функции соотношением

, где при .

Приращение функции и дифференциал функции отличаются друг от друга на бесконечно малую, имеющую порядок малости выше, чем . Если пренебречь этой бесконечно малой, то получим приближенное равенство , т. е. при малых приращениях аргумента приращение функции с достаточной степенью точности можно заменить её дифференциалом.

Учитывая, что , получим , откуда

Эти приближенные равенства применяются для приближенных вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление её приращения.

Пример 1. Вычислить приближенное значение приращения функции при изменении аргумента от до .

Решение. Находим дифференциал аргумента:

.

Приращение аргумента мало, поэтому приращение функции приближенно равно её дифференциалу . дифференциал функции вычисляем по формуле . Предварительно найдем производную функции и её значение при :

, .

Тогда и

Точное значение приращения функции найдем по формуле , где

,

Тогда .

Сравнивая полученный результат с дифференциалом , видим, что абсолютная погрешность равна 0,000001. Однако абсолютная погрешность не дает достаточно полной характеристики точности подсчета. Поэтому вычислим и относительную погрешность:

.

Эта точность обычно оказывается вполне достаточной для расчетов, производимых в технике. Поэтому такой погрешностью можно пренебречь и вместо приращения функции находить её дифференциал, который вычислить проще, так как он зависит от линейно.

Пример 2. Вычислить приближенное значение функции при .

Решение. Находим дифференциал аргумента: Приращение аргумента мало, поэтому для вычисления приближенного значения функции воспользуемся формулой

или

Сначала найдем значение функции при : .

Дифференциал находим по формуле , для чего найдем производную функции и её значение при :

.

Тогда

Следовательно, .

Пример 3. Найти приближенное значение

Решение. Нам надо найти приближенное значение функции при

Находим дифференциал аргумента:

Приращение аргумента мало, поэтому , .

Дифференциал находим по формуле , для чего найдем производную функции и её значение при :

Следовательно, В действительности .

Пример 4. Найти приближенное значение

Решение. Как и в предыдущем примере, имеем:

;

,

,

Тогда

3.Задания для самостоятельной работы

1.Найти дифференциал следующих функций

а) в)

б) г)

2.Найти приближенное значение приращения следующих функций

а) при

б) при и

в) при и

г) при и

3.Найти приближенное значение степеней

а) в)

б) г)

4.Найти приближенное значение корня

а) в)

б) г)

Список литературы

1.  , “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные задания. Москва, 1987г (стр. 74-80)

2.  “Математика для техникумов” (стр. 240-245)

Практическое занятие № 3.

Тема: Неопределённый и определенный интегралы, их свойства. Методы интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

1. Цель: Выработать навыки вычисления неопределённого интеграла методом непосредственного интегрирования и методом подстановки. Закрепление навыков и умений вычисления определенного интеграла, решения прикладных задач с помощью определенного интеграла.

2. Пояснения к работе:

2.1 Краткие теоретические сведения

2.  Неопределенный интеграл

Определение: Совокупность всех первообразных функций для функции на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается

Таким образом,

где называется подынтегральным выражением, а с−произвольной постоянной интегрирования.

Например,

,

так как

Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.

2. Метод непосредственного интегрирования.

Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.

Свойства неопределённого интеграла

1)

2)

3)

4)

Таблица основных интегралов

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем () и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 2. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и найдем неопределенный интеграл от степени:

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Раскроем скобки по формуле и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:

Пример 4. Найти интеграл

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой

и свойствами неопределенного интеграла:

3. Интегрирование методом подстановки

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1)  часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной

2)  найти дифференциал от обеих частей замены

3)  всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получится табличный интеграл)

4)  найти полученный табличный интеграл

5)  сделать обратную замену.

Пример 5. Найти интеграл

Решение. Произведем подстановку , тогда , откуда . Далее получаем

Пример 6. Найти интеграл

Решение. Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем

.

Пример 7. Найти интеграл

Решение. Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (−постоянные):

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Так, при нахождении можно использовать формулу , где . Тогда

3. Задание для самостоятельной работы.

1.  Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) б) в)

г) д)

2.  Методом подстановки вычислить:

а) б) в) г) д)

3.  Методом интегрирования по частям вычислить:

а) б)

4.  Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) б) в)

г) д)

5.  Методом подстановки вычислить:

а) б) в) г) д)

6.  Методом интегрирования по частям вычислить:

а) б)

7.  Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) б) в)

г) д)

8.  Методом подстановки вычислить:

а) б) в) г) д)

9.  Методом интегрирования по частям вычислить:

а) б)

10.  Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) б) в)

г) д)

11.  Методом подстановки вычислить:

а) б) в) г) д)

12.  Методом интегрирования по частям вычислить:

а) б)

3.  Определенный интеграл

Определённый интеграл и его геометрический смысл.

Определение 1. Приращение любой из первообразных функций при изменении аргумента от до называется определённым интегралом от до функции и обозначается (читается: интеграл от до эф от икс де икс).

Числа и называются пределами интегрирования, а - нижним, - верхним. Отрезок называется отрезком интегрирования. Функция называется подынтегральной функцией, а переменная - переменной интегрирования. Таким образом, по определению